Orijine Göre Simetrik
If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.
Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *funduszeue.info ve *funduszeue.info adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.
Bu derste öğrenecekleriniz:
Anlamış olduğunuzu kontrol edin
Anlamış olduğunuzu kontrol edin
Orijine G&#;re Simetrik Ne Demek? Kısaca Konu Anlatımı
Orijin Nedir?
Koordinat sisteminin içinde (0,0) başlangıç noktası ifadesine orijin adı verilir. Koordinat sisteminde bütün noktaların yerinin orijine göre belirlenmesi gerektiği için bu noktaya başlangıç ya da ana nokta manasına gelen “orijin” denir.
Orijine Göre Simetri Ne Demektir?
Orijin bir trigonometri alanında yer alan terimdir. Orijin X ile Y eksenleri üzerinden oluşan koordinat düzleminde X ile Y ölçütlerinin her ikisinin de "0" olabildiği noktaya verilmiş olan isimdir. Bir noktanın orijine göre simetrik olması demek, bu noktanın x=0 ve y=0 yani başka bir gösterim ile (0;0) noktasına göre simetrik olduğu manasına gelir.
Orijinin Koordinatları Nedir?
Birinci dereceden olan ve iki değişkene sahip her çeşit polinomun düzlem içerisindeki bir doğruya, birebir olarak eşlenmesiyle oluşturulan cebirsel bir geometrik yapısına kartezyen koordinat sistemi ya da dik eksenler sistemi ismi verilir. Koordinat eksenleri x veya y eksenidir. X ve y ekseni sıfır noktasında birbirleri ile çakışır. Çakışılan bu noktaya sıfır noktası bir başka ifade ile orijin adı verilir. Orijinin koordinatları ise (0,0) şeklindedir.
Ax + by + c = 0 doğRusunun
x eksenine göre, simetriği ax – by + c = 0 dır.
Örnek;
2x + 3y – 12 = 0
doğrusunun x eksenine göre simetriği olan doğrunun denklemini bulunuz.
y eksenine göre simetriği –ax + by + c = 0 dır.
Orjine göre simetriği –ax – by + c = 0 dır.
Örnek;
3y – 2x = 6
doğrusunun orjine göre simetriğini bulunuz.
Örnek;
4x – 5y + 20 = 0
doğrusunun A(3, 1) Noktasına göre simetriği olan doğrunun denklemini bulunuz.
Örnek;
3x – y = 0
doğrusunun y = x doğrusuna göre simetriğini bulunuz.
Örnek;
x + 4y = 4
doğrusunun y = x doğrusuna göre simetriğini bulunuz.
Örnek;
4x + 3y – 24 = 0
doğrusunun x = 2 doğrusuna göre simetriğini bulunuz.
Örnek;
x – 2y + 2 = 0
doğrusunun y = 2 doğrusuna göre simetriğini bulunuz.
Örnek;
y – 3x + 3 = x doğrusunun y – x – 1 = 0 doğrusuna göre, simetriği olan doğru denklemini bulunuz.
Geometri YGS- LYS Konu Anlatımı ve Konu Testine Geri Dön
Doğrunun Simetriği
Bir doğrunun eksenlere, bir doğruya ya da bir noktaya göre simetriğini bulmak için o doğrunun denklemindeki değişkenlere belirli dönüşümler uygulanır.
Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği doğrunun üzerindeki her noktanın simetri noktasına göre simetriği olan noktalardan oluşur. Benzer şekilde, bir doğrunun diğer bir doğruya göre simetriği doğrunun üzerindeki her noktanın simetri doğrusuna göre simetriği olan noktalardan oluşur.
Bir doğrunun farklı simetrileri için uygulanması gereken dönüşümler aşağıda belirtilmiştir.
\( x \) Eksenine Göre
Bir \( d \) doğrusunun \( x \) eksenine göre simetriği alınırken denklemde \( y \) işaret değiştirir.
\( d: ax + by + c = 0 \)
\( y \longmapsto -y \)
\( d': ax - by + c = 0 \)
ÖRNEK:
\( d: x - 2y - 2 = 0 \)
\( d' \) doğrusunun denklemi:
\( x - 2(-y) - 2 = 0 \)
\( x + 2y - 2 = 0 \)
\( d \) doğrusunun \( x \) eksenini kestiği noktanın bu eksene göre simetriği aynı nokta olacağı için, doğrunun kendisi ve simetriği \( x \) eksenini aynı noktada keser.
\( y \) Eksenine Göre
Bir \( d \) doğrusunun \( y \) eksenine göre simetriği alınırken denklemde \( x \) işaret değiştirir.
\( d: ax + by + c = 0 \)
\( x \longmapsto -x \)
\( d': -ax + by + c = 0 \)
ÖRNEK:
\( d: x - 2y - 2 = 0 \)
\( d' \) doğrusunun denklemi:
\( (-x) - 2y - 2 = 0 \)
\( -x - 2y - 2 = 0 \)
\( d \) doğrusunun \( y \) eksenini kestiği noktanın bu eksene göre simetriği aynı nokta olacağı için, doğrunun kendisi ve simetriği \( y \) eksenini aynı noktada keser.
Orijine Göre
Bir \( d \) doğrusunun orijine göre simetriği alınırken denklemde \( x \) ve \( y \) işaret değiştirir.
\( d: ax + by + c = 0 \)
\( x \longmapsto -x, \quad y \longmapsto -y \)
\( d': -ax - by + c = 0 \)
ÖRNEK:
\( d: x - 2y - 2 = 0 \)
\( d' \) doğrusunun denklemi:
\( (-x) - 2(-y) - 2 = 0 \)
\( -x + 2y - 2 = 0 \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin katsayılarının oranı değişmediği için, doğrunun kendisinin ve simetriğinin eğimleri aynı olur (doğrular paralel olur).
\( y = x \) Doğrusuna Göre
Bir \( d \) doğrusunun \( y = x \) doğrusuna göre simetriği alınırken denklemde \( x \) ve \( y \) yer değiştirir.
\( d: ax + by + c = 0 \)
\( x \longmapsto y, \quad y \longmapsto x \)
\( d': ay + bx + c = 0 \)
ÖRNEK:
\( d: x - 2y - 2 = 0 \)
\( d': y - 2x - 2 = 0 \)
\( d \) doğrusunun \( y = x \) doğrusunu kestiği noktanın bu doğruya göre simetriği aynı nokta olacağı için, doğrunun kendisi ve simetriği \( y = x \) doğrusunu aynı noktada keser.
\( y = -x \) Doğrusuna Göre
Bir \( d \) doğrusunun \( y = -x \) doğrusuna göre simetriği alınırken denklemde \( x \) ve \( y \) işaret ve yer değiştirir.
\( d: ax + by + c = 0 \)
\( x \longmapsto -y, \quad y \longmapsto -x \)
\( d': -ay - bx + c = 0 \)
ÖRNEK:
\( d: x - 2y - 2 = 0 \)
\( d' \) doğrusunun denklemi:
\( (-y) - 2(-x) - 2 = 0 \)
\( -y + 2x - 2 = 0 \)
\( d \) doğrusunun \( y = -x \) doğrusunu kestiği noktanın bu doğruya göre simetriği aynı nokta olacağı için, doğrunun kendisi ve simetriği \( y = -x \) doğrusunu aynı noktada keser.
Bir Noktaya Göre
Bir \( d \) doğrusunun \( S(m, n) \) noktasına göre simetriği alınırken denklemde \( x \) yerine \( 2m - x \), \( y \) yerine \( 2n - y \) yazılır.
\( d: ax + by + c = 0 \)
Simetri noktası: \( S(m, n) \)
\( x \longmapsto 2m - x, \quad y \longmapsto 2n - y \)
\( d': a(2m - x) + b(2n - y) + c = 0 \)
ÖRNEK:
\( d: x - 2y - 2 = 0 \)
Simetri noktası: \( S(1, 2) \)
\( d' \) doğrusunun denklemi:
\( (2(1) - x) - 2(2(2) - y) - 2 = 0 \)
\( 2 - x - 8 + 2y - 2 = 0 \)
\( x - 2y + 8 = 0 \)
\( d \) ve \( d' \) doğrularının eğimi aynı olur, \( d' \) doğrusunun denkleminde \( d \) doğrusuna göre sadece sabit terim değişir.
Alternatif bir yöntem olarak, \( d \) doğrusu üzerindeki bir noktanın \( S \) noktasına göre simetriği olan nokta bulunur. Daha sonra bu noktadan geçen ve eğimi \( d \) doğrusunun eğimi ile aynı olan doğrunun denklemi yazılır.
Paralel Bir Doğruya Göre
Bir \( d \) doğrusunun kendisine paralel olan bir \( d_s \) doğrusuna göre simetriği alınırken denklemde sadece sabit terime dönüşüm uygulanır.
\( d: ax + by + c = 0 \)
\( d_s: ax + by + c_s = 0 \)
\( c' \longmapsto 2c_s - c \)
\( d': ax + by + c' = 0 \)
ÖRNEK:
\( d: x - 2y - 2 = 0 \)
\( d_s: x - 2y + 3 = 0 \)
\( d' \) doğrusunun denklemi:
\( c' = 2(3) - (-2) = 8 \)
\( x - 2y + 8 = 0 \)
\( d \) ve \( d' \) doğrularının eğimi aynı olur, \( d' \) doğrusunun denkleminde \( d \) ve \( d_s \) doğrularına göre sadece sabit terim değişir.
\( y = n \) Doğrusuna Göre
Bir \( d \) doğrusunun yatay bir \( y = n \) doğrusuna göre simetriği alınırken denklemde \( y \) yerine \( 2n - y \) yazılır.
\( d: ax + by + c = 0 \)
Simetri doğrusu: \( y = n \)
\( y \longmapsto 2n - y \)
\( d': ax + b(2n - y) + c = 0 \)
ÖRNEK:
\( d: x - 2y - 2 = 0 \)
Simetri doğrusu: \( y = 3 \)
\( d' \) doğrusunun denklemi:
\( x - 2(2(3) - y) - 2 = 0 \)
\( x - 12 + 2y - 2 = 0 \)
\( x + 2y - 14 = 0 \)
\( d \) doğrusunun \( y = n \) doğrusunu kestiği noktanın bu doğruya göre simetriği aynı nokta olacağı için, doğrunun kendisi ve simetriği \( y = n \) doğrusunu aynı noktada keser.
\( x = m \) Doğrusuna Göre
Bir \( d \) doğrusunun dikey bir \( x = m \) doğrusuna göre simetriği alınırken denklemde \( x \) yerine \( 2m - x \) yazılır.
\( d: ax + by + c = 0 \)
Simetri doğrusu: \( x = m \)
\( x \longmapsto 2m - x \)
\( d': a(2m - x) + by + c = 0 \)
ÖRNEK:
\( d: x - 2y - 2 = 0 \)
Simetri doğrusu: \( x = 4 \)
\( d' \) doğrusunun denklemi:
\( (2(4) - x) - 2y - 2 = 0 \)
\( 8 - x - 2y - 2 = 0 \)
\( x + 2y - 6 = 0 \)
\( d \) doğrusunun \( x = m \) doğrusunu kestiği noktanın bu doğruya göre simetriği aynı nokta olacağı için, doğrunun kendisi ve simetriği \( x = m \) doğrusunu aynı noktada keser.