81 Sayısının Asal Çarpanları

Bir sayı belirli bir çarpanı içerdiği sayıda o çarpana kalansız bölünebilir, bunun sebebi sayıyı o çarpana her böldüğümüzde sayının asal çarpanları biçiminde yazılışında o çarpanın kuvvetinin bir azalacak olmasıdır.

Buna göre \( ! \) sayısının içinde:

3'ün her katı için \( \floor{ / 3} = 33 \) tane

9'un her katı için \( \floor{33 / 3} = 11 \) tane daha

27'nin her katı için \( \floor{11 / 3} = 3 \) tane daha

81'in her katı için \( \floor{3 / 3} = 1 \) tane daha

Toplamda \( 33 + 11 + 3 + 1 = 48 \) tane 3 çarpanı vardır.

Dolayısıyla \( ! \) sayısı arka arkaya 48 kez 3'e kalansız bölünebilir.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( 30! = 6^x \cdot y \)

\( 6 = 2 \cdot 3 \)

Her 6 çarpanı birer tane 2 ve 3 çarpanından oluştuğu için \( 30! \) sayısı içinde 2 ve 3 çarpanlarından hangisi daha az sayıda ise o kadar sayıda 6 çarpanı içerir. Bir faktöriyelin içinde daha büyük bir sayı olan 3 çarpanı 2 çarpanından daha az sayıda bulunur.

Buna göre, \( 30! \) sayısının içinde:

3'ün her katı için \( \floor{30 / 3} = 10 \) tane

9'un her katı için \( \floor{10 / 3} = 3 \) tane daha

27'nin her katı için \( \floor{3 / 3} = 1 \) tane daha

Toplamda \( 10 + 3 + 1 = 14 \) tane 3 çarpanı vardır.

Buna göre, \( 30! \) sayısının içinde 14 tane 3 çarpanı, dolayısıyla 14 tane 6 çarpanı vardır.

O halde, verilen eşitlikte \( x \) doğal sayısı en çok 14 olabilir.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Bu soru \( 88! \) sayısı \( 24 \)'e en çok kaç kez kalansız bölünebilir sorusu ile özdeştir, çünkü \( n \)'nin alabileceği en büyük değer \( 88! \) içindeki \( 24 \) çarpan sayısına eşittir.

\( 24 \)'ü asal çarpanlarına ayıralım.

\( 24 = 2^3 \cdot 3^1 \)

\( 88! \) içinde 3 adet 2 çarpanı ve 1 adet 3 çarpanı grup olarak kaç adet bulunuyorsa o kadar 24 çarpanı bulunuyordur. Buna göre önce \( 88! \) içindeki 2 ve 3 çarpan sayılarını bulalım.

\( 88! \) içindeki \( 2 \) çarpan sayısı \( = 44 + 22 + 11 + 5 + 2 + 1 = 85 \)

\( 88! \) içindeki \( 3 \) çarpan sayısı \( = 29 + 9 + 3 + 1 = 42 \)

Verilen denklemde 24'ü çarpanları cinsinden yazalım.

\( 88! = (2^3 \cdot 3^1)^n \cdot A \)

\( 88! \) içindeki 85 adet 2 çarpanı ve 42 adet 3 çarpanını aşmayacak şekilde \( n \)'ye verebileceğimiz en büyük değer 28 olur. Bu durumda, kalan 1 adet 2 çarpanı ve 14 adet 3 çarpanı \( A \) değişkenine dahil olur.

\( 88! = (2^3 \cdot 3^1)^{28} \cdot A \)

\( 88! = 2^{84} \cdot 3^{28} \cdot A \)

Buna göre, sorunun cevabı \( n = 28 \)'dir.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Bir sayının tam kare olabilmesi için (1, 4, 9, 16, ) asal çarpanları biçiminde yazılışında tüm asal çarpanlarının kuvveti birer çift sayı olmalıdır.

\( A = (x^a \cdot y^b \cdot z^c)^2 \)

\( = x^{2a} \cdot y^{2b} \cdot z^{2c} \)

\( 5! \) ve \( 9! \) sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.

\( 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \)

\( = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \)

\( 9! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \)

\( = 2^7 \cdot 3^4 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \)

Bu iki sayının çarpımını alalım.

\( 5! \cdot 9! = 2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7^1 \)

Bu çarpımda 2 ve 5'in kuvvetlerinin çift, 3 ve 7'nin kuvvetlerinin tek olduğunu görüyoruz, dolayısıyla ifadenin bir tam kare olması için ihtiyacımız olan en azından 1'er adet 3 ve 7 çarpanıdır. Buna göre, \( M \)'nin alması gereken en küçük değer \( M = 3 \cdot 7 = 21 \) olur.

\( 5! \cdot 9! \cdot M \)

\( = (2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7^1) \cdot (3 \cdot 7) \)

\( = 2^{10} \cdot 3^6 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \)

\( = (2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^1 \cdot 7^1)^2 \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( 4! = 24 \) olduğu için 4'ten büyük tüm sayıların faktöriyelleri de 24 çarpanını içerir ve 24'e kalansız bölünür.

Dolayısıyla verilen toplamın 24 ile bölümünden kalan \( 0! + 2! \) toplamının 24 ile bölümünden kalana eşittir.

\( 0! + 2! = 1 + 2 = 3 \)

Buna göre ifadenin 24 ile bölümünden kalan 3 olur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin