Harmonik Ortalama Nasıl Bulunur

harmonik ortalama nasıl bulunur

Harmonik ortalama nedir, ne amaçla ve nasıl hesaplanır? Harmonik ortalamanın formülü nasıldır? Harmonik ortalama örnekleri hesaplaması.

harmonik ortalama

Harmonik Ortalama Nedir?

Harmonik ortalama bir nümerik ortalama türüdür. Harmonik ortalama, bir sayı kümesinin ortalamasını hesaplamak için kullanılır. Eleman sayısının ortalaması alınır ve elemanların karşılıklarının toplamına bölünür.

Gözlem sayısının, gözlemin karşılıklı toplamına bölünmesiyle hesaplanır.

1,4 ve 4&#;ün harmonik ortalaması:

$\displaystyle \frac{3}{\left( \frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \right)}=\frac{3}{1,5}=2$

a ve b gibi iki sayının harmonik ortalaması;
$\displaystyle H.O.=\frac{2ab}{a+b}$ dir.

ÖRNEK;

5 ve 8 sayılarının harmonik ortalamasını bulalım.

$\displaystyle H.O.=\frac{2ab}{a+b}=\frac{}{5+8}=6,15$

Harmonik Ortalamanın Temelleri

Harmonik ortalama, ortak paydalar hakkında endişelenmeden, kesirler arasında çarpma veya bölme ilişkileri bulmaya yardımcı olur. Harmonik araçlar genellikle oranlar gibi şeylerin ortalamasında kullanılır (örneğin, birkaç yolculuk süresi verilen ortalama seyahat hızı).

Ağırlıklı harmonik ortalama, her veri noktasına eşit ağırlık verdiği için finansta fiyat kazanç oranı gibi ortalama katlara kullanılır. Bu oranların ortalamasını almak için ağırlıklı bir aritmetik ortalama kullanılması, yüksek veri noktalarına düşük veri noktalarından daha fazla ağırlık verecektir, çünkü kazançlar eşitlenirken fiyat kazanç oranları fiyat normalleştirilmez.

Harmonik ortalama, ağırlıkların 1&#;e eşit olduğu ağırlıklı harmonik ortalamadır. W1, w2, w3 ilgili ağırlıkları olan x1, x2, x3&#;ün ağırlıklı harmonik ortalaması şu şekilde verilir:

$\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^{n}{{w}_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}\frac{{{w}_{i}}}{{{x}_{i}}}}$

Harmonik Ortalama ve Aritmetik Ortalama ve Geometrik Ortalama

Ortalamaları hesaplamanın diğer yolları arasında basit aritmetik ortalama ve geometrik ortalama bulunmaktadır. Aritmetik ortalama, bir sayı dizisinin toplamının, bu sayı dizisinin sayısına bölünmesiyle elde edilir. Test puanlarının sınıf (aritmetik) ortalamasını bulmanız istendiyse, öğrencilerin tüm test puanlarını toplamanız ve daha sonra bu toplamı öğrenci sayısına bölebilirsiniz. Örneğin, beş öğrenci sınava girdiyse ve puanları% 60,% 70,% 80,% 90 ve% olsaydı, aritmetik sınıf ortalaması% 80 olurdu.

Geometrik ortalama, bir yatırımın veya portföyün performans sonuçlarını belirlemek için yaygın olarak kullanılan bir dizi ürünün ortalamasıdır. Teknik olarak &#;n sayısının n&#;inci kök ürünü&#; olarak tanımlanır. Geometrik ortalama, değerlerden elde edilen yüzdelerle çalışırken standart aritmetik ortalama değerlerin kendileriyle çalışırken kullanılmalıdır.

Harmonik ortalama en iyi oranlar veya katlar gibi kesirler için kullanılır.

Popüler inanışın aksine, ortalama aslında matematiksel olarak doğru bir söylem değildir. Ortalama olarak adlandırılan matematiksel bir işlem yoktur. Genellikle ortalama ile kastettiğimiz şey aritmetik ortalamadır. Topla böl biçiminde bildiğimiz ve bir veri kümesinin orta değerini bulmak için kullandığımız aritmetik ortalama daha yaygın kullanıldığı için aklımıza ilk gelen o olur. Oysa ki geometrik ve harmonik ortalama adında iki farklı ortalama hesabı daha vardır.

Geometrik ortalama nispeten daha fazla yerde karşımıza çıkarken harmonik ortalama pek kullanılmaz. Şimdi size oldukça basit bir soru soralım sonra da sorunun bu harmonik ortalama ile ilişkisini aktaralım.

Güneşli güzel bir haftasonu sabahında, Çokgezenler ailesi Şile’ye doğru günübirlik bir geziye çıkmaya karar verdi. Maalesef pek çok insan aynı fikre sahipti ve Çokgezenler ailesini yoğun bir trafik bekliyordu. Gidişteki hızı ortalama saatte 30 kilometre kadardı. Gün bitip akşam dönüş yoluna çıktıklarında onları daha kötü bir trafik bekliyordu. Bu sefer ortalama hızları saatte 20 kilometre kadar oldu. Peki, yolculuk boyunca ortalama hızları neydi?

Ortalama Hız Nasıl Hesaplanır?

Ortalama hız hesaplamak için çoğu kişinin yaptığı gibi hızı toplayıp 2’ye bölmek size 25 cevabını verir. Bu çok basit cevap maalesef yanlıştır. Tüm yolculuk boyunca ortalama hız aslında 24 km/sa idi. 24 cevabı sizi şaşırttıysa, o zaman insan zihninin sorunları çözerken kandırılabileceği yollardan birini deneyimlediniz demektir. Bir hesaplamanın basit ve tanıdık görünmesi, köşede pusuda bekleyen bir sürpriz olmadığı anlamına gelmez.

Ortalama bir hız bulmanın yolu, toplam mesafeyi almak ve geçen süreye bölmektir. Bu durumda mesafeyi bilmiyoruz, ancak cevap herhangi bir mesafe için aynı çıkacaktır. Diğer bir deyişle çözümde gidilen yolun hiçbir önemi yoktur.

Çokgezenler ailesinin evi ile Şile arasının 60 kilometre olduğunu varsayalım. Bu durumda gidiş yolu 60/30= 2 saat, dönüş yolu ise 60/20=3 saat sürecektir. Bu, tüm yolculuğun ortalama hızının beş saatte kilometre yani saatte 24 kilometre olduğu anlamına gelir.

Çözümün aslında yoldan bağımsız olduğunu söylemiştik. O halde şimdi daha genel bir çözüm yapalım. Evleri ile Şile arasındaki mesafeyi x olarak kabul edelim. Bu durumda gidiş zamanları x/ 30 saat dönüş zamanları da x/20 saat olacaktı. Tüm yolculuk için harcanan x/30 + x/20 = 50x/ olur. Gidiş dönüş toplam yol 2x kadardır. Şimdi yolu zamana bölerseniz x’ler birbirini götüreceğiniz için sonucunuz yine 24 çıkacaktır.

Harmonik Ortalama

Bu ortalama hız, harmonik ortalama olarak bilinir. Harmonik ortalama, gözlem sonuçlarının birim değerlerinin terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir. Bu hesaplama biçimi örneğimizde olduğu gibi ortalama hız, verimlilik gibi oranların ortalaması alınması gerektiği zamanlarda işimize yarar. Birim değerleri x₁, x₂, … , x_n gibi gösterilirse harmonik ortalama aşağıdaki gibi olur.

İki hız birbirine nispeten yakın olduğu sürece sonuç basit ortalama hesabına yakın çıkacaktır. İki sayı ekleyerek ve ikiye bölerek hızların ortalaması alınamaz. Bunun nedeni vereceğimiz başka bir örnekle daha net anlaşılacaktır. Şimdi Çokgezenler ailesinin Şile’ye 30 km/sa hızla gittiğini ve gidiş dönüş ortalama hızlarının 15 km/sa olduğunu düşünelim. O zaman geri dönüş hızları ne kadardı?

Hatalı bir düşünüş biçimi (30 + 0) / 2 = 15 çıktığı için sorunun cevabının 0 km/sa olması gerektiğini söyler bize. Bu hesapla Çokgezenler ailesi asla evlerine varamayacaktır diğer bir deyişle. Sorunun cevabını harmonik ortalama ile çözerseniz dönüş hızlarının saatte 10 kilometre olduğunu kolayca bulabilirsiniz. İşlemleri yapmayı bu sefer size bırakalım. Ancak basit bir soruya cevap vermeden önce bir kere daha düşünmenin iyi fikir olduğunu bir kere daha hatırlayalım.

Kaynaklar ve ileri okumalar:

Eastaway, Robert.; Wyndham, Jeremy. Why Do Buses Come in Threes? : The Hidden Mathematics of Everyday Life
Why is harmonic mean used for speeds, not arithmetic mean?; funduszeue.info
On Average, You’re Using the Wrong Average: Geometric & Harmonic Means in Data Analysis; yayınlanma tarihi: 28 Ocak ; Bağlantı: funduszeue.info

Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerindenufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel

kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir
Harmonik Ortalama Nedir? Nerede Ve Ne İ&#;in Kullanılır?
Haberin Devamı
Harmonik Ortalama Nedir?
Matematikte kullanılan pisagorik orantılardan biri de hormanik ortalamadır. Temelde aritmetik ortalamanın tersi olarak da bilinmektedir. Bu işlem gözlem sayısının seride bulunan her sayının tersine bölünmesi ile elde edilmektedir. Harmonik ortalama terimi, harmonik anlamı, ahenkli orta, harmonik orta isimleri ile de bilinmektedir.
Global kaynaklarda formüllerde harmonik ortalama kısaltması H ya da HM şeklinde olmaktadır. Harmonik ortalama ifadesi, gözlem sonuçlarının terslerinin aritmetik ortalamasının tersine verilen isimdir.
Harmonik ortalama, seride bulunan sayıların tersine bölümü ile hesaplanmaktadır. Harmonik ortalama formülü aşağıdaki gibidir.
Harmonik ortalama= n / (1/a + 1/b + 1/c + ) şeklindedir. Burada a, b, c, değerlerin n sayısının kaç olacağını belirtmektedir. Bir sayının tersi matematikte 1/değer olarak ifade edilmektedir.
Haberin Devamı
Harmonik Ortalama Nerede ve Ne İçin Kullanılır?
Harmonik ortalamanın ne işe yaradığını bir örnek ile anlatacak olursak bir kimse bir araba yolculuğu yaparken bu yolun yarısını saatte km hızla ikinci yarısını ise km hızla giderse ortalama hız ne kadar olur?
HM= 2/ (1/ + 1/) = ,1 km/s şeklinde bulunur.
Harmonik ortalama her zaman aritmetik ortalamadan daha düşük çıkmaktadır. Harmonik, aritmetik ve geometrik ortalamalar içerisinde en küçük olan her zaman harmonik ortalama olmaktadır.
Harmonik ortalama, veri dizisi içerisindeki diğerlerinden daha yüksek değere sahip olan elemanlarının ortalamalarının etkisinin azaltılması amacı ile kullanılmaktadır.