Dört Işlem Matematik

dört işlem matematik

Temel Dört İşlem

Bu bölümde temel dört aritmetik işlemin bir önceki bölümde bahsettiğimiz işlem özelliklerini inceleyeceğiz.

Toplama

Toplama işleminin tüm sayı kümelerinde değişme ve birleşme özellikleri vardır.

\( a + b = b + a \)

\( a + (b + c) = (a + b) + c \)

Toplama işleminin birim (etkisiz) elemanı 0'dır.

Toplama işleminin ters elemanı sayının ters işaretlisidir.

Bir \( a \) sayısı için \( -a \) ifadesine \( a \)'nın toplamaya göre tersi denir.

Toplama işleminin farklı sayı kümeleri için kapalılık özelliği aşağıdaki gibidir:

Sayı Kümesi	Kapalılık Durumu	Örnek İşlem
Doğal sayılar	Kapalıdır: İki doğal sayının toplamı da bir doğal sayıdır.	\( 5 + 0 = 5 \)
Tam sayılar	Kapalıdır: İki tam sayının toplamı da bir tam sayıdır.	\( 5 + 3 = 8 \)
Rasyonel sayılar	Kapalıdır: İki rasyonel sayının toplamı da bir rasyonel sayıdır.	\( \frac{1}{2} + 0,75 = \frac{5}{4} \)
İrrasyonel sayılar	Kapalı değildir: İki irrasyonel sayının toplamı bir irrasyonel sayı olmayabilir.	\( \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \)
Reel sayılar	Kapalıdır: İki reel sayının toplamı da bir reel sayıdır.	\( \sqrt{2} + 3,15 \)

Çıkarma

Çıkarma işleminin değişme ve birleşme özellikleri yoktur.

Çıkarma işleminin birim (etkisiz) ve ters elemanları yoktur. 0 sayısı çıkarma işleminin ikinci terimi olarak etkisiz eleman gibi davransa da, bir elemanın bir işlemin etkisiz elemanı olabilmesi için terimlerin sıralamasından bağımsız bu işlevi görmesi gerekir.

\( a \ne 0 \) olmak üzere,

\( a - 0 = a \)

\( 0 - a \ne a \)

Çıkarma işleminin farklı sayı kümeleri için kapalılık özelliği aşağıdaki gibidir:

Sayı Kümesi	Kapalılık Durumu	Örnek İşlem
Doğal sayılar	Kapalı değildir: İki doğal sayının farkı bir doğal sayı olmayabilir.	\( 2 - 3 = -1 \)
Tam sayılar	Kapalıdır: İki tam sayının farkı da bir tam sayıdır.	\( 5 - 3 = 2 \)
Rasyonel sayılar	Kapalıdır: İki rasyonel sayının farkı da bir rasyonel sayıdır.	\( \frac{3}{2} - 0,7 = \frac{4}{5} \)
İrrasyonel sayılar	Kapalı değildir: İki irrasyonel sayının farkı bir irrasyonel sayı olmayabilir.	\( \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0 \)
Reel sayılar	Kapalıdır: İki reel sayının farkı da bir reel sayıdır.	\( \sqrt{3} - \sqrt{2} \)

Çarpma

Çarpma işleminin değişme ve birleşme özellikleri vardır.

\( a \cdot b = b \cdot a \)

\( a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \)

Çarpma işleminin toplama ve çıkarma üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.

\( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \)

\( (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \)

\( a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c \)

\( (a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c \)

Çarpmanın birim (etkisiz) elemanı 1'dir.

\( a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \)

Çarpmanın ters elemanı 1 bölü kendisidir.

\( a \cdot \dfrac{1}{a} = 1 \quad (a \ne 0) \)

\( a \ne 0 \) olmak üzere, bir \( a \) sayısı için \( a^{-1} = \frac{1}{a} \) ifadesine \( a \)'nın çarpmaya göre tersi denir.

Çarpma işleminin farklı sayı kümeleri için kapalılık özelliği aşağıdaki gibidir:

Sayı Kümesi	Kapalılık Durumu	Örnek İşlem
Doğal sayılar	Kapalıdır: İki doğal sayının çarpımı da bir doğal sayıdır.	\( 2 \cdot 3 = 6 \)
Tam sayılar	Kapalıdır: İki tam sayının çarpımı da bir tam sayıdır.	\( 4 \cdot (-2) = -8 \)
Rasyonel sayılar	Kapalıdır: İki rasyonel sayının çarpımı da bir rasyonel sayıdır.	\( \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{2}{3} \)
İrrasyonel sayılar	Kapalı değildir: İki irrasyonel sayının çarpımı bir irrasyonel sayı olmayabilir.	\( \sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} = 1 \)
Reel sayılar	Kapalıdır: İki reel sayının çarpımı da bir reel sayıdır.	\( \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6} \)

Bölme

Bölme işleminin değişme ve birleşme özellikleri yoktur.

Bölme işleminin toplama ve çıkarma üzerine sadece sağdan dağılma özelliği vardır.

\( c \ne 0 \) olmak üzere,

\( (a + b) \div c = (a \div c) + (b \div c) \)

\( (a - b) \div c = (a \div c) - (b \div c) \)

Yukarıdaki işlemleri kesirli ifade olarak yazdığımızda, bölmenin neden sağdan dağılma özelliği olduğu ve soldan dağılma özelliği olmadığı daha net görülecektir.

\( \dfrac{a + b}{c} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} \)

\( \dfrac{c}{a + b} \ne \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} \)

Bölme işleminin birim (etkisiz) ve ters elemanları yoktur. 1 sayısı bölme işleminin ikinci terimi olarak etkisiz eleman gibi davransa da, 0 sayısının çıkarma işlemindeki durumunda olduğu gibi etkisiz eleman olmamaktadır.

Bölme işleminin farklı sayı kümeleri için kapalılık özelliği aşağıdaki gibidir:

Sayı Kümesi	Kapalılık Durumu	Örnek İşlem
Doğal sayılar	Kapalı değildir: İki doğal sayının bölümü bir doğal sayı olmayabilir.	\( 2 \div 4 = \dfrac{1}{2} \)
Tam sayılar	Kapalı değildir: İki tam sayının bölümü bir tam sayı olmayabilir.	\( 2 \div 4 = \dfrac{1}{2} \)
Rasyonel sayılar	Kapalı değildir: İki rasyonel sayının bölümü bir rasyonel sayı olmayabilir.	\( \dfrac{3}{2} \div 0 = \) Tanımsız
İrrasyonel sayılar	Kapalı değildir: İki irrasyonel sayının bölümü bir irrasyonel sayı olmayabilir.	\( \sqrt{2} \div \sqrt{2} = 1 \)
Reel sayılar	Kapalı değildir: İki reel sayının bölümü bir reel sayı olmayabilir.	\( \sqrt{2} \div 0 = \) Tanımsız

SORU 1:

\( x, y \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,

\( x \) ile çarpmaya göre tersinin toplamı, \( y \) ile çarpmaya göre tersinin toplamının 7 katından \( \frac{48}{11} \) eksiktir.

\( x = 7y \) olduğuna göre, \( x \) kaçtır?

Çözümü Göster

Verilen bilgileri denklem şeklinde yazalım.

\( x + \dfrac{1}{x} = 7(y + \dfrac{1}{y}) - \dfrac{48}{11} \)

\( x = 7y \Longrightarrow y = \dfrac{x}{7} \)

\( x + \dfrac{1}{x} + \dfrac{48}{11} = 7(\dfrac{x}{7} + \dfrac{7}{x}) \)

\( x + \dfrac{1}{x} + \dfrac{48}{11} = x + \dfrac{49}{x} \)

\( \dfrac{48}{11} = \dfrac{48}{x} \)

\( x = 11 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 2:

\( 0 \lt a \lt 1 \)

\( 0 \lt b \lt 1 \) olmak üzere,

\( \dfrac{a}{b^2}, \sqrt{\dfrac{b}{a}}, ab, a^2b^3 \)

Yukarıdaki ifadelerden hangileri 1'den büyük olabilir?

Çözümü Göster

\( \dfrac{a}{b^2} \) ifadesi \( a = 0,5 \) ve \( b = 0,5 \) için 1'den büyük olur.

\( \sqrt{\frac{b}{a}} \) ifadesi \( b \gt a \) olduğu durumda 1'den büyük olur.

Bir pozitif sayının \( (0, 1) \) aralığında bir sayı ile çarpımının sonucu sayının kendisinden küçük olacağı için \( ab \) ifadesi hiçbir zaman 1'den büyük olamaz.

Üstteki maddede belirtilen sebeple \( a^2b^3 \) ifadesi de hiçbir zaman 1'den büyük olamaz.

Soru sorun Soruda hata bildirin

İşlem &#;nceliği Nedir? Hangi Matematik İşlemi &#;nce Yapılmalıdır?

İşlem Önceliği Nedir?

Aritmetik işlemlerin belirli bir kural ve sıraya göre uygulanmasına işlem sırası ya da işlem önceliği denmektedir.

Örneğin hesaplamalar ilk olarak soruda parantez varsa iç parantezden başlanarak yapılır. Sonrasında ise dışa doğru olacak şekilde çözüm gerçekleşir.

Parantezin olmadığı durumlarda da soldan sağa doğru bir işlem sırası dikkate alınacaktır.

Hangi Matematik İşlemi Önce Yapılmalıdır?

Bu konuda öncelikle işlem sırasına tabi tutulacak matematik işlemlerinin isimlerini bilmek gerekir.

Aynı önceliğe sahip işlemlerde sıra soldan sağa doğru yapılır. İşlem sırasında ayraca yani paranteze önem verilir. Bu durumda ilk olarak bölme ve çarpma işlemi yapılacaktır. Sonraki sırayı ise çıkartma ve toplama oluşturmaktadır.

Bilindiği gibi matematik işlemleri dört işlemden meydana gelmektedir. Bunlar toplama, çıkartma, bölme ve çarpmadır. Bu durumda çarpma ve bölme önce yapılan matematik işlemleridir. Bunu takiben toplama ve çıkartma gelmektedir.

Standart Olan İşlem Önceliği Hangileridir?

Matematik biliminde işlem önceliği yani işlem sırası denilen konu liste şeklinde bir sırayla öğrencilere verilmektedir. İşte standart kabul edilen işlem önceliği sırası şöyle sıralanmaktadır:

İlk olarak parantez işlemleri yapılır.

Eğer soruda üslü ya da köklü bir sayı varsa ikinci adımı bu işlemlerin çözülmesi oluşturmaktadır.

Sonrasında matematik işlemlerinden olan çarpma ve bölme yapılmalıdır.

Dördüncü sırada toplama ve çıkartma işleminin yapılması gelmektedir.

Son olarak da güdülmesi gereken çoklu işlemlerde işlem sürecinin soldan sağa doğru ilerlemesi olacaktır.

İşlem Önceliği Örnek Sorular ve Çözümleri

İşlem önceliği sırasını yukarıdaki başlıkta maddeler şeklinde belirttik. Bu maddelerde ilk sırayı parantez işlemleri almaktadır. İşte parantez işlemine örnek soru ve çözümü;

1. Örnek; 4 + ( 1 X 8 + 5 ) nedir?

Çözüm; Söylenildiği gibi işlem sırasına göre ilk olarak soruda parantez içi yapılır. Görüldüğü gibi sorudaki parantez içi 1 X 8 + 5 dir. Burada hem çarpma hem de toplama işlemi vardır. O halde ilk olarak parantez içi yapılırken yukarıda söylediğimiz gibi çarpma işlemine öncelik verilir. Sonrasında toplama yapılır. Bu durumda 1 X 8 işleminin sonucu 8 dir. O halde işlem artık şu duruma dönüşmüştür; 4 + ( 8 + 5 ) dir. Yine parantez içine devam edilir. 8 +5 sonucu 13 dür. Geriye 4 + 13 kalmıştır. Bu toplama işleminin sonucu yani sorunun cevabı da 17 dir.

İşlem sırasında yer alan köklü ya da üslü sayı örneği de şöyle ilerlemektedir.

2. Örnek; ( 1 + 2 ) üssü 2 kaçtır?

Çözüm; İlk olarak parantez içi yapılır. Parantez içinde görüldüğü gibi çarpmak ya da bölme yoktur. O halde direk olarak parantez içinde yer alan toplama işlemi gerçekleştirilir. ( 1 +2 ) sonucu 3 dür. İşlem artık 3 üssü 2 olmuştur. Sorunun cevabı üssü işleminin yapılmasıyla 3 X 3 yani 3 rakamının iki kere yan yana çarpılmasıdır. Sonuç ise 9 dur.

İşlem sırasında yer alan çarpma ve bölme önceliğine de örnek verelim.

3. Örnek; 2 + ( 4 X 3 : 2 ) kaçtır?

Çözüm; Görüldüğü gibi soruda hem parantez hem çarpma hem de bölme işlemi vardır. İlk olarak parantez içi yapılır. Parantez içinde çarpma ve bölme işlemi vardır. Aynı anda bulunan çarpma ve bölme işleminde soldan sağa doğru bir sıra gözetilir. Bu yüzden sol tarafta yer alan 4 X 3 işlemi yapılır. Bu işlemin sonucu 12 dir. Sağda yer alan 2 ve bölme işlemidir. İşlem artık parantez içinde 12 : 2 olmuştur. Bu işlemin sonucu da 6 dır. İşlem bu şekliyle 2 + 6 haline gelmiştir. Sorunun cevabı 8 dir.

İşlem sırasında yer alan toplama ve çıkartma önceliğine de örnek verelim.

4. Örnek; 5 + 5 X 3 nedir?

Çözüm; Soruda görüldüğü gibi parantez yoktur. Fakat çarpma ve toplama işlemi vardır. O halde öncelik toplamadan önce çarpma işleminde olacaktır. Sonrasında çıkan sonuç ile toplama işlemi yapılacaktır. Çarpma soruda 5 X 3 işlemini kapsamaktadır. Bu işlemin cevabı 15 dir. Soruda yer alan 5 + 15 şeklinde çözmeye devam edelim. Sorunun cevabı 20 dir.

nest...

151471 151472 151473 151474 151475