Ardışık Çift Sayıların Toplamı Örnek

ardışık çift sayıların toplamı örnek

Ardışık sayıların toplamı $ t \cdot o$ olarak özetlenebilir. Yani Terim sayısı (t) ve orta terimin (o) çarpımı. Basitten başlayıp genel kuralı anlayacağız. Örneğin birden yüze kadar olan şu toplamın değerini hemen nasıl bulabiliriz?
\[ 1+ 2+ 3+ \cdots + = ? \]
Bu dizinin altına aynısını yazalım ancak bu sefer yüzden bire doğru gidelim ve altalta gelen sayıların toplamının hep aynı ve $$ olduğuna dikkat edelim.

1	+	2	+	3	+	$\cdots$	+
	+	99	+	98	+	$\cdots$	+	1

Altalta gelen sayıların toplamı hep olduğuna göre ve burada tane oluşacağı çok açık olduğuna göre toplam $ \cdot $ olur. Ancak bizim istediğimiz toplam bunun yarısı çünkü toplamını bulmak istediğimiz dizinin aynısını altına yazdık. Birden yüze kadar olan sayıların toplamı \[ \frac{ \cdot }{2} = \]

Burada ilk olarak şunu anlayabiliriz. Sayılar birer birer gitmek zorunda değil. Örneğin 3 er 3 er gitseler de alta aynı diziyi tersten yazdığımızda terimler de 3 er 3 er azalacağından toplam gene aynı kalacaktır. Şu diziyi düşünelim: \[ 3 + 6 + 9 + \cdots + \]

3	+	6	+	9	+	$\cdots$	+
	+		+		+	$\cdots$	+	3
$ = $	$ = $	$ = $	$\cdots$	$=$

Burada da $$ ler oluştu, ancak şimdi bir sorunumuz var. Bu dizi 3 er 3 er gittiğinden kaç sayı var ilk örnek kadar açık değil. Genel bir terim sayısı formülü vermeden önce şunu deneyebiliriz. $3,6,9, \cdots $ dizisinde her sayıyı $3$ e bölsek sayılar $1,2,3 \cdots 68$ e dönüşür ve $68$ terim olduğunu buluruz. Bu durumda toplam \[ 3 + 6 + 9 + \cdots + = \frac{ \cdot 68}{2} \]

Buna bir de şöyle bakalım. Çok basit bir dizi düşünelim:
\[ 1 + 3 + 5 + 7 + 9\]
Orta terim $5$ ve 5 ten bir sağa gidersek 2 büyüyor bir sola gidersek iki küçülüyor. Benzer şekilde iki sağa gidersek 4 büyüyor iki sola gidersek dört küçülüyor. Örneğin $7$ fazla olan ikisini $3$ e verse ikisi de 5 e dönüşecek. $9$ fazla olan dördünü $1$ e verse ikisi de $5$ e dönüşecek. Aslında burada $5$ tane $5$ var yani toplam $25$!
Bu aritmetik ortalamanın da anafikridir. Örneğin sınavlarında 50,60,70 alan bir öğrencinin ortalaması $60$ tır ve bunun anlamı her sınavdan eşit puan alsaydı kaç alacaktı onu bulmaktır.

Orta terim verilen dizi de olmak zorunda bile değil şu diziyi düşünelim:
\[ 2 + 4 + 6+ 8 \] Orta terim $5$ tir.

Demek ki bu toplam da aslında dört tane $5$ var.

Herhangi bir terimde orta terimi (O) bulmak için ilk(i) ve son(s) terimleri toplayıp ikiye bölmemiz yeterli
\[ O = \frac{i + s}{2} \]
Bunu terim sayısı ile çarparsak da toplamı bulmuş oluyoruz. Şimdi de terim sayısını nasıl bulacağız ona bakalım

Ardışık sayılarda terim sayısını(t) bulmak için son terimden(s) ilk terim(i) çıkarılıp ortak farka(f) bölünür ve buna $1$ eklenir.
\[ t = \frac{s - i}{f} + 1 \]

Örneğin \[ 4,7,10, \cdots, 46 \]
Burada son terimden ilki çıkaralım $ = 42$ sonra ortak fark $3$ e bölelim $42 \div 3 = 14$ ve $1$ ekleyelim ve $15$ terim var
\[ \frac{}{3} + 1 = 15 \]

Peki neden böyle? bütün terimlerden ilk terimi çıkarırsak sayı dizisi
\[ 0,3,6 \cdots 42 \]
Bütün terimleri ortak fark $3$ e bölersek
\[ 0,1,2, \cdots 14 \]
Bütün terimlere $1$ eklersek
\[ 1,2,3, \cdots 15 \]

Böylece verilen sayı dizisini sayma sayıları ile eşlemiş olduk. Son terimin geldiği hal bize zaten kaç sayı olduğunu direk gösteriyor. Formül aslında son terimin başına gelenler.

Önce birden $n$ e kadar olan sayıların toplamını çıkaralım. Orta terim $\frac{n+1}{2}$ ve terim sayısı da $n$ olacağından
\[ 1 + 2+ 3 + \cdots + n = \frac{n \cdot (n+1)}{2} \]

Çift sayıları düşünelim
\[ 2 + 4 + 6 + \cdots + 2n \]
Terimleri $2$ ortak parantezine alırsak zaten $1$ den $n$ e kadar sayılar toplamına dönüşüyor
\[ 2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = 2(1+2+3 + \cdots +n) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} = n(n+1) \]

Örneğin \[ 2+4+6+8+ \cdots + \]
Bu toplamda $2n = $ den $n=$ ve çift sayıların toplam formülünden
\[ n(n+1) = \cdot = \]

Birden başlayan ardışık tek sayıların toplamında da terim sayısı ile orta terimi çarptığımızda ilginç bir formül çıkıyor.

\[ 1 + 3 + 5 + \cdots + 2n-1 \]
Burada terim sayısı formülü uygularsak $n$ buluyoruz ve orta terim için de son ve ilki toplayıp ikiye bölersek $n$ buluyoruz. Buna göre toplam $n^2$ çıkıyor.
\[ 1 + 3 + 5 + \cdots + 2n-1 = n^2 \]

Örneğin şu toplamda son terimi $2n-1$ e eşitleyip $n$ yi bulmamız yeterli
\[ 1 + 3+ 5 + \cdots + 97 \]

$2n-1 = 97 \to n = 49$ ve toplam $n^2 = 49^2$

\[ 3+8+13+ \cdots + 73 \] toplamının değeri nedir?

Toplamın değeri orta terim ve terim sayısının çarpımıdır. Orta terim için ilk ve sonu toplayıp ikiye bölüyoruz ve terim sayısı için de sondan ilki çıkarıyoruz ortak farka bölüp bir ekliyoruz

Orta terim
\[ \frac{3+73}{2} = 38 \]
Terim sayısı
\[ \frac{}{5} + 1 = 15 \]
Toplam
\[ 38 \cdot 15 = \]

1 den e kadar olan tamsayılardan 4 ile bölünenlerin toplamı nedir?

$4$ e bölünen sayılar $4,8,12 \cdots $ şeklinde gider. $$ e kadar demek $$ dahil demektir. $$ de dörde bölündüğüne göre son terim bu ve sorulan toplam
\[ 4 + 8 + 12 + \cdots + = ? \]

Orta terim $ \frac{4 + }{2} = $ ve terim sayısı gene son eksi ilki ortak farka bölüp bir ekleyerek
\[ \frac{ - 4}{4} = 50\]
Toplam
\[ \cdot 50 = \]

\[ 1 \cdot 2 + 2\cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + 99 \cdot \] toplamında her terimin ikinci çarpanına 3 eklenirse toplam kaç artar?

Bu önemli ve tipik bir soru çünkü her yerde görebileceğiniz bir soru. Önce bu toplamı incelediğimiz yöntemle bulamayacağımızı anlayalım, çünkü terimler arası fark sabit değil. İlk terim $2$ ikinci terim $6$ ve üçüncü terim $12$ ve artış aynı değil. Ancak söylenen şey yapıldığında yani her terimin ikinci çarpanına $3$ eklendiğinde her terimdeki artışa bakalım

\begin{align}
1 \cdot 2 &+ 2\cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + 99 \cdot \\
1 \cdot 5 &+ 2\cdot 6 + 3 \cdot 7 + \cdots + 99 \cdot
\end{align}

İlk terim $1\cdot 2 = 2 $ idi ve $ 1 \cdot 5 = 5$ e dönüştü ve $3$ arttı, ikinci terim $6$ idi ve $12$ ye dönüştü ve $6$ arttı, son terim $99 \cdot $ idi ve $3\cdot 99$ arttı, artışlar şu şekilde
\[ 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + \cdots 3 \cdot 99 \]

$3$ parantezine alırsak sadece $1$ den $99$ a kadar olan ardışık tamsayıların toplamını bulmamız yetecek
\begin{align}
3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + \cdots 3 \cdot 99 &= 3 (1 + 2 + \cdots + 99) \\
&= 3 \cdot (50 \cdot 99)
\end{align}

Temel Kavramlar

Ardışık Sayılar Toplamı

Sayılar Çözümlü Sorular I

Sayılar Çözümlü Sorular II

Sayılar Çözümlü Sorular III

Ardışık Sayılar Toplamı ve Terim Sayısı

Ardışık Sayıların Toplamı Formülü: Ardışık Sayıların Toplamı Nasıl Bulunur Ve Hesaplanır?

Toplam formülleri arasında tek-çift sayılarında kısa formüller ile toplanması mümkündür. Formüllerin uygulanması sayesinde ardışık tek-çift sayılar herhangi bir zorluğa maruz kalınmadan toplanabilir. Matematikte pozitif sayılar, üslü sayılar, negatif sayılar, çift- tek sayılar gibi kümeler vardır. Bu anlatımlar arasında yer alan tek-çift sayıların toplanması ile alakalı formüller vardır. Ardışık sayılar belli bir düzene göre birbirini takip eder. İki ardışık sayı arasındaki fark 1'dir.

Ardışık sayıların toplamı formülü

Ardışık sayılar tek ve çift ifadeleri ile belirlenir. Bu sayede, sayıların niteliklerine göre ardışık sayıların toplama formülü üzerinden toplamı çok rahat bir şekilde bulunmaktadır. İşlemin gerçekleştirilmesi adına formüller çok değerlidir. Formüller, matematikte işlemlerin pratik bir şekilde çözülmesini sağlar.

Ardışık sayıların toplama formülü: 1+2+3+ n= n . (n + 1) / 2 şeklinde ifade edilir. Tek ve çift sayıların toplamı için farklı formüller kullanılmaktadır.

1+3+5++(2n-1) =n.n= n kare Formülünden yararlanmanız halinde tek ardışık sayıların toplamını bulmak mümkündür.

Ardışık Sayıların Toplamı Nasıl Bulunur?

Ardışık sayıların toplamını bulmak için, sayının sahip olduğu özellik üzerinden formülleri kullanabilirsiniz. Konunun anlaşılabilir olması, soruların çözümü için son derece önemlidir. Ardışık sayıya göre formülleri öğrendikten sonra, örneklerin çözümü konunun anlaşılması için önem taşır.

Ardışık sayılar, ardışık sayıların toplamı gibi konularda MEB ve ÖSYM tarafından hazırlanan çok sayıda soru vardır. Soruların çözümü oldukça basittir. Fakat hızlı çözmek, sınav süreçlerinde zaman kazanma açısından önemlidir.

Ardışık Çift Tam Sayıların Toplamı Nasıl Bulunur?

Belli kurala göre birbirini takip eden sayılara ardışık sayı ismi verilmektedir. Ardışık çift sayılar ise, çift sayıların belli kurallara göre birbirini takip etmesi anlamına gelir. 0,2,4… şeklinde devam eder. Aralarındaki fark 2'dir.

2+4+6++2n = n.(n+1) formülü, ardışık çift sayıların toplamını hesaplama için tercih edilmektedir.

Yukarıda yer alan kuralı kullanarak ardışık çift sayıların toplamanı ifade edebiliriz. Bu formül üzerinde çeşitli matematik problemleri çok kısa zaman içinde çözülebilir.

Ardışık Tek Ve &#;ift Sayıların Toplamı Nasıl Bulunur? Form&#;l&#; Nedir?

Ardışık Tek Sayıların Toplamı Nasıl Bulunur?

Ardışık tek sayıların toplamını bulabilmek için belli başlı bir formül bulunmaktadır. Bu formül üzerinden gerekli yerlere eksikler yazıldığı takdirde, kolay bir şekilde sonucu bulmak mümkün. Bu doğrultuda bir örnek üzerinden ele alarak sonucu daha iyi anlamak gerekir;

Örneğin (1 + 3 + 5…n) şeklinde ele alınan tek sayılar toplama, ‘n x (n + 1) / 2 formülü üzerinde çözüme kavuşmaktadır.

Yukarıda verilen formül içerisinde, ‘n’ sayısı tek sayıların toplamını göstermektedir. Ele alınan bu toplam ile beraber kolay bir şekilde sonuca ulaşmak mümkün olur.

Ardışık Çift Sayıların Toplamı Nasıl Bulunur?

Söz konusu ardışık çift sayılar olduğu vakit ise yine aynı formül üzerinden işlem gerçekleştirilir. Ancak bu defa bazı farklılıklar ön plana çıkmaktadır. Yine bu konuda bir örnek üzerinden durumu daha iyi anlamak mümkün;

Örneğin, (2 + 4 + 6… 2n) şeklinde devam eden sonuç kapsamında öne çıkan formül, ‘n x (n + 1) biçiminde ifade edilmektedir. Ele alınan bu formül ile beraber ardışık çift sayılar kaç tane olursa olsun, hızlı ve kolay bir şekilde sonucu bulmak mümkün.

Ardışık Tek ve Çift Sayıların Toplamı Formülü Nedir?

Matematik üzerinden en çok merak edilen konular arasında ardışık tek ve çift sayıların toplam formülü geliyor. Bu doğrultuda ortak şekilde bir formül öne çıksa dahi, bu formül kapsamında bazı kısımlar üzerinden farklılık yaşanmaktadır. Elbette bu farklılık ardışık tek ve çift sayıların durumuna göre gelişir.

Ardışık tek sayıların toplamı formülü = n x (n+ 1) / 2

Ardışık çift sayıların toplamı formülü = n x (n + 1)

Bu şekilde yukarıda verilen formül ile beraber hem tek hem de çift ardışık sayıların toplamını kolay bir şekilde bulmak mümkün.

Başlıklar

Ardışık sayılar, genellikle ardışık sayılar toplamı konusunda MEB&#;in ve ÖSYM&#;nin yaptığı bütün sınavlarda sorulan sorulardandır. Ardışık sayıları toplama soruları oldukça basit sorulardır. Fakat bu soruları çözebilmek değil, daha hızlı çözmek önemlidir. Ardışık Sayıların Toplamı Formülü arayışında olanlar için basit formülü bu haberimizde.

Ardışık Sayı Nedir?

Ardışık sayılar kısaca açıklanacak olursa, belirli bir kurala göre birbirini takip eden sayılardır. Bu sayılar arasındaki fark her daim aynıdır. Örneğin &#; 1, 2, 3, 4 ardışık sayılardır. 2, 4, 6 da ardışık çift sayılardır.

Ardışık Sayılar : Bir soru içerisinde ardışık sayı dendiğinde, rakamlar arasındaki fark 1 &#;dir (birdir).

Örneğin: a, b, c, d, e ve f ardışık sayılardır gibi sorular görebilirsiniz. Bu şekildeki sorularda rakamlar arasındaki fark yalnızca birdir.

3, 4 , 5 , 6 , 7 , 8 rakamları örnek gösterilebilir.

Ardışık Çift Sayılar : Ardışık çift sayılarda ise rakamlar arasındaki fark her zaman 2&#;dir. Aynı zamanda bütün sayılar çift sayıdır.

Örneğin: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 rakamları örnek verilebilir.

Ardışık Tek Sayılar : Rakamlar arasında olan fark her zaman 2&#;dir. Fakat bu tip sorulardaki bütün rakamlar tekil rakamlardır.

Örnek : 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 rakamları örnek olarak gösterilebilir.

Diğer Ardışık Sayılar : Örnek: 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33

Bu rakamlar arasındaki fark ise 4&#;tür.

Ardışık Sayılar Toplamı Formülü

Matematik sınavlarda en çok puan veren konulardan biridir. Hızlı bir şekilde matematik sorularını çözebilmek için formülleri aklınızda tutabilirsiniz.

Ardışık Sayıların Toplama Formülü (1+2+3+ …n=?)

Ardışık sayılarda daha hızlı olabilmek için farklı formüller kullanabilirsiniz. Sınavlarda zamandan tasarruf etmek için basit ve hızlı sonuç veren formüller oldukça önemlidir.

1&#;den başlayarak devam eden normal ardışık sayılarda toplama formülü aşağıdaki şekildedir.

1 + 2 + 3 + 4 + &#;&#;&#;&#;&#;&#;&#;.n = n . (n + 1) / 2 formülünü uygulayın. Son terim ile Son terimin bir fazlasını çarpın. Daha sonrasında ise bu rakamı 2&#;ye bölün.

Örnek : 1+2+3+4+&#;..+10 = ?

Son sayı 10 ve son sayının bir fazlası 11&#;dir. 10 x 11 = sonucu elde edilir. Bu rakamı 2&#;ye böldüğümüzde 55 eder.

Sağlamasını yapacak olursak: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 eder.

Örnek : 1+2+3+&#;&#;&#;&#; =?

x = / 2 = sonucunu elde ederiz.

Ardışık Tek Sayıların Toplamı Formülü

Yukarıdaki başlıkta olan formül ardışık sayıların tamamında geçerli bir formüldür. Fakat 1&#;den başlayan tekil ardışık sayılarda sonucu daha hızlı bulmanız için farklı bir formül vardır.

1+3+5+&#;&#;&#;. 2n &#; 1 = n²

Açıklaması : 1+3+5+&#;&#;.9 =?

9 sayısını n olarak açıklaması şu şekildedir: 2n &#; 1 = 9 ise n = 5 eder. Böylece n² = 5 x 5 = 25 eder.

Sağlaması: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 eder.

Zor Soru : 1+ 3 + 5 + &#;&#;&#;. + = ?

&#;un n cinsinden değerini bulmalıyız.
- = 2n &#; 1
- = 2n
- = 2
Yukarıda ki sorunun cevabı bu durumda = ² = x yani
- sonucunu elde ederiz.

Ardışık Çift Sayıların Toplamı Formülü İspatı

Yukarıda yer alan formüllerde genel formüllere yer verdir. Fakat 2&#;den başlayan çift ardışık sayıların toplamı için aşağıdaki basit formülü kullanabilirsiniz.

2 + 4 + 6 + &#;&#;&#;.2n = n x (n +1)

2n sayısı bu işlemde son rakamın 2n şeklinde gösterilmesidir. Örnek verecek olursak son sayı 10 ise n = 5&#;tir.
2 + 4 + + &#;&#;+ 10 = ?
- 10 = 2n
- n =5 eder.
- Formülü uygulanırsa: 5 x (5 +1) = 30 olur.

Sağlaması : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 olur.

Ardışık Sayıların Toplamı formülü matematik sınavına girecekler ve ÖSYM sınavlarına girecek kişiler tarafından sıklıkla araştırılmaktadır. Okullarda ve özel kurslarda da Ardışık Sayıların Toplamı Formülü konusu yer almaktadır.

nest...

121177 121178 121179 121180 121181