Fonksiyon Değişim Hızı Nasıl Bulunur
Anlık Değişim Oranı
Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki ortalama değişim oranı faydalı bir bilgi olsa da fonksiyonun belirli bir noktadaki davranışını açıklamaz. Örneğin bir otomobilin iki şehir arasındaki ortalama hızını 90 km/s olarak hesaplayabiliriz, ancak araç tüm yolu sabit hızla mı gitti yoksa yolun farklı bölümlerinde hızlanıp yavaşladı mı bilemeyiz. Bu sebeple bir aralıktaki ortalama değişim oranına ek olarak herhangi bir andaki değişim oranı da ihtiyaç duyacağımız bir veri olarak karşımıza çıkmaktadır. Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değişim oranına o noktadaki anlık değişim oranı denir.
Bir doğrunun sabit değişim hızını bulmak için o doğrunun eğimini hesapladığımız gibi, bir fonksiyonun belirli bir noktasındaki anlık değişim oranını bulmak için fonksiyona o noktada teğet olan doğrunun eğimini bulmamız gerekir. Örneğin aşağıdaki şekildeki fonksiyonun \( A \) noktasındaki anlık değişim oranı fonksiyona o noktada teğet olan \( d \) doğrusunun eğimine eşittir.
Şu ana kadar eğimi iki nokta kullanarak hesapladık, ancak burada anlık değişim oranı için elimizde tek bir \( A \) noktası olduğunu görüyoruz. İkinci bir nokta olarak ilk önce eğri üzerinde \( B_1 \) noktasını seçerek \( [AB_1] \) doğru parçasının eğimini hesaplamaya çalışabiliriz. \( B_1 \) noktasını \( A \) noktasının uzağında seçersek bulacağımız eğim değeri \( d \) doğrusunun eğiminden oldukça farklı olacaktır. Bu ikinci noktayı \( B_2 \), \( B_3 \) ve \( B_4 \) noktaları olacak şekilde gitgide \( A \) noktasına daha yakın bir nokta olarak seçersek elde edeceğimiz eğim değeri de \( d \) doğrusunun eğimine gitgide yaklaşacaktır.
Dolayısıyla bir fonksiyonun \( A \) noktasındaki anlık değişim oranına en yakın değeri bulabilmek için, \( A \) noktasına gitgide yaklaşan noktalar seçerek bu noktalarla \( A \) noktasını birleştiren doğruların eğimini hesaplamamız gerekir. "Gitgide yaklaşan" noktalardan bahsettiğimiz için de bu eğim denklemini bir limit ifadesi olarak yazabiliriz.
\( \text{Anlık değişim oranı} = m \) \( = \lim_{x \to a} {\dfrac{f(x) - f(a)}{ x - a}} \)
Yukarıdaki limit ifadesi \( x \) değeri \( a \)'ya yaklaşırken \( [AB] \) doğru parçasının eğimini vermektedir ve bu değer \( x \) \( a \)'a sonsuz yaklaştığında \( A \) noktasındaki anlık değişim oranına eşit olur.
SORU 1:
Bir hareketlinin konum (km) - zaman (saat) fonksiyonu \( x(t) = 4t^2 \) ile ifade edilmektedir.
Buna göre, bu hareketlinin \( t = 2 \) anındaki hızı saatte kaç km'dir?
Çözümü GösterHareketlinin anlık hızını anlık değişim oranının limit tanımı ile hesaplayabiliriz.
\( \lim_{t \to 2} \dfrac{f(t) - f(2)}{t - 2} \)
\( = \lim_{t \to 2} \dfrac{4t^2 - 4 \cdot 2^2}{t - 2} \)
\( = \lim_{t \to 2} \dfrac{4(t^2 - 4)}{t - 2} \)
\( \frac{0}{0} \) belirsizliğini pay ve paydadaki ortak \( t - 2 \) çarpanını sadeleştirerek giderelim.
\( = \lim_{t \to 2} \dfrac{4(t - 2)(t + 2)}{t - 2} \)
\( = \lim_{t \to 2} 4(t + 2) \)
İfade doğrusal bir fonksiyon ve sürekli olduğu için doğrudan yerine koyma yöntemi ile \( t = 2 \) koyarak limit değerini hesaplayalım.
\( = 4(2 + 2) = 16 \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
Anlık değişim hızı her noktasında 0 olan bir \( f(x) \) fonksiyonunun \( x = 5 \) için değerinin 10 olduğu biliniyor.
Buna göre \( f(22) - f(8) \) kaçtır?
Çözümü GösterAnlık değişim hızının 0 olması fonksiyonun sabit fonksiyon olduğu anlamına gelir.
Buna göre her \( x \) değeri için fonksiyon değeri \( f(x) = 10 \) olacaktır.
\( f(22) - f(8) = 10 - 10 = 0 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Ortalama Değişim Oranı
SORU 1:
Hareketli bir aracın \( t \). dakika itibariyle konumu \( f(t) \) fonksiyonu ile verilmiştir.
\( f(t) = t^2 + 4t + 9 \)
Buna göre aracın 1. ve 3. dakikalar arasındaki ortalama hızını bulalım.
Çözümü GösterAracın \( t = 1 \) ve \( t = 3 \) anlarındaki konumu aşağıdaki gibidir.
\( f(1) = 1^2 + 4 \cdot 1 + 9 = 14 \)
\( f(3) = 3^2 + 4 \cdot 3 + 9 = 30 \)
Buna göre araç \( t = 1 \) ve \( t = 3 \) dakikaları arasında \( f(3) - f(1) = 16 \) birim yol katetmiştir.
Ortalama hızı bulmak için toplam katedilen yolu toplam zamana bölelim.
\( \text{Ortalama hız} = \dfrac{30 - 14}{3 - 1} \)
\( \text{Ortalama hız} = 8 \text{ br/dk} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( f(x) = x + e^{x + 1} \) olduğuna göre,
\( f \) fonksiyonunun \( [-1, +1] \) aralığındaki ortalama değişim oranını bulunuz.
Çözümü GösterFonksiyonun verilen aralıktaki değişim oranı:
\( \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)}\)
\( = \dfrac{(1 + e^{1 + 1}) - (-1 + e^{-1 + 1})}{2} \)
\( = \dfrac{(1 + e^2) - (-1 + e^0)}{2} \)
\( = \dfrac{e^2 + 1}{2} \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( g(x) = \sin{x} - \cos{x} \) olduğuna göre,
\( g \) fonksiyonunun \( [-\frac{\pi}{2}, \pi] \) aralığındaki ortalama değişim oranını bulunuz.
Çözümü GösterFonksiyonun verilen aralıktaki değişim oranı:
\( \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{g(\pi) - g(-\frac{\pi}{2})}{\pi - (-\frac{\pi}{2})}\)
\( g(-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) - \cos(-\frac{\pi}{2}) = -1 - 0 = -1 \)
\( g(\pi) = \sin{\pi} - \cos{\pi} = 0 - (-1) = 1 \)
\( \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{1 - (-1)}{\frac{3\pi}{2}}\)
\( = \dfrac{4}{3\pi} \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
2. Fonksiyonların Grafikleri
2.3. Doğrusal Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar
Değişim Oranı (Hızı)
Değişim oranı (hızı) veya ortalama değişim oranı (hızı) bir niceliğin değerindekideğişiminin başka bir nicelikteki değişime kıyasla ortalama ne kadar olacağını gösteren bir orandır.
x bağımsız, y de x e bağımlı bir değişken olmak üzere, bu değişkenlere ait (x ,y ) ve (x ,y ) değerleri verilsin. (x ,y )
1 1 2 2 1 1
değerlerinden (x ,y ) değerlerine geçişte yaşanan
2 2
şeklinde ifade edilir.
y = f(x) = mx + b şeklindeki bir doğrusal fonksiyonun değişim oranı (hızı), bu fonksiyonungrafiği üzerinden alınacak herhangi iki nokta çifti için olan değişim oranıdır, yani bu fonksiyonun grafiği olan doğrunun eğimidir.
Etkinlik2.5.
Tabletlerinizden autograph programını açarak koordinat düzlemi üzerine,
f(x) = x + 1, g(x) = –2x + 1, h(x) = 3x – 2 ve k(x) = x – 3
fonksiyonlarının grafiklerini çizdirin. Bu fonksiyonların değişim oranlarını bulunuz.
Görüldüğü gibi kuralları farklı olan f ve k fonksiyonlarının değişim oranları (hızları) aynıdır.Bu durum, her iki fonksiyonun grafiklerinin birbirine paralel yani eğimleri aynı olaniki doğru olmasından da açıkça görülmektedir.
Eğimin değerinin pozitif veya negatif olması değişim oranının yönünü göstermektedir.Pozitif eğim değerleri değişimin artış; negatif eğim değerleri de değişiminazalış (düşüş) şeklinde olduğunu göstermektedir. Eğimin mutlak değeri arttıkça/azaldıkça değişim oranı (hızı) da artacak/azalacaktır.
Uygulama 2.4.
http://f.eba.gov.tr/MatematikAraclariUygulamasi/web sayfasında sol üstte yer alan menüden “fonksiyonların grafikleri” bölümünden “Birinci Dereceden Denklemler”e girin. Uygulamayı başlatın.
a) Verilen doğru grafiğinde x teriminin katsayısını değiştirin.
b) x teriminin katsayısı değiştikçe grafiğin nasıl değiştiğini yorumlayın.
c) Söz konusu doğru denkleminde x’in katsayı neyi temsil etmektedir?
d) Aynı uygulamada verilen doğru denkleminde x katsayısı sabit tutulurken sabit terimin değerinin değiştirilmesi durumunda grafiğin nasıl değiştiğini yorumlayın.
e) Doğru denkleminde sabit terimin rolü nedir?
y = f(x) Fonksiyonunun Grafiği ile f(x) = 0 Denklemi Arasındaki İlişki
Bir denklemin çözümü olan denklemin kökleri, denklemi sağlayan (doğrulayan) değerlerdir.Koordinatları (x, 0) olan noktalar, y = 0 denkleminin iki bilinmeyenli(x ve y bilinmeyenleri) bir denklem olarak ele alındığındaki çözümlerine karşılık gelmektedir.Dolayısıyla x ekseni, y = 0 doğrusal denklemiyle ifade edilebilir.
a∈ R için f(a) = 0 oluyorsa a sayısına f fonksiyonunun sıfırı denir. Diğer birifadeyle,
bir f fonksiyonun sıfırları f(x) = 0 denkleminin kökleridir. Bu durumda ffonksiyonun sıfırları
fonksiyonun grafiğinin x-eksenini kestiği noktalardır.Örneğin, mx + n = 0 doğrusal
denkleminin koku f(x) = mx + n doğrusal fonksiyonunun sıfırıdır.
Etkinlik 2.6.
http://www.vitaminegitim.com/proxy/HSStudentPlayer_v0.0.228/index.html#lessonplayer
linkinden vitamin eğitim kapsamında yer alan etkinliği başlatın. Yönerge bölümünü dikkatle inceleyin. Bu etkinlikte fonksiyonların sıfırlarını bulma ve birbirlerine eşit oldukları nokta ya da noktaları saptama konusunda uygulama yapacaksınız.
Etkinlik 2.7.
Tabletlerinizden autograph programını başlatın ve koordinat düzleminde,
2
a) f(x)= x(x-3) (x-5) fonksiyonun grafiğini çizdirin.
i. Fonksiyon ifadesinin grafiğini çizdirin. Grafikten yararlanarak verilen fonksiyonun sıfır(lar)ını bulun.
ii. Aynı koordinat düzleminde g(x)=2 fonksiyonunun grafiğini çizdirin. Fonksiyonun x girdi ve y çıktı değerlerini
düşünerek ne tip bir fonksiyon olduğunu belirtin.
iii. f(x) ve g(x) fonksiyonlarının kesişim noktası ya da birden fazla ise noktalarını bulunuz ve koordinatlarını yazınız.
iv. Bulmuş olduğunuz noktanın hem f fonksiyonu altındaki görüntüsünü hem de g fonksiyonu altındaki görüntüsünü
karşılaştırınız. Buradan nasıl bir sonuca ulaşabiliriz?
5 4 2 2
b) Aynı adımları yine autograph koordinat düzlemi üzerinde çalışarak f(x)= x - x - x - 2x ve f(x)= (x -6x - 16) / (x - 3)
fonksiyonları için de yapın. Sonuçlarınızı yorumlayın.
Bir f fonksiyonun sıfırları için kullandığımız akıl yürütmeyi genişleterek f(x) = a (a ∈ R)
denkleminin çözüm kümesini f fonksiyonun grafiği üzerinden bulabiliriz:
f(x) = a
denkleminin çözüm kümesi
y = f(x)
y = a
denklem sistemini sağlayan x değerleridir. Diğer bir ifadeyle,
f(x) = a
denkleminin çözüm kümesi f fonksiyonunun grafiği ile y eksenini a’da kesen yatay doğrunun kesiştiği noktanın apsisidir.
Uygulama 2.5.
Bir firmanın zamana (x yıl) bağlı gelir (milyon TL) fonksiyonu f, gider fonksiyonu g’dir.
0 ≤ x ≤ 6 için f(x)= 12 – 2x ve g(x) = x + 3 olarak verildiğine göre aşağıda istenenleriyapın.
a) f ve g fonksiyonlarının grafiklerini aynı koordinat düzleminde çizelim.
b) Gelir ve giderin eşit olduğu zamanı ve bu andaki geliri bulalım.
c) Kar edilen ve zarar edilen bölgeler ile en büyük karı belirleyelim.
Tabletlerinizden autograph programını açarak koordinat düzleminde sırasıyla
f(x)= 12-x ve
g(x)= x+3 fonksiyonlarının grafiklerini çizdirin.
Gelir ve giderin eşit olduğu x değeri grafikte de görüldüğü gibi iki doğrununkesim noktası olan (3, 6) noktasıdır. Bunu cebirsel olarak da bulabiliriz. İki denklemineşit olduğu noktayı bulmak için denklemleri birlikte çözelim.
f(x) = g(x) ⇒ 12 – 2x = x + 3⇒ x = 3 bulunur.
x = 3 için gider fonksiyonunun değeri g(3) = 3 + 3 = 6 dır. Böyleliklegelir ve gider 3. yılda eşit olup 6 milyon TL’dir.
Kar edilen bölgeler, gelirin (f değerlerinin) giderden (g değerlerinden) daha fazlaolduğu bölgelerdir. f fonksiyonu [0, 3) arasında azalarak 12 den 6 ya düşmüştür.Bu noktadan sonra f fonksiyonunun aldığı değerler g fonksiyonunkilerden dahaküçüktür. O halde kar edilen bölge [0, 3) aralığı zarar edilen bölge ise (3, 6] aralığıdır.Şirketin karı x = 0 değerinden itibaren hep azalmakta ve x = 3 değerinden sonradurum zarara dönüşmektedir. Bu nedenle, en büyük kar
x = 0 noktasında f(0) – g(0) = 12 – 3 = 9 milyon TL olur.
Sonraki Konu