Ardışık Sayılar Yeni Nesil Sorular

Tüm işlemi \( -1 \) parantezine alalım.

\( -(1 + 2 + 3 + \ldots + 49) \)

\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

\( = -(49 + 1) \cdot \dfrac{49}{2} \)

\( = \cdot \dfrac{49}{2} = \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( a \), \( b \) ve \( c \) ardışık doğal sayılar olduğu için, aralarında aşağıdaki eşitlikleri kurabiliriz.

\( b = a + 1, \quad c = b + 1 = a + 2 \)

Sorulan ifadedeki tüm değişkenleri \( a \) cinsinden yazalım.

\( \dfrac{(a + 1 - a)(a + 2 - a)}{a + 2 - (a + 1)} \)

\( = \dfrac{1 \cdot 2}{1} = 2 \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

İki sayı ardışık tek sayılar olduğu için aralarındaki fark 2'dir. \( a \lt b \) olduğuna göre, \( b = a + 2 \) yazabiliriz.

\( 2a + 3b = 41 \)

\( 2a + 3(a + 2) = 41 \)

\( 5a + 6 = 41 \)

\( a = 7, \quad b = 9 \quad a + b = 16 \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Sayılara \( a \), \( a + 3 \), \( a + 6 \) ve \( a + 9 \) diyelim.

En küçük ve en büyük sayıların toplamı:

\( a + (a + 9) = 39 \)

\( a = 15 \)

Bu durumda dört sayının toplamı aşağıdaki gibi olur:

\( 15 + 18 + 21 + 24 = 78 \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Sayılardan hangisinin büyük olduğu verilmediği için, ikisinin de diğerinden büyük olduğu durumu dikkate almamız gerekir.

\( 2a + 5 \lt 4a - 11 \) ise,

\( 2a + 5 + 2 = 4a - 11 \)

\( a = 9 \)

\( 2a + 5 \gt 4a - 11 \) ise,

\( 2a + 5 = 4a - 11 + 2 \)

\( a = 7 \)

\( a \)'nın alabileceği değerler toplamı bu durumda \( 9 + 7 = 16 \) olur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Terim sayısı \( = 9 \)

İlk terim \( = a \)

Son terim \( = a + 8 \)

Terimler toplamı \( = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

Terimler toplamı \( = (a + a + 8) \cdot \dfrac{9}{2} \)

\( = 9(a + 4) = 99 \)

\( a = 7 \)

En küçük sayı \( a = 7 \) olduğuna göre, en büyük sayı \( a + 8 = 15 \) olur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Terim sayısı \( = 7 \)

İlk terim \( = a \)

Son terim \( = a + 6 \)

Ortanca terim \( = \dfrac{a + a + 6}{2} = a + 3 \)

Terimler toplamı \( = A = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

Terimler toplamı \( = (a + a + 6) \cdot \dfrac{7}{2} \)

\( = 7(a + 3) = A \)

Buna göre, ortanca terim olan \( a + 3 = \dfrac{A}{7} \) olur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( A = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + + 17 \cdot 19 \)

\( B = 2 \cdot 3 + 4 \cdot 5 + 6 \cdot 7 + + 18 \cdot 19 \)

İkinci ifadeden birinciyi çıkaralım.

\( B - A = 3 + 5 + 7 + + 19 \)

Eşitliğin sağ tarafındaki ardışık sayıların toplamını bulalım.

Terim sayısı \( = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Ortak fark}} + 1 \)

Terim sayısı \( = \dfrac{19 - 3}{2} + 1 = 9 \)

İlk terim \( = 3 \)

Son terim \( = 19 \)

Terimler toplamı \( = (3 + 19) \cdot \dfrac{9}{2} = 99 \)

\( B - A = 99 \)

\( B = A + 99 \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

İlk durumdaki sayfa numaralarının toplamını bulalım.

Sayfa sayısı \( = \dfrac{n(n + 1)}{2} \)

\( = \dfrac{ \cdot }{2} = \cdot 62 \)

Koparılan yapraklardaki sayfa numaralarının toplamını bulalım.

\( \cdot 62 - \cdot 62 = ( - ) \cdot 62 \)

\( = 62 \cdot 6 = \)

Koparılan 4 sayfadaki 8 sayfanın numaraları \( a, a + 1, a + 2 , a + 3, a + 4, a + 5, a + 6, a + 7 \) şeklindedir.

Bu sayıların toplamı 'dir.

\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

\( (a + 7 + a) \cdot \dfrac{8}{2} = \)

\( (2a + 7) \cdot 4 = \)

\( 2a + 7 = 93 \)

\( a = 43 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

5 iki basamaklı ardışık sayıyı yazalım.

\( (ab), (ab) + 1, \ldots, (ab) + 4 \)

Bu sayıların toplamı bir \( x \) sayma sayısının 3. kuvvetine eşittir.

\( 5(ab) + 10 = x^3 \)

\( 5(ab) = x^3 - 10 \)

Bir sayma sayısının üçüncü kuvveti aşağıdakilerden biri olabilir.

1, 8, 27, 64, , , ,

Bu sayıların 10 eksiği aşağıdakilerden biri olabilir.

-9, -2, 17, 54, , , ,

İki basamaklı ardışık 5 sayı en küçük arası olabilir, bu durumda toplamları 60 olur.

İki basamaklı ardışık 5 sayı en büyük arası olabilir, bu durumda toplamları olur.

Buna göre \( x^3 - 10 \) ifadesi 60 ile arasında ve 5'in katı bir sayı olmalıdır.

Yukarıdaki listede bu koşulu sağlayan sayı 'tir.

\( 5(ab) = x^3 - 10 = \)

\( (ab) = 23 \)

Sayıların en büyüğü \( (ab) + 4 = 27 \) olur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Ceyda'nın çözdüğü soru sayısı 1. gün 10, 2. gün 11, 3. gün 12, \( n \). gün \( n + 9 \) olur.

Ceyda'nın \( n \) günde çözeceği toplam soru sayısını bulalım.

\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

\( = (10 + n + 9) \cdot \dfrac{n}{2} \)

\( = \dfrac{(n + 19) \cdot n}{2} \)

Ceyda'nın hangi gün soruyu çözdüğünü bulmak için \( n \)'ye değer verelim.

\( n = 10 \Longrightarrow \dfrac{(10 + 19) \cdot 10}{2} = \)

\( n = 11 \Longrightarrow \dfrac{(11 + 19) \cdot 11}{2} = \)

\( n = 12 \Longrightarrow \dfrac{(12 + 19) \cdot 12}{2} = \)

\( n = 13 \Longrightarrow \dfrac{(13 + 19) \cdot 13}{2} = \)

Buna göre Ceyda sorusunu günde çözer.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

1. satırda 1, 2. satırda 2, \( n \). satırda \( n \) kare boyanıyor.

Buna göre boyanan toplam kare sayısını aşağıdaki formülle bulabiliriz.

\( \dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} \)

Bu sayının en az 63 olacağı \( n \) değerini bulalım.

\( \dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} \ge 63 \)

\( n \cdot (n + 1) \ge \)

\( n = 10 \Longrightarrow 10 \cdot (10 + 1) = \not\ge \)

\( n = 11 \Longrightarrow 11 \cdot (11 + 1) = \ge \)

Buna göre en az 11 satır boyanmalıdır.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

İki basamaklı tek sayıların toplamını bulalım.

\( 11, 13, 15, \ldots, 99 \)

\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Ortak fark}} + 1 \)

\( a = (99 + 11) \cdot \dfrac{\frac{99 - 11}{2} + 1}{2} \)

\( = \cdot \dfrac{45}{2} = 55 \cdot 45 \)

Aynı şekilde iki basamaklı çift sayıların toplamını bulalım.

\( 10, 12, 14, \ldots, 98 \)

\( b = (98 + 10) \cdot \dfrac{\frac{98 - 10}{2} + 1}{2} \)

\( = \cdot \dfrac{45}{2} = 54 \cdot 45 \)

İki sayının farkını bulalım.

\( a - b = 55 \cdot 45 - 54 \cdot 45 \)

\( = 45 \cdot (55 - 54) = 45 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Terimleri ikişerli grupladığımızda son terim hariç her çıkarma işleminin sonucunun -3 olduğunu görürüz.

\( (2 - 5) + (8 - 11) + \ldots + ( - ) + \)

\( = (-3) + (-3) + \ldots + (-3) + \)

2'den 'e kadar 3'er 3'er saydığımızda kaç sayı olduğunu bulalım.

Terim sayısı \( = \dfrac{ - 2}{3} + 1 = 38 \)

Terimler ikişerli toplandığı için terim sayısının yarısı kadar -3 vardır.

\( = \dfrac{38}{2} \cdot (-3) + \)

\( + = 59 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Yeni oluşan sayıya \( B \) diyelim.

\( B = 5 \cdot 3 + 6 \cdot 4 + 7 \cdot 5 + \ldots + 19 \cdot 17 \)

\( A \) ve \( B \) ifadelerinin terimlerini birebir karşılaştırırsak, \( A \) sayısında birinci terimde 2 tane 5 varken \( B \) sayısında 3 tane 5 vardır. \( A \) sayısında ikinci terimde 3 tane 6 varken \( B \) sayısında 4 tane 6 vardır.

Buna göre iki ifadenin farkını aldığımızda ardışık sayıların toplamını elde ederiz.

\( B - A = 5 + 6 + 7 + \ldots + 19 \)

\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Ortak fark}} + 1 \)

\( B - A = (19 + 5) \cdot \dfrac{15}{2} \)

\( = 24 \cdot \dfrac{15}{2} = \)

Buna göre toplam artar.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

\( = (1 + 99) \cdot \dfrac{99}{2} = 50 \cdot 99 \)

Ortanca terimi bulalım.

\( \text{Ortanca terim} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \)

\( = \dfrac{1 + 99}{2} = 50 \)

Buna göre terimler toplamı ortanca terimin 99 katıdır.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

İki ifadenin farkını alalım.

\( A - B = (4 - 4) + (9 - 8) + (14 - 12) + \ldots + (99 - 80) \)

\( = 0 + 1 + 2 + \ldots + 19 \)

\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

\( = (19 + 0) \cdot \dfrac{20}{2} \)

\( = 19 \cdot 10 = \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

İlk seferde dağıtılan kalem sayısını ardışık sayıların toplam formülü ile aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz.

\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

\( = (2 + 2n) \cdot \dfrac{n}{2} = n \cdot (n + 1) \)

Kalem sayısını toplam kişi sayısına bölelim.

\( \dfrac{n \cdot (n + 1)}{n} = n + 1 \)

Bu sayı aynı zamanda ilk durumda \( n \). kişinin aldığı kalem sayısının 10 eksiğine eşittir.

\( n + 1 = 2n - 10 \)

\( n = 11 \)

Buna göre toplam kalem sayısı \( 11 \cdot 12 = \) olarak bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Yaşları ardışık çift sayı olan öğrencilerin yaşlarına değer verelim.

\( a , a + 2 , \ldots , a + 16 \)

Bu öğrencilerin yaşları toplamını ardışık sayıların toplam formülü ile bulalım.

\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

\( = (a + a + 16) \cdot \dfrac{9}{2} = 9a + 72 \)

Yaşları aynı olan öğrencilerin yaşları toplamını bulalım.

Bir öğrencinin yaşına \( b \) dersek yaşları toplamı \( 9b \) olur.

Tüm öğrencilerin yaş ortalaması 17'dir.

\( \dfrac{9a + 72 + 9b}{18} = 17 \)

\( 9a + 72 + 9b = \)

\( a + b = 26 \)

\( b \) en büyük değeri olan 25'i aldığında \( a = 1 \) olur, ancak bu durumda ilk gruptaki öğrencilerin yaşları çift sayı olmaz.

Bu yüzden \( b = 24 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Binadaki zemin kat dahil kat sayısına \( k \) dersek toplam daire sayısı \( 3 + 4(k - 1) = 4k - 1 \) olur.

Daire numaralarının toplamını ardışık sayıların toplam formülü ile bulalım.

\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

\( = (1 + 4k - 1) \cdot \dfrac{4k - 1}{2} \)

\( = 2k \cdot (4k - 1) \)

Bu toplamın daire sayısına bölümü bize aritmetik ortalamayı verir.

\( \dfrac{2k \cdot (4k - 1)}{4k - 1} = 38 \)

\( k = 19 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Elif 1 şiir okuyor, 1 şiir atlıyor, 2 şiir okuyor, 2 şiir atlıyor, , \( n \) şiir okuyor, \( n \) şiir atlıyor, en sonunda \( n + 1 \) şiir okuyup kitabı bitiriyor.

Elif'in okuduğu şiir sayısını ardışık sayıların toplam formülü ile bulalım.

\( 1 + 2 + \ldots + (n + 1) = \dfrac{(n + 1) \cdot (n + 2)}{2} \)

Elif'in atladığı şiir sayısını da aynı formülle bulalım.

\( 1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} \)

Elif'in okuduğu ve atladığı şiir sayılarının farkını bulalım.

\( \dfrac{(n + 1) \cdot (n + 2)}{2} - \dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} = 17 \)

\( \dfrac{n^2 + 3n + 2 - n^2 - n}{2} = 17 \)

\( n + 1 = 17 \Longrightarrow n = 16 \)

Elif'in okuduğu ve atladığı toplam şiir sayısını bulalım.

\( \dfrac{(n + 1) \cdot (n + 2)}{2} = \dfrac{17 \cdot 18}{2} + \dfrac{16 \cdot 17}{2} \)

\( = \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Birinci sayıya \( b \) diyelim. Bu durumda ikinci sayı \( b + 1 \) olur.

Ardışık sayıların toplamını alalım.

\( b + (b + 1) + (b + 2) + \ldots + (b + 10) = A \)

Sabit sayıların toplamı 1'den 10'a kadar olan ardışık sayıların toplamıdır.

1'den n'ye kadar olan doğal sayıların toplamı: \( \frac{n(n + 1)}{2} \)

\( 11b + \dfrac{10 \cdot 11}{2} = A \)

\( 11b + 55 = A \)

Altıncı sıradaki sayı \( b + 5 \) olur.

\( 11(b + 5) = A \)

\( b + 5 = \dfrac{A}{11} \) olarak bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin