< 1/k?
Дополнительная литература
Прекрасным дополнением материала этой главы может стать книга Торкеля Францена
«Теорема Гёделя. Неполный путеводитель по ее правильному и неправильному использованию»
(Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse, by Torkel Franzén: A. K. Peters Ltd,
).
Разум и машины
Пришла пора нам заняться тем, чего все вы, я знаю, ждете: философской битвой на тортах на
тему мозга, машин и разума!
Однако сначала давайте закончим разговор о вычислимости. Есть одна концепция, которая
будет нужна нам в этой главе снова и снова; речь идет о концепции оракула. Идея достаточно
очевидна: мы допускаем, что у нас имеется некий «черный ящик», или «оракул», который
мгновенно решает некоторую сложную вычислительную проблему, а затем смотрим, что из
этого выйдет! (На первом курсе я однажды завел с профессором разговор о том, что было бы,
если бы у нас была некая гипотетическая «фея NP-полноты» — существо, которое мгновенно
отвечало бы на вопрос, является ли данная булева формула выполнимой. Профессору пришлось
меня поправить: на самом деле их называют не «феями», а «оракулами». Так намного профессио-
нальнее!)
Судя по всему, первым оракулы исследовал Тьюринг в г. в своей диссертации на
степень доктора философии. Очевидно, всякий, кто способен написать целую диссертацию об
этих воображаемых сущностях, должен быть чрезвычайно чистым теоретиком — человеком,
который ни за что на свете не хотел бы заниматься чем-то практически полезным. В случае
Тьюринга это, безусловно, так и было, — в самом деле, несколько лет после защиты докторской
диссертации, с по г., он потратил на изучение некоторых мудреных преобразований
симметрии в буквенном алфавите[15].
Будем говорить, что задача A сводима, по Тьюрингу, к задаче B, если A может быть решена
машиной Тьюринга при наличии оракула для B. Иными словами, «A не сложнее B»: если у нас
есть гипотетическое устройство для решения B, мы можем решить также и A. Две
задачи эквивалентны по Тьюрингу, если каждая из них сводима по Тьюрингу к другой. Так, к
примеру, задача о том, можно ли доказать некое утверждение на базе аксиом теории множеств,
эквивалентна по Тьюрингу проблеме остановки: если вы можете решить одну из них, вы можете
решить и вторую.
Далее, степень Тьюринга, или степень неразрешимости, составляют множество всех задач,
эквивалентных по Тьюрингу некоей данной задаче. Можно ли привести примеры степени
неразрешимости? Мы с вами уже видели два таких примера: это (1) множество вычислимых
задач и (2) множество задач, эквивалентных по Тьюрингу проблеме остановки. Сказать, что эти
степени неразрешимости не равны, — все равно что сказать, что проблема остановки
неразрешима.
Существуют ли степени неразрешимости выше двух названных? Иными словами, существует
ли задача сложнее проблемы остановки, такая, что мы будем не в состоянии ее решить даже с
помощью оракула по проблеме остановки? Ну, можно рассмотреть следующую «суперпроблему
останова»: пусть у вас есть машина Тьюринга с оракулом по проблеме остановки, определите,
остановится ли она?! Можем ли мы доказать, что суперпроблема остановки неразрешима, даже
если у нас будет оракул для обычной проблемы остановки? Да, можем! Мы просто возьмем
оригинальное доказательство, при помощи которого Тьюринг доказал, что проблема остановки
неразрешима, и «сдвинем все на уровень вверх», дав всем машинам оракул по проблеме
остановки. Все в доказательстве будет работать в точности как прежде, а мы, чтобы отразить
этот факт, скажем, что доказательство «релятивизируется».
А вот более тонкий вопрос: существует ли задача промежуточной сложности между
множеством вычислимых задач и задачей остановки? Этот вопрос первым задал Эмиль Пост в
г., а ответили на него в г. Пост и Стивен Клини (хотя в первоначальной формулировке
задачи у Поста было добавлено дополнительное условие, названное «рекурсивной
перечислимостью», и только два года спустя Ричард Фридберг и Альберт Мучник показали, как
можно его выполнить). Ответ был «да». На самом деле у нас есть и более сильный результат:
существуют две задачи A и B, каждая из которых разрешима при наличии оракула для проблемы
остановки, но ни одна из них не разрешима при наличии оракула для другой. Эти задачи
строятся посредством бесконечного процесса, цель которого — устранить любую машину
Тьюринга, способную свести A к B или B к A. К несчастью, получающиеся в результате задачи
выглядят в высшей степени неестественно; не похоже, что что-то подобное может возникнуть на
практике. И даже сегодня у нас нет ни единого примера «естественной» задачи с промежуточной
степенью неразрешимости.
После прорыва в решении задачи Поста структура степеней неразрешимости по Тьюрингу
исследовалась в таких подробностях, что трудно себе представить. Вот, к примеру, один
из простейших вопросов: если две задачи A и B сводимы к задаче остановки, то должна ли
существовать задача C, сводимая к A и B, такая, что любая задача, сводимая как к A, так и к B,
сводима также и к C? Ну, чем бы дитя ни тешилось! Но мы, пожалуй, дошли до точки, в кото рой
некоторые скажут: не пора ли нам перейти к следующей теме… (Кстати говоря, ответ на
приведенный вопрос: «нет».)
Ну хорошо, главная философская идея, стоящая за понятием вычислимости, — так
называемый тезис Чёрча — Тьюринга. Назван он в честь Тьюринга и его научного руководителя
Алонзо Чёрча, хотя вопрос о том, что они сами думали об этом «их» тезисе, остается открытым!
Сам тезис, по сути, заключается в том, что любая функция, которую «естественно рассматривать
как вычислимую», вычислима на машине Тьюринга. Или, иными словами, любая «разумная»
модель вычисления даст вам либо то же множество вычислимых функций, что и модель машины
Тьюринга, либо его собственное подмножество.
Возникает очевидный вопрос: к какому классу отнести это утверждение? Быть может, э то
эмпирическое утверждение о том, какие функции могут быть вычислены в физической
реальности? Или это определение, объясняющее смысл слова «вычислимый»? Или то и другое
понемногу?
Как бы то ни было, тезис Чёрча — Тьюринга можно считать чрезвычайно успешным
представителем тезисов. Как вам известно, — и мы поговорим об этом позже, — квантовые
вычисления представляют серьезный вызов для так называемого «расширенного тезиса Чёрча —
Тьюринга»: что любая функция, которую естественно рассматривать
как эффективновычислимую, является эффективно вычислимой на машине Тьюринга. Но, на
мой взгляд, оригинальный тезис Чёрча — Тьюринга до сих пор не встретил ни одного серьезного
вызова — ни как утверждение о физической реальности, ни как определение «вычислимости».
С другой стороны, несерьезных вызовов тезису Чёрча — Тьюринга было немало. Более того,
есть целые конференции и журналы, посвященные этим вызовам, — погуглите по термину
«сверхтьюринговые вычисления» или «гипервычисления». Я читал кое-что на эту тему, в
основном там идут примерно такие рассуждения: предположим, вы можете выполнить первый
шаг некоторого вычисления за одну секунду, следующий шаг за полсекунды, следующий за
четверть секунды, следующий за восьмую долю и т.п. Тогда за две секунды вы выполните
бесконечное количество вычислений! Ну, в таком виде все это звучит немного глупо, так что
можно немного подсыпать перчику, добавив «до кучи» какую-нибудь черную дыру или еще
что-нибудь. Разве смогут узколобые реакционеры — сторонники Тьюринга что-нибудь
возразить? (Это напоминает мне шутку про суперкомпьютер, который был настолько быстр, что
мог выполнить бесконечный цикл за 2,5 секунды.)
Конечно, мы должны серьезно усомниться в том, что если бы Природа собиралась подарить
нам такие громадные вычислительные возможности, то она сделала бы это так обыденно, так
неинтересно. Не заставила бы нас потрудиться или еще что. Но, должен признать:
чтобы по-настоящему понять, почему предложения по сверхтьюринговым вычислениям не
проходят, вам потребуются пределы энтропии по Бекенштейну, Буссо и другим — они суть часть
того немногого, что физики, по их мнению, знают о квантовой гравитации и о чем мы поговорим
немного позже. Так что тезис Чёрча — Тьюринга — даже его оригинальный, нерасширенный
вариант — действительно связан с некоторыми глубочайшими вопросами физики. Но мне
представляется, что ни квантовые вычисления, ни аналоговые, ни что-либо другое не смогли
бросить этому тезису серьезный вызов за все 75 лет с момента его появления.
Вот еще одно возражение к приведенной выше идее вычислений в геометрической
прогрессии. Мы более или менее понимаем, почему эта модель не физична: мы уверены, что
само понятие времени начинает рушиться, когда мы доходим интервалов около 10–43 секунды
(планковское время). Мы не знаем в точности, что там происходит. Тем не менее ситуация
представляется ни в малейшей степени не похожей на квантовые вычисления (к примеру). В
квантовых вычислениях, как мы увидим, никто не имеет никаких количественных представлений
о том, где теория может нарушиться, а компьютер — перестать работать, что естественно
порождает гипотезу о том, что он, быть может, и не перестанет работать.
Можно, конечно, сказать, что по достижении планковского времени начинаются
по-настоящему хитрые вещи. Почему бы просто не сказать, что на практике нас всегда
ограничивает шум и несовершенство мира?
Вопрос в следующем: почему мы ограничены? Почему мы не можем хранить в регистре
действительное (вещественное) число? Мне кажется, что если попытаться сделать рассуждение
точным, то в конце концов мы все равно будем говорить о планковском масштабе.
Если мы интерпретируем тезис Чёрча — Тьюринга как утверждение о физической
реальности, оно должно охватывать все в этой реальности, включая самодовольную нейронную
сеть, имеющуюся у нас между ушами. Это, разумеется, приводит нас прямо на изрытое
воронками поле интеллектуального сражения, куда я и обещал вас привести.
В качестве исторического замечания интересно отметить, что возможность существования
мыслящих машин не относится к тем идеям, которые пришли к человеку постепенно, после
нескольких десятков лет пользования компьютерами. Нет, они возникли мгновенно, в ту самую
минуту, когда разговор впервые зашел о компьютерах как таковых. Такие люди, как Лейбниц,
Беббидж, Лавлейс, Тьюринг и фон Нейман, с самого начала понимали, что компьютер станет не
просто очередной новинкой вроде парового двигателя или тостера, — что компьютер обладает
свойством универсальности (не важно, называли они его так или нет), и потому сложно даже
говорить о компьютерах, не говоря одновременно о самих себе.
А теперь я прошу вас отложить на несколько минут эту книгу и прочитать вторую по
известности работу Тьюринга «Вычислительные машины и разум»[16].
Какова основная идея этой статьи? Я считаю, что это призыв против животного, или мясного,
шовинизма. Конечно, Тьюринг приводит кое-какие научные доводы, кое-какие математические
аргументы, кое-какие эпистемологические соображения. Но под всем этим лежит
единственный моральный аргумент. А именно: если бы компьютер взаимодействовал с нами так,
что был бы неотличим от человека, то, конечно, мы все равно могли бы сказать, что «на самом
деле» компьютер не думает, что это всего лишь моделирование. Но на тех же основаниях мы
могли бы заявить, что на самом деле другие люди не думают, что они просто действуют так, как
будто думают. Так что же заставляет нас заниматься подобной интеллектуальной акробатикой в
одном случае и отвергать все с порога в другом?
Если вы позволите мне откомментировать сказанное с моей собственной пристрастной
позиции (как будто я когда-нибудь упускаю возможность это сделать…), то именно в этом
моральном вопросе, в вопросе двойных стандартов Сёрлу, Пенроузу и всем остальным
«скептикам сильного ИИ» нечего мне предложить. В самом деле, можно приводить весомые и
убедительные аргументы против возможности существования мыслящих машин. Единственная
проблема этих аргументов состоит в том, что они одновременно являются аргументами против
возможности существования мыслящего мозга!
К примеру: один из популярных аргументов состоит в том, что если компьютер
представляется разумным, то это лишь отражение человеческого разума, который его
запрограммировал. Но что если человеческий разум — это лишь отражение эволюционного
процесса длиной в миллиарды лет, который и дал ему начало? Что неизменно разочаровывает
меня всякий раз, когда я читаю скептиков ИИ, так это их неспособность рассматривать эти
параллели честно. «Квалиа», то есть первичные ощущения, и «близость» других людей
принимаются как нечто само собой разумеющееся. Сомнению подвергается только квалиа
машин.
Возможно, на это скептик мог бы ответить: я уверен, что другие люди думают, потому что я
точно знаю, что сам я думаю, а другие люди выглядят, в общем-то, примерно так же, как я: у них
тоже по пять пальцев на руках, волосы подмышками и т.п. Но робот-то выглядит иначе: он
сделан из металла, у него есть антенна, он с трудом перемещается по комнате и т.п. Поэтому
даже если робот действует так, как будто умеет думать, кто знает, думает ли он на самом деле?
Но если я принимаю этот аргумент, то почему не пойти дальше? Почему я не могу сказать: я
признаю, что белые люди думают, но что касается чернокожих и азиатов… кто знает? Выглядят
они слишком непохоже на меня.
На мой взгляд, все сказанное об искусственном интеллекте можно разделить на две
категории: те 70%, которые содержатся где-то в работе Тьюринга г., и еще 30%, что
появились в результате полувека более поздних исследований.
Так что сегодня, спустя шестьдесят с лишним лет, мы можем сказать кое-что, что удивило бы
Алана Тьюринга. Что именно? Ну, во-первых, насколько мал оказался прогресс в этом
направлении по сравнению с ожиданиями! Вы ведь помните, что Тьюринг сделал проверяемое
предсказание?
Я уверен, что лет через пятьдесят станет возможным программировать работу машин с
емкостью памяти около так, чтобы они могли играть в имитацию настолько успешно, что
шансы среднего собеседника установить присутствие машины через пять минут после того, как
он начнет задавать вопросы, не поднимались бы выше 70%.
Какова судьба этого предсказания? Во-первых, отметим, что предсказание о собственно
компьютерах оказалось чертовски точным. Тьюринг предсказал, что через 50 лет (т.е. в г.)
мы будем программировать компьютеры с емкостью памяти примерно в (т.е. 1 гигабайт).
Но что с программированием компьютеров, способных пройти тест на имитацию человека?
Какова судьба этого предсказания Тьюринга?
Ну, некоторые из вас, возможно, слышали о программе под названием ELIZA, которую
написал в г. Джозеф Вейценбаум. Эта программа моделирует психотерапевта, который все,
что бы вы ему ни сказали, возвращает вам же в виде вопросов. Вейценбаум выяснил
поразительную вещь: многие люди готовы открыть этой программе душу! И иногда, если
рассказать, что беседовали они с программой (причем чрезвычайно простой), они не хотят этому
верить.
Много лет назад кому-то пришла в голову блестящая идея взять оригинальную программу
ELIZA, запустить ее в чат провайдера America Online и посмотреть, что из этого получится. Если
зайти на сайт goalma.org, можно увидеть там ужасно смешные (к счастью, анонимные)
диалоги, в которых люди пытаются соблазнить программу, рассказывая ей о своих изменах и т.п.
Вот одна из моих любимых бесед, в которой человек, прежде чем приступить к амурным
домогательствам, сказал программе, что планирует в ближайшее время получить степень
бакалавра бизнес-администрирования, а затем «вступить в корпоративное сотрудничество с
компанией Starbucks».
Парень: Мне кажется, тебе нравится играть с моим сознанием
ELIZA: Твоим сознанием?
Парень: Дразнить меня, отказываясь участвовать в моих фантазиях
ELIZA: Твоих фантазиях?
Парень: О крышесносном сексе с тобой
ELIZA: А это как-то связано с тем фактом, что ты собираешься получить степень бакалавра, а
потом вступить в корпоративное сотрудничество с компанией Starbucks?
В настоящее время искусство беседы между машиной и человеком продвинулось вперед по
сравнению с тем, что показано в этом примере, но не слишком сильно. Создается впечатление,
что на самом деле нам нужно пересмотреть тест Тьюринга: необходимо оговорить, что если мы
хотим проверить интеллект компьютера, то и человек, который ведет беседу с машино й, должен
обладать каким-то минимальным уровнем интеллекта.
Разумеется, часть проблемы здесь в том, что все эти люди были уверены, что разговаривают с
человеком, а при прохождении теста Тьюринга человек будет пытаться отличить человека от
компьютера. Так что нельзя, конечно, считать подобные беседы в чатах настоящим тестом
Тьюринга; это просто забавно. Однако на протяжении уже пятнадцати лет человек по имени Хью
Лёбнер проводит конкурс[17], условия которого намного ближе к тому, что имел в виду
Тьюринг. Здесь людям, участвующим в испытаниях, говорят, что их задача — отличить человека
от компьютера, но многие беседы в записи выглядят не менее уныло, чем прежде, причем с
точки зрения как машинного интеллекта, так и человеческого. (К примеру, женщину, которая
пыталась завести интеллектуальную беседу о Шекспире, сочли компьютером, потому что «не
может быть, чтобы человек знал столько всего о Шекспире…»)
Вы можете спросить: что если мы поручим вести разговор не человеку, а компьютеру?
Оказывается, это вовсе не гипотетическая ситуация. В г. человек по имени Луис фон Ан
тестами, которые используются на сайтах для отличения настоящих живых пользователей от
спамботов. Я уверен, что вы с ними встречались, — знаете, такие прямоугольнички со
странными изогнутыми буквами и цифрами, которые вы должны перепечата ть. Ключевое
свойство этих тестов — то, что компьютер должен уметь их генерировать и оценивать, но не
пройти сам! (Похоже на то, как профессора готовят материалы для контрольных…) Только
человек, причем любой человек, должен уметь проходить такие тесты. По сути, эти тесты
используют слабостиИИ. (Впрочем, еще они пользуются вычислительной сложностью создания
необратимых функций, до обсуждения которой мы дойдем позже.)
У капчей есть один интересный аспект: их создание уже привело к «гонке вооружений»
между их программистами и программистами ИИ. Когда я учился в Беркли, несколько моих
примерно 30% случаев. Так что в каждом подобном случае капчи приходится усложнять, после
чего творцы ИИ вновь берутся за дело, и т.п. Кто победит?
Вот видите: всякий раз, когда вы заводите себе новый аккаунт на почтовом сервер е, вы
непосредственно сталкиваетесь с вековой загадкой о том, что значит быть человеком…
Несмотря на все, что я сказал по поводу теста Тьюринга, кое-какие решительные успехи в
области ИИ, безусловно, имели место. Все мы знаем о Каспарове и компьютере Deep Blue,
слышали о компьютере Watson фирмы IBM (это тот компьютер, который выиграл в «Свою игру»
у человеческого чемпиона Кена Дженнингса). Может быть, менее известно, что в г. при
помощи программы под названием Otter была решена алгебраическая задача, продержавшаяся 60
лет и известная как гипотеза Роббинса[19]; в свое время над ней работали Тарский и другие
знаменитые математики. (Судя по всему, несколько десятилетий Тарский давал эту задачу своим
лучшим студентам. Со временем, однако, он начал давать ее своим худшим студентам…)
Формулировка задачи проста: можно ли, имея следующее три аксиомы:
A или B = B или A
2. Уверенность в том, что если бы они были всего лишь вычислительным процессом, то они
не могли бы обладать сознанием в этом смысле.
К примеру, я считаю, что возражения Пенроуза против сильного ИИ базируются именно на
этих двух факторах. Я считаю, что его критика теоремы Гёделя — всего лишь занавесочка на
окне, добавленная позже.
Для тех, кто думает так (и я сам — в соответствующем настроении), признание за роботом
права на сознание представляется в каком-то странном смысле эквивалентным отрицанию
собственного сознания. Существует ли достойный выход из этой дилеммы, или, иными словами,
хоть какой-нибудь выход, не основанный на совершенно шовинистических двойных стандартах,
когда к самим себе применяются одни правила, а к роботам — другие?
Мне больше всего нравится выход, который продвигает философ Дэвид Чалмерс[22]. Суть
того, что предлагает Чалмерс, состоит в «философской редукции NP-полноты», то есть в
сведении одной загадки к другой. Он говорит, что если компьютеры когда-нибудь
научатся имитироватьлюдей во всех наблюдаемых отношениях, то мы будем вынуждены
рассматривать их как обладающие сознанием, в точности по тем же причинам, по которым мы
рассматриваем окружающих нас людей как обладающих сознанием. Что же касается
того, как они могут обладать сознанием, — ну, мы при этом будем понимать это точно так же
Вступление
Одна из самых интересных проблем философии науки — это связь математики и физической реальности. Почему математика так хорошо описывает происходящее во вселенной? Ведь многие области математики были сформированы без какого-либо участия физики, однако, как в итоге оказалось, они стали основой в описании некоторых физических законов. Как это можно объяснить?
Наиболее явно этот парадокс можно наблюдать в ситуациях, когда какие-то физические объекты были сначала открыты математически, а уже потом были найдены доказательства их физического существования. Наиболее известный пример — открытие Нептуна. Урбен Леверье сделал это открытие просто вычисляя орбиту Урана и исследуя расхождения предсказаний с реальной картиной. Другие примеры — предсказание Дираком о существовании позитронов и предположение Максвелла о том, что колебания в электрическом или магнитном поле должно порождать волны.
Ещё более удивительно, что некоторые области математики существовали задолго до того, как физики поняли, что они подходят для объяснения некоторых аспектов вселенной. Конические сечения, изучаемые ещё Аполлонием в древней Греции, были использованы Кеплером в начале 17 века для описания орбит планет. Комплексные числа были предложены за несколько веков до того, как физики стали использовать их для описания квантовой механики. Неевклидова геометрия было создана за десятилетия до теории относительности.
Почему математика так хорошо описывает природные явления? Почему из всех способов выражения мыслей, математика работает лучше всего? Почему, например, нельзя предсказать точную траекторию движения небесных тел на языке поэзии? Почему мы не можем выразить всю сложность периодической таблицы Менделеева музыкальным произведением? Почему медитация не сильно помогает в предсказании результата экспериментов квантовой механики?
Лауреат нобелевской премии Юджин Вигнер, в своей статье «The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences», также задается этими вопросами. Вигнер не дал нам каких-то определенных ответов, он писал, что «невероятная эффективность математики в естественных науках — это что-то мистическое и этому нет рационального объяснения».
Альберт Эйнштейн по этому поводу писал:
Как может математика, порождение человеческого разума, независимое от индивидуального опыта, быть таким подходящим способом описывать объекты в реальности? Может ли тогда человеческий разум силой мысли, не прибегая к опыту, постичь свойства вселенной? [Einstein]
Давайте внесем ясность. Проблема действительно встает, когда мы воспринимаем математику и физику как 2 разные, превосходно сформированные и объективные области. Если смотреть на ситуацию с этой стороны, то действительно непонятно почему эти две дисциплины так хорошо работают вместе. Почему открытые законы физики так хорошо описываются (уже открытой) математикой?
Этот вопрос обдумывался многими людьми, и они дали множество решений этой проблемы. Теологи, например, предложили Существо, которое строит законы природы, и при этом использует язык математики. Однако введение такого Существа только все усложняет. Платонисты (и их кузены натуралисты) верят в существование «мира идей», который содержит все математические объекты, формы, а так же Истину. Там же находятся и физические законы. Проблема с Платонистами в том, что они вводят ещё одну концепцию Платонического мира, и теперь мы должны объяснить отношение между тремя мирами (прим. переводчика. Я так и не понял зачем третий мир, но оставил как есть). Так же встает вопрос являются ли неидеальные теоремы идеальными формами (объектами мира идей). Как насчет опровергнутых физических законов?
Наиболее популярная версия решения поставленной проблемы эффективности математики заключается в том, что мы изучаем математику, наблюдая за физическим миром. Мы поняли некоторые свойства сложения и умножения считая овец и камни. Мы изучили геометрию, наблюдая за физическими формами. С этой точки зрения, неудивительно, что физика идет за математикой, ведь математика формируется при тщательном изучении физического мира. Главная проблема с этим решением заключается в том, что математика неплохо используется в областях, далеких от человеческого восприятия. Почему же спрятанный мир субатомных частиц так хорошо описывается математикой, изученной благодаря подсчетам овец и камней? почему специальная теория относительности, которая работает с объектами, двигающимися со скоростями близкими к скорости света, хорошо описывается математикой, которая сформирована наблюдением за объектами, двигающимися с нормальной скоростью?
В двух статьях (раз, два) Макр Зельцер и Я (Носон Яновски) сформулировали новый взгляд на природу математики (прим. переводчика. В целом в тех статьях написано то же, что и здесь, но куда более развернуто). Мы показали, что также, как и в физике, в математике огромную роль играет симметрия. Такой взгляд дает довольно оригинальное решение поставленной проблемы.
Что есть физика
Прежде чем рассматривать причину эффективности математики в физике, мы должны поговорить о том, что такое физические законы. Говорить, что физические законы описывают физические феномены, несколько несерьезно. Для начала можно сказать, что каждый закон описывает много явлений. Например закон гравитации говорит нам что будет, если я уроню свою ложку, также он описывает падение моей ложки завтра, или что будет если я уроню ложку через месяц на Сатурне. Законы описывают целый комплекс разных явлений. Можно зайти и с другой стороны. Одно физическое явление может наблюдаться совершенно по-разному. Кто-то скажет, что объект неподвижен, кто-то, что объект движется с постоянной скоростью. Физический закон должен описывать оба случая одинаково. Также, например, теория тяготения должна описывать мое наблюдение падающей ложки в двигающимся автомобиле, с моей точки зрения, с точки зрения моего друга, стоящего на дороге, с точки зрения парня, стоящего у него на голове, рядом с черной дырой и т.п.
Встает следующий вопрос: как классифицировать физические явления? Какие стоит группировать вместе и приписывать одному закону? Физики используют для этого понятие симметрии. В разговорной речи слово симметрия используют для физических объектов. Мы говорим, что комната симметрична, если левая её часть похожа на правую. Иными словами, если мы поменяем местами стороны, то комната будет выглядеть точно также. Физики немного расширили это определение и применяют его к физическим законам. Физический закон симметричен по отношению к преобразованию, если закон описывает преобразованный феномен таким же образом. Например, физические законы симметричны по пространству. То есть явление, наблюдаемое в Пизе, так же может наблюдаться в Принстоне. Физические законы также симметричны по времени, т.е. эксперимент, проведенный сегодня должен дать такие же результаты, как если бы его провели завтра. Ещё одна очевидная симметрия — ориентация в пространстве.
Существует множество других типов симметрий, которым должны соответствовать физические законы. Относительность по Галиею требует, чтобы физические законы движения оставались неизменными, независимо от того неподвижен объект, или двигается с постоянной скоростью. Специальная теория относительности утверждает, что законы движения должны оставаться прежними, даже если объект движется со скоростью, близкой к скорости света. Общая теория относительности говорит, что законы остаются прежними, даже если объект движется с ускорением.
Физики обобщали понятие симметрии по-разному: локальная симметрия, глобальная симметрия, непрерывная симметрия, дискретная симметрия и т.д. Виктор Стенджер объединил множество видов симметрии по тем, что мы называем инвариантность по отношению к наблюдателю (point of view invariance). Это означает, что законы физики должны оставаться неизменными, независимо от того, кто и как их наблюдает. Он показал как много областей современной физики (но не все) могут быть сведены к законам, удовлетворяющими инвариантности по отношению к наблюдателю. Это означает, что явления, относящиеся к одному феномену, связанны, несмотря на то, что они могут рассматриваться по-разному.
Понимание настоящей важности симметрии прошло с теорией относительности Эйнштейна. До него люди сначала открывали какой-то физический закон, а потом находили в нем свойство симметрии. Эйнштейн же использовал симметрию, чтобы найти закон. Он постулировал, что закон должен быть одинаков для неподвижного наблюдателя и для наблюдателя, двигающегося со скоростью, близкой к световой. С этим предположением, он описал уравнения специальной теории относительности. Это была революция в физике. Эйнштейн понял, что симметрия — определяющая характеристика законы природы. Не закон удовлетворяет симметрии, а симметрия порождает закон.
В году Эмми Нётер показала, что симметрия ещё более важное понятие в физике, чем думали до этого. Она доказала теорему, связывающую симметрии с законами сохранения. Теорема показала, что каждая симметрия порождает свой закон сохранения, и наоборот. Например инвариантность по смещению в пространстве порождает закон сохранения линейного импульса. Инвариантность по времени порождает закон сохранения энергии. Инвариантность по ориентации порождает закон сохранения углового момента. После этого физики стали искать новые виды симметрий, чтобы найти новые законы физики.
Таким образом мы определили что называть физическим законом. С этой точки зрения неудивительно, что эти законы кажутся нам объективными, вневременными, независимыми от человека. Так как они инвариантны по отношению к месту, времени, и взгляду на них человека, создается впечатление, что они существуют «где-то там». Однако на это можно посмотреть и по-другому. Вместо того, чтобы говорить, что мы смотрим на множество различных следствий из внешних законов, мы можем сказать, что человек выделил какие-то наблюдаемые физические явления, нашел в них что-то похожее и объединил их в закон. Мы замечаем только то, что воспринимаем, называем это законом и пропускаем все остальное. Мы не можем отказаться от человеческого фактора в понимании законов природы.
Прежде чем мы двинемся дальше, нужно упомянуть о одной симметрии, которая настолько очевидная, что о ней редко когда упоминают. Закон физики должен обладать симметрией по приложению (symmetry of applicability). То есть если закон работает с объектом одного типа, то он будет работать и с другим объектом такого же типа. Если закон верен для одной положительно заряженной частицы, двигающейся со скоростью, близкой к скорости света, то он будет работать и для другой положительно заряженной частицы, двигающейся со скоростью такого же порядка. С другой стороны, закон может не работать для макрообъектов с малой скоростью. Все похожие объекты связанны с одним законом. Нам понадобится этот вид симметрии, когда мы будем обсуждать связь математики с физикой.
Что есть математика
Давайте потратим немного времени на то, чтобы понять самую суть математики. Мы рассмотрим 3 примера.
Давным давно какой-то фермер обнаружил, что если ты возьмешь девять яблок и соединишь их с четырьмя яблоками, то в итоге ты получишь тринадцать яблок. Некоторое время спустя он обнаружил, что если девять апельсинов соединить с четырьмя апельсинами, то получится тринадцать апельсинов. Это означает, что если он обменяет каждое яблоко на апельсин, то количество фруктов останется неизменным. В какое-то время математики накопили достаточно опыта в подобных делах и вывели математическое выражение 9 + 4 = Это маленькое выражение обобщает все возможные случаи таких комбинаций. То есть оно истинно для любых дискретных объектов, которые можно обменять на яблоки.
Более сложный пример. Одна из важнейших теорем алгебраической геометрии — теорема Гильберта о нулях (goalma.org ). Она заключается в том, что для каждого идеала J в полиномиальном кольце существует соответствующее алгебраическое множество V(J), а для каждого алгебраического множества S существует идеал I(S). Связь этих двух операций выражается как , где  — радикал идеала. Если мы заменим одно алг. мн-во на другое, мы получим другой идеал. Если мы заменим один идеал на другой, мы получим другое алг. мн-во.
Одним из основных понятий алгебраической топологии является гомоморфизм Гуревича. Для каждого топологического пространства X и положительного k существует группа гомоморфизмов из k-гомотопичой группы в k-гомологичную группу. . Этот гомоморфизм обладает особым свойством. Если пространство X заменить на пространство Y, а  заменить на , то гомоморфизм будет другим . Как и в предыдущем примере, какой-то конкретный случай этого утверждения не имеет большого значения для математики. Но если мы собираем все случаи, то мы получаем теорему.
В этих трех примерах мы смотрели на изменение семантики математических выражений. Мы меняли апельсины на яблоки, мы меняли одну идею на другую, мы заменяли одно топологическое пространство на другое. Главное в этом то, что делая правильную замену, математическое утверждение остается верным. Мы утверждаем, что именно это свойство является основным свойством математики. Так что мы будем называть утверждение математическим, если мы можем изменить то, на что оно ссылается, и при этом утверждение останется верным.
Теперь к каждому математическому утверждению нам нужно будет приставить область применения. Когда математик говорит «для каждого целого n», «Возьмем пространство Хаусдорфа», или «пусть C — кокуммутативная, коассоциативная инволютивная коалгебра», он определяет область применения для своего утверждения. Если это утверждение правдиво для одного элемента из области применения, то оно правдиво для каждого (при условии правильного выбора этой самой области применения, прим. пер.).
Эта замена одного элемента на другое, может быть описана как одно из свойств симметрии. Мы называем это симметрия семантики. Мы утверждаем, что эта симметрия фундаментальна, как для математики, так и для физики. Таким же образом, как физики формулируют свои законы, математики формулируют свои математические утверждения, одновременно определяя в какой области применения утверждение сохраняет симметрию семантики (иными словами где это утверждение работает). Зайдем дальше и скажем, что математическое утверждение — утверждение, которое удовлетворяет симметрии семантики.
Если среди вас найдутся логики, то им понятие симметрии семантики будет вполне очевидно, ведь логическое высказывание истинно, если оно истинно для каждой интерпретации логической формулы. Здесь же мы говорим, что мат. утверждение верно, если оно верно для каждого элемента из области применения.
Кто-то может возразить, что такое определение математики слишком широкое и что утверждение, удовлетворяющее симметрии семантики — просто утверждение, не обязательно математическое. Мы ответим, что во-первых, математика в принципе достаточно широка. Математика — это не только разговоры о числах, она о формах, высказываниях, множествах, категориях, микросостояниях, макросостояниях, свойствах и т.п. Чтобы все эти объекты были математическими, определение математики должно быть широким. Во-вторых, существует множество утверждений, не удовлетворяющих симметрии семантики. «В Нью-Йорке в январе холодно», «Цветы бывают только красными и зелеными», «Политики — честные люди». Все эти утверждения не удовлетворяют симметрии семантики и, следоваиельно, не математические. Если есть контрпример из области применения, то утверждение автоматически перестает быть математическим.
Математические утверждения удовлетворяют также и другим симметриям, например симметрии синтаксиса. Это означает, что одни и те же математические объекты могут быть представлены по-разному. Например число 6 может быть представлено как «2 * 3», или «2 + 2 + 2», или «54/9». Также мы можем говорить о «непрерывной самонепересекающийся кривой», о «простой замкнутой кривой», о «жордановой кривой», и мы будем иметь в виду одно и то же. На практике математики пытаются использовать наиболее простой синтаксис (6 вместо 5+).
Некоторые симметрические свойства математики кажутся настолько очевидными, что о них вообще не говорят. Например математическая истина инвариантна по отношению ко времени и пространству. Если утверждение истинно, то оно будет истинно также завтра в другой части земного шара. Причем неважно, кто его произнесет — мать Тереза или Альберт Эйнштейн, и на каком языке.
Так как математика удовлетворяет всем этим типам симметрии, легко понять почему нам кажется, что математика (как и физика) объективна, работает вне времени и независима от наблюдений человека. Когда математические формулы начинают работать для совершенно разных задач, открытых независимо, иногда в разных веках, начинает казаться, что математика существует «где-то там». Однако, симметрия семантики (а это именно то, что происходит) — это фундаментальная часть математики, определяющая её. Вместо того, чтобы сказать, что существует одна математическая истина и мы лишь нашли несколько её случаев, мы скажем, что существует множество случаев математических фактов и человеческий разум объединил их вместе, создав математическое утверждение.
Почему математика хороша в описании физики?
Ну что, теперь мы можем задаться вопросов почему математика так хорошо описывает физику. Давайте взглянем на 3 физических закона.
Наш первый пример — гравитация. Описание одного феномена гравитации может выглядеть как «В Нью-Йорке, Бруклин, Майн стрит , на втором этаже в , я увидел двухсотграммовую ложку, которая упала и стукнулась о пол спустя секунд». Даже если мы настолько аккуратны в наших записях, они нам не сильно помогут в описаниях всех явлений гравитации (а именно это и должен делать физический закон). Единственный хороший способ записать этот закон будет записать его математическим утверждением, приписав к нему все наблюдаемые явления гравитации. Мы можем сделать это, написав закон Ньютона . Подставляя массы и расстояние, мы получим наш конкретный пример гравитационного явления.
Точно также для того, чтобы найти экстремум движения, нужно применить формулу Эйлера-Лагранжа . Все минимумы и максимумы движения выражаются через это уравнение и определяются симметрией семантики. Конечно, эта формула может быть выражена и другими символами. Она может быть записана даже на эсперанто, в целом не важно на каком языке она выражается (на эту тему переводчик мог бы подискутировать с автором, но для результата статьи это не так важно).
Единственный способ описать взаимоотношения между давлением, объемом, количеством и температурой идеального газа — это записать закон . Все инстансы явлений будут описываться этим законом.
В каждом из трех приведенных примеров физические законы естественно выражаются только через математические формулы. Все физические явления, которые мы хотим описать, находятся внутри математического выражения (точнее в частных случаях этого выражения). В терминах симметрий мы говорим, что физическая симметрия применимости — частный случай математической симметрии семантики. Более точно, из симметрии применимости следует, что мы можем заменить один объект на другой (того же класса). Значит математическое выражение, которое описывает явление, должно обладать таким же свойством (то есть его область применения должна быть хотя бы не меньше).
Иными словами, мы хотим сказать, что математика так хорошо работает в описании физических явлений, потому-что физика с математикой формировались одинаковым образом. Законы физики не находятся в платоновом мире и не являются центральными идеями в математике. И физики, и математики выбирают свои утверждения таким образом, чтобы они подходили ко многим контекстам. В этом нет ничего странного, что абстрактные законы физики берут свое начало в абстрактном языке математики. Как и в том, что некоторые математические утверждения сформулированы задолго до того, как были открыты соответствующие законы физики, ведь они подчиняются одним симметриям.
Теперь мы полностью решили загадку эффективности математики. Хотя, конечно, есть ещё множество вопросов, на которые нет ответов. Например, мы можем спросить почему у людей вообще есть физика и математика. Почему мы способны замечать симметрии вокруг нас? Частично ответ на этот вопрос в том, что быть живым — значит проявлять свойство гомеостазиса, поэтому живые существа должны защищаться. Чем лучше они понимают своё окружение, тем лучше они выживают. Неживые объекты, например камни и палки, никак не взаимодействуют со своим окружением. Растения же, с другой стороны, поворачиваются к солнцу, а их корни тянутся к воде. Более сложное животное может замечать больше вещей в своем окружении. Люди замечают вокруг себя множество закономерностей. Шимпанзе или, например, дельфины не могут этого. Закономерности наших мыслей мы называем математикой. Некоторые из этих закономерностей являются закономерностями физических явлений вокруг нас, и мы называем эти закономерности физикой.
Можно задаться вопросом почему в физических явлениях вообще есть какие-то закономерности? Почему эксперимент проведенный в Москве даст такие же результаты, если его провести в Санкт-Петербурге? Почему отпущенный мячик будет падать с одинаковой скоростью, несмотря на то, что его отпустили в другое время? Почему химическая реакция будет протекать одинаково, даже если на неё смотрят разные люди? Чтобы ответить на эти вопросы мы можем обратиться к антропному принципу. Если бы во вселенной не было каких-то закономерностей, то нас бы не существовало. Жизнь пользуется тем фактом, что у природы есть какие-то предсказуемые явления. Если бы вселенная была полностью случайна, или похожа на какую-то психоделическую картину, то никакая жизнь, по крайней мере интеллектуальная жизнь, не смогла бы выжить. Антропный принцип, вообще говоря, не решает поставленную проблему. Вопросы типа «Почему существует вселенная», «Почему есть что-то» и «Что тут вообще происходит» пока остаются без ответа.
Несмотря на то, что мы не ответили на все вопросы, мы показали, что наличие структуры в наблюдаемой вселенной вполне естественно описывается на языке математики.
Взято отсюда goalma.org
Оригинал:
goalma.org
Лига Ставок На Советского Махачкала
Первая лига / Краснодар-2 - Динамо Махачкала прогноз 27 августа ставки и коэффициенты на матч Первой лиги. Советский район — один из трех районов goalma.orgет себя центральную часть города, а также гору Тарки-Тау. Лучшие коэффициенты. Перейти. Cитико Компании Лига Ставок Сервис И Услуги Лига Ставок Ставки а Спорт В Году Всякий наш клиент включается в программу лояльности. Для реализации услуг и функций нашего сайта, а также для сбора данных о том, как посетители взаимо . Онлайн-трансляция в прямом эфире и видео голов. Сравнение коэффициентов на исход матча Родина Москва - Черноморец Нв на РоссияПрезидент махачкалинского «Динамо» Гаджи Гаджиев заявил «РБ Спорт», что домашние матчи команды не будут перенесены в другой город. Высокие коэффициенты 💰 Бонусы. Али-Гаджи Акушинского,, Махачкала Вы можете добраться сюда пешком, на общественном транспорте. Население района города (без подчинённых населённых пунктов) составляет человек ( год). Официальный сайт легальной букмекерской компании «Лига Ставок». . История хоккейной коробки в поселке Мартюш началась еще во время зимних Олимпийских игр в Пекине, когда букмекерская компания «Лига Ставок» совместно с ФХР запустили социальную акцию «Умножаем на » в поддержку Статистика побед, поражений, забитых и пропущенных мячей, угловых, красных и желтых карточек футбольного клуба Динамо (Махачкала) во всех чемпионатах в сезоне /, статистика команды по годам во всех лигах и Результат матча Динамо Махачкала - СКА-Хабаровск, 21 августа , ФНЛ: итоговый счет матча, статистика матча, последние новости команд после встречи. Букмекерская контора «Лига Ставок» по адресу Республика Дагестан, Махачкала, Ташкентская улица, 34, ☎️ 7 44 Президент футбольного клуба «Динамо» Махачкала Гаджи Гаджиев в беседе с корреспондентом Лига Ставок, букмекерская компания: адреса со входами на карте, отзывы, фото, номера телефонов, время работы и как доехать Улица Гайдара Гаджиева, 11м цокольный этаж Лига Ставок (19 филиалов) Советский район, Махачкала, Показать вход Ставки на спорт в LIVE — смотреть прямые трансляции онлайн в БК «Лига Ставок» LIVE ставки на спорт в букмекерской компании 🟢«Лига Ставок»Букмекерская контора Лига ставок в Советском районе (Махачкала) - официальный сайт компании, подробные контакты (телефоны, адреса), отзывы, часы работы фирмы и многое другое на Orghost. «Алания» примет «Динамо» из Махачкалы в рамках первого тура Первой лиги. Расскажем, где смотреть прямую трансляцию онлайн. Топовые матчи и события в мире спорта. Начало в . Бесплатные прогнозы на футбол: Родина Москва - Черноморец Нв на 01 ноября от профессионалов. Ставка Победа «Алании» тотал больше (1,5) Букмекер. С первой только ставки им начисляются баллы, которые можно превратить Лига Ставок - отзывы, график работы, адрес, сайт, телефон, отдел кадров, вакансии, как добраться Россия Махачкала Амет-Хана Султана проспект, 8л, отзывы посетителей работников, рейтинг доверия, контакты на карте Финальный матч десятого тура Первой лиги в сезоне /24, в котором сойдутся «Динамо Махачкала» и «Алания», состоится 18 сентября на поле стадиона «Анжи Арена». «Динамо» продолжит играть на своем стадионеОнлайн трансляции событий ✅. Адреса лига ставок в махачкале Лига Ставок расположен по адресу: просп. Статистика встреч. . Лига Ставок, букмекерская компания: адреса со Лига Ставок, Гайдара Гаджиева, 11м, Махачкала, Советский лахчиц; Букмекерская Компания; этаже Этаж % Статистика. Прогноз на седьмой тур Первой лиги «Краснодар-2» - «Динамо» Махачкала, который Обзор матча Рубин - Динамо Махачкала. Алания - Динамо Махачкала прогноз 18 июля: ставки и коэффициенты на матч Первой лиги. Матч в рамках го тура МЕЛБЕТ Первой лиги «Химки» - «Динамо Махачкала» состоится 28 октября в по московскому времени в Химках. Топовые матчи в live и события в мире спортаСводная таблица команд высшей лиги за всю историю Чемпионатов СССР и СНГ по Хоккею с шайбой сезонов / - / года.. Лига Ставок На Советского Махачкала Читать 4 отзыва, смотреть 5 фото, панорамы, часы работы. Букмекерские конторы «Лига Ставок» в городе Махачкала: адреса, режим работы, телефоны. 29 октября Родина - Динамо Махачкала: прогноз и ставки на матч МЕЛБЕТ Первой лиги 23 октября года «Родина» примет «Динамо Махачкалу» в рамках матча го тура МЕЛБЕТ Первой лиги. Онлайн ставки на спорт Высокие коэффициенты Бонусы. Бонус 30 RUB. Коэффициент 1,·Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций РФ (Минцифры)
·Центр экспертизы и координации информатизации (ЦЭКИ)
·МНУЦИБ ВНИИПВТИ
·ФГАУ НИИ Восход
·Центр развития инвестиций и ГЧП в цифровой экономике
·Сибирский национальный центр высокопроизводительных вычислений и обработки данных (СНЦ ВВОД)
·Россия сегодня МИА
·Прайм (информагентство) (65%)
·Российское агентство правовой и судебной информации (РАПСИ)
·ТВ-новости, АНО
·RT TV (Russia Today)
·Ruptly
·Sputnik - новостное агентство (ранее Голос России)
·Федеральная служба по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор, РКН) (%)
·Управление Роскомнадзора по Москве и области
·Управление Роскомнадзора по Кемеровской области
·Координационный центр национального домена сети Интернет (КЦ)
·Разумный интернет Фонд
·Управление Роскомнадзора по Хабаровскому краю, Сахалинской области и Еврейской автономной области
·Центр мониторинга и управления сетью связи общего пользования
·Центр мониторинга и управления сетями связи (ЦМУ)
·Управление Роскомнадзора по Курской области
·Научно-исследовательский институт Радио (ФГБУ НИИР, НИИ Радио)
·Росинфокоминвест
·Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики - Сиб ГУТИ
·Департамент цифровой аналитики Минобороны России
·Федеральное агентство по информационным технологиям
·Ассоциация технопарков в сфере высоких технологий
·Федеральное агентство связи (Россвязь) (%)
·Космическая связь ГПКС (Russian Satellite Communications Company)
·Медвежьи Озера (Космическая связь)
·ЦКС Сколково (Центр космической связи)
·Московский НИИ радиосвязи (МНИИРС)
·Российские сети вещания и оповещения (РСВО)
·Московская городская радиотрансляционная сеть (МГРС)
·Радиотрансляционная сеть Санкт-Петербурга (ФГУП РС СП)
·Чеченэлектросвязь
·Управление специальной связи по Краснодарскому краю
·Федеральное агенство по печати и массовым коммуникациям (ФАПМК)
·Связист плюс
·ФГУП МНИИ Интеграл
·Российский фонд развития информационных технологий (РФРИТ)
·Хайпарк ИТМО (53%)
·Национальный консорциум развития и внедрения цифровых технологий в сфере городского управления
·Российский центр цифровых инноваций и ИКТ
·Координационный центр МПК по ВТ ФГБУ
·Связист ФГБУ Минкомсвязи России
·Центр по борьбе с киберпреступлениями, телефонным спамом и фишингом
·Российский центр оборота прав на результаты творческой деятельности (goalma.org)
·Государственные технологии ФКУ Гостех
·Министерство цифрового развития и информационных технологий Тверской области
·Федерация спортивного программирования
·Национальный технологический центр по цифровой криптографии
·Центр компетенций по развитию российского общесистемного и прикладного ПО
·Высшая школа экономики (НИУ ВШЭ)
·Центр региональных программ совершенствования государственного и муниципального управления ИГМУ НИУ ВШЭ (%)
·Venture Kitchen
·МИЭМ НИУ ВШЭ Московский институт электроники и математики (%)
·Центр экспертизы, разработки и сопровождения информационно-технологических решений ИГМУ НИУ ВШЭ (Центр «ИТ-консалтинг») (%)
·Типография ВШЭ (Типография Высшей школы экономики)
·Институт экономики транспорта и транспортной политики НИУ Высшая школа экономики
·Факультет права, Высшая школа экономики (НИУ ВШЭ)
·НИУ ВШЭ - Санкт-Петербург (Санкт-Петербургский филиал НИУ ВШЭ)
·Институт перспективных стратегических исследований (ИПСИ)
·Бюро экономического анализа (БЭА)
·Национальная квантовая лаборатория
·Национальный центр развития искусственного интеллекта
·Национальная платформа открытого образования (НПОО)
·Национальный координационный центр обработки транзакций с правами и объектами интеллектуальной собственности
·Digital IP - Научно-образовательный центр интеллектуальной собственности и цифровой экономики
·Российский центр оборота прав на результаты творческой деятельности (goalma.org)
·Министерство внутренних дел РФ (МВД)
·Главное управление по вопросам миграции МВД России (ранее Федеральная миграционная служба, ФМС)
·Управление по вопросам миграции МВД России по Кабардино-Балкарской Республике
·Управление ФМС по Новосибирской области
·Управление Федеральной Миграционной Службы (УФМС) России по Свердловской области
·Управление Федеральной Миграционной Службы (УФМС) России по Республике Коми
·УФМС по г. Москва
·Управление Федеральной Миграционной Службы (УФМС) по Ямало-Ненецкому автономному округу
·Управление Федеральной Миграционной Службы (УФМС) России по Республике Северная Осетия-Алания
·ГУВД по Алтайскому краю
·Федеральная служба РФ по контролю за оборотом наркотиков ФСКН
·Управление миграционной службы УВД Оренбурга
·Южно-Уральское линейное управление МВД России на транспорте
·Академия управления МВД России
·Министерство внутренних дел (МВД) республики Карелия
·Межмуниципальный отдел МВД России «Костомукшский» (республика Карелия)
·Федеральная служба исполнения наказаний (ФСИН России)
·ГУФСИН России по Красноярскому краю
·УФСИН по Кабардино-Балкарской Республике
·ГУФСИН по Иркутской области
·УФСИН России по Костромской области
·ГУФСИН России по Свердловской области
·ГУФСИН по Ростовской области
·ГУФСИН по Липецкой области
·УФСИН России по Амурской области
·ФГУП "Сибирское" ФСИН РОССИИ
·УМИАТ ФСИН России
·УФСИН России по Архангельской области
·УФСИН по Белгородской области
·УФСИН по Вологодской области
·УФСИН по Кемеровской области
·Главный центр инженерно-технического обеспечения и связи Федеральной службы исполнения наказаний (ФКУ ГЦИТОиС ФСИН России)
·УФСИН по Астрахани
·ФГУП Промсервис ФСИН
·УФСИН России по Ставропольскому краю (%)
·УФСИН РФ во Владимирской области
·УФСИН России по Республике Мордовия
·ВЮИ ФСИН России (Владимирский юридический институт Федеральной службы исполнения наказаний)
·УС №24 ФСИН России (Управление строительства № 24 Федеральной службы исполнения наказаний)
·Главное промышленно-строительное управление
·Калужское ФСИН России
·УФСИН России по Псковской области
·УФСИН России по Курской области
·Центр инженерно-технического обеспечения и вооружения (ЦИТОВ) УФСИН России по Курской области
·ЦИТОВ ГУФСИН России по Пермскому краю
·Управление Федеральной службы исполнения наказаний по городу Москве (УФСИН РФ по г. Москве)
·Воронежский институт ФСИН России
·Вологодский институт права и экономики Федеральной службы исполнения наказаний
·Академия права и управления ФСИН РФ
·Главное управление Федеральной службы исполнения наказаний по Пермскому краю
·Пермский институт Федеральной службы исполнения наказаний
·Управление Федеральной службы исполнения наказаний по Республике Коми
·УФСИН России по Республике Калмыкия
·Министерство внутренних дел (МВД) Республики Саха (Якутия)
·Главное управление внутренних войск МВД России
·Главное следственное управление ГУ МВД России по Москве
·Санкт-Петербургский институт ВВ МВД РФ
·Специальная техника и связь МВД России НПО (СТиС НПО ФКУ)
·ГИБДД (Госавтоинспекция) МВД РФ
·ГИБДД Мурманской области
·МОТОТРЭР ГИБДД УМВД по Белгородской области
·ГИБДД Москвы
·УГИБДД УМВД по ХМАО-Югре
·УГИБДД МВД по Чувашской Республике
·ГИБДД Татарстана
·УГИБДД МВД по Республике Башкортостан
·ГИБДД по Волгоградской области
·Главное управление внутренних дел по Московской области
·Управление государственной инспекции безопасности дорожного движения ГУВД по Московской области
·Уфимский юридический институт ФГКОУ ВПО УЮИ МВД РФ
·УВД по goalma.orgвску
·УВД МВД РФ по республике Дагестан
·ГУ МВД России по Санкт-Петербургу и Ленинградской области
·МОТОТРЭР ГИБДД УМВД по Белгородской области
·ГУ МВД России по Ростовской области
·УМВД России по Калининградской области
·УМВД по Брянской области
·МВД по республике Калмыкия
·УМВД по Рязанской области
·Главное управление внутренних дел по Воронежской области
·Объединенная редакция МВД России
·ГУ МВД РФ по Свердловской области
·ГУ Управление вневедомственной охраны при ГУВД Свердловской области
·РСУ МВД России
·Управление К БСТМ МВД России
·ГУ ЦВК МТО ГКВ МВД
·ГУ МВД по Красноярскому краю
·ГУ МВД по Самарской области
·ГУ МВД России по Северо-Кавказскому федеральному округу (СКФО)
·Управление МВД России по Кировской области
·Воронежский Институт МВД (%)
·Управление на транспорте МВД РФ по Северо-Кавказскому федеральному округу (УТ МВД РФ по СКФО)
·МВД РФ по Кабардино-Балкарской Республике
·Управление по вопросам миграции МВД России по Кабардино-Балкарской Республике
·УМВД России по Курской области
·МВД России по Республике Марий Эл
·ГУ МВД по Новосибирской области
·Омская академия МВД России
·МВД Республики Северная Осетия – Алания
·Управление на транспорте МВД РФ по ЦФО
·ГУ МВД России по Нижегородской области
·УМВД России по Забайкальскому краю (%)
·Главный центр связи и защиты информации (ГЦСиЗИ МВД России)
·ГЦАХиТО МВД России
·МВД по Чеченской республике
·ФКУЗ ГКГ МВД России
·Управление на транспорте МВД РФ по ПФО
·Отдел вневедомственной охраны по городу Ноябрьск
·Главное управление МВД России по Челябинской области
·Управление по вопросам миграции ГУ МВД России по Челябинской области
·Управление на транспорте МВД РФ по Дальневосточному Федеральному округу
·МВД по Республике Татарстан
·УМВД России по Хабаровскому краю
·УМВД России по г. Хабаровску
·СПбУ МВД РФ (Санкт-Петербургский университет МВД Российской Федерации)
·ВА МВД России (Волгоградская академия Министерства внутренних дел Российской Федерации)
·ПВС МВД России - Паспортно-визовый сервис
·Филиал по Оренбургской области ПВС МВД России
·Управление на транспорте МВД РФ по СФО
·УрЮИ МВД России (Уральский юридический институт Министерства внутренних дел Российской Федерации)
·Нижегородская академия МВД России
·БЮИ МВД Барнаульский юридический институт МВД РФ
·ВФ ДВЮИ МВД РФ Владивостокский филиал Дальневосточного юридического института
·МВД по Республике Тыва, Министерство внутренних дел по Республике Тыва
·ВНИИ МВД России
·Главное управление МВД России по Урфо
·Главное управление МВД России по Саратовской области
·МВД по Республике Хакасия
·УМВД России по г. Магнитогорску Челябинской области
·Управление МВД России по Вологодской области
·УМВД России по Томской Области
·Центр хозяйственного и сервисного обеспечения УМВД России по Смоленской области
·Казанский юридический институт МВД РФ
·ГИАЦ МВД России (ГИАЦ) - Главный информационно-аналитический центр
·ОМВД России по Костромскому району
·Дальневосточный юридический институт МВД РФ
·МВД по Чувашской Республике
·Медико-санитарная часть МВД России по Тверской области
·Медико-санитарная часть МВД России по Белгородской области
·Белгородский юридический институт МВД РФ им. И.Д. Путилина
·Медико-санитарная часть МВД России по Тульской области
·Управление МВД России по Костромской области
·Управление МВД России по Ханты-Мансийскому автономному округу - Югре
·УГИБДД УМВД по ХМАО-Югре
·Управление МВД России по Оренбургской области
·Управление МВД России по Мурманской области
·Орловский юридический институт МВД РФ им. В.В. Лукьянова
·Управление МВД России по Смоленской области
·Управление МВД России по Тамбовской области
·Управление внутренних дел - УВД Тамбова
·Управление МВД России по Пензенской области
·Управление ГИБДД УВД Пензенской области
·Главное управление МВД России по Иркутской области
·Управление ФМС по Иркутской области
·УМВД России по Астраханской области
·
1. Работает вечно, если Q останавливается при получении на вход собственного кода, или
Скотт Ааронсон
Квантовые вычисления со времен Демокрита
Издательство благодарит Российский квантовый центр и Сергея Белоусова за
помощь в подготовке издания
Переводчик Н. Лисова
Научный редактор А. Львовский
Редактор И. Лисов
Руководитель проекта А. Тарасова
Корректоры О. Сметанникова, М. Миловидова
Компьютерная верстка М. Поташкин
Арт-директор Ю. Буга
Иллюстрация обложки goalma.org
***
Моим родителям
Предисловие
Критический обзор книги Скотта Ааронсона «Квантовые
вычисления со времен Демокрита»,
Написанный им самим
Хотя я ценю добрые слова автора рецензии о моей книге (и даже о моей внешности!),
которые вы могли видеть на предыдущих страницах, я при всем том категорически возражаю
против высказанного им невежественного утверждения о том, что в книге «Квантовые
вычисления со времен Демокрита» нет обобщающего тезиса. Он в книге есть – хотя, как ни
странно, не я первым сумел понять, в чем он состоит. За формулировку центральной мысли
этой книги я должен поблагодарить Love Communications – рекламное агентство из Сиднея
(Австралия), вложившее эту мысль в уста гламурных моделей с целью повышения продаж
принтеров.
Позвольте мне рассказать эту историю – она того стоит.
В г. я читал курс «Квантовые вычисления со времен Демокрита» в Университете
Ватерлоо. В течение следующего года я выкладывать краткие заметки по этому курсу в
своем блоге Shtetl-Optimized 1 – именно из этих заметок позже сложилась данная книга.
Меня тогда воодушевил энтузиазм, с которым заметки были встречены читателями блога;
должен сказать, что именно реакция читателей убедила меня опубликовать их в виде книги.
Но был один отклик, который ни я, ни кто-либо другой не мог предвидеть заранее.
1 октября г. я получил электронное письмо от некоего австралийца по имени
Уоррен Смит, который писал, что видел по телевизору интересную рекламу принтеров
Ricoh. В ней, продолжал он, две девушки-модели в гримерной вели следующий диалог:
После этого в ролике вспыхивал слоган: «Наша модель умнее», после которого
появляется изображение принтера Ricoh.
Смит сообщил, что заинтересовался происхождением столь необычного рекламного
текста и стал гуглить его. Поиск привел его к девятой главе моих конспектов на тему
«Квантовые вычисления со времен Демокрита», где он обнаружил следующий пассаж:
Этому посту суждено было стать самым популярным из всех, когда-либо мной
написанных. На следующее утро эта история попала на страницы в Sydney Morning Gerald
(«Профессор: "Рекламное агентство сплагиатило запись моей лекции"»4), на сайт Slashdot
(«Скотт Ааронсон рекламирует принтеры»5) и еще на нескольких новостных сайтах. Я в тот
момент находился в Латвии в гостях у своего коллеги Андриса Амбайниса, но журналистам
удалось каким-то образом меня разыскать в рижской гостинице; меня разбудили в пять утра,
чтобы взять интервью.
Тем временем реакция читателей в моем блоге и на других онлайн-форумах оказалась
смешанной. Некоторые говорили, что я поступлю глупо, если не подам в суд на рекламное
агентство и не получу с него максимально возможную компенсацию. Что, если бы они
вставили в свой рекламный ролик несколько тактов из какой-нибудь песни Rolling Stones,
не получив предварительно на то разрешения? Выплаты по подобным процессам, заверили
меня, иногда составляют миллионы долларов. Другие читатели утверждали, что сама
постановка вопроса делает меня стереотипным американцем-сутяжником, воплощением
всех недостатков этого мира. Я должен чувствовать себя польщенным, продолжали они, что
авторы рекламного текста сочли нужным дать моим взглядам на квантовую механику
такую бесплатную рекламу. В десятках комментариев мне в разных выражениях
предлагалась одна и та же пошлая шутка: потребовать в качестве компенсации свидание с
«моделями». (На это я ответил, что, если уж говорить о компенсации, предпочел бы
получить бесплатный принтер.) Кто-то из комментаторов написал просто: «Да уж, не
исключено, что эта история – самое смешное, что когда-либо происходило».
Love Communications, со своей стороны, признали, что использовали в рекламе текст
моей лекции, но заявили, что консультировались с юристом и были уверены, такая практика
не выходит за рамки добросовестного использования. Я тем временем все-таки связался с
австралийским юристом, специализирующимся на интеллектуальных правах, и он сказал,
что мое дело вполне может оказаться выигрышным, но участие в процессе потребует усилий
и времени. Я колебался: с одной стороны, плагиат – один из немногих непростительных
грехов научного мира, да и бесцеремонный ответ рекламного агентства, пойманного на
горячем, вызвал у меня раздражение. С другой стороны, если бы они меня спросили, я,
вероятно, с радостью разрешил бы им использовать свои слова – либо за символическую
сумму, либо вообще бесплатно.
В конце концов мы нашли решение, которое понравилось всем. Love Communications
извинились (не признавая при этом, что поступили неправильно) и пожертвовали
3 goalma.org?p=
4
goalma.org
5 goalma.org
долларов двум австралийским научно-просветительским организациям, которые я назвал 6. В
ответ я отказался от всяких дальнейших действий и почти что забыл об этой истории и
вспоминаю теперь о ней только тогда, когда коллеги начинают надо мной подшучивать,
вспоминая австралийских моделей (им это никак не надоест).
Но замечательна эта история – и потому я ее здесь пересказываю (ну, помимо того, что
это подлинная забавная история, связанная с этой книгой) – что если бы мне нужно было
выбрать из всей книги один абзац для телепередачи, я, кажется, выбрал бы именно тот, что
выбрали копирайтеры агентства, хотя они, вероятно, просто просматривали книгу по
диагонали в поисках какой-нибудь наукообразной ерунды, а я никак эту мысль не выделил,
поскольку даже не задумался о ее важности.
Идея о том, что квантовая механика занимается информацией, вероятностями и
наблюдаемыми величинами, а вовсе не волнами и частицами, безусловно, нельзя назвать
оригинальной. Физик Джон Арчибальд Уилер говорил нечто подобное еще в е гг.;
сегодня вокруг этой идеи построена вся научная область, связанная с квантовыми
вычислениями и информацией. В самом деле, во время дискуссии в моем блоге,
развернувшейся после эпизода с австралийскими моделями, один из наиболее частых
аргументов (и наиболее забавных, по-моему) состоял в том, что мне, по существу, не на что
жаловаться, поскольку заимствованный отрывок не отличался ничем особенным; в нем
высказана очевидная мысль, которую можно найти в любой книге по физике!
Как бы мне хотелось, чтобы это было действительно так! Даже сегодня, в г.,
взгляд на квантовую механику как на теорию информации и вероятностей остается в общем
и в целом точкой зрения меньшинства. Возьмите почти любую книгу по физике – хоть
популярную, хоть теоретическую, и вы узнаете, что (а) в современной физике полно
парадоксальных на первый взгляд утверждений, к примеру что волны – это частицы, а
частицы – это волны, (б) никто по-настоящему глубоко этих вещей не понимает, (в) даже на
перевод их на язык математики требуются годы интенсивной работы, но (г) благодаря им
атомные спектры удается рассчитать правильно, а именно это, в конце концов, и важно.
Так, красноречивое изложение этого «традиционного взгляда» можно найти в книге
Карла Сагана «Мир, полный демонов»:
«Предположим, вы решили всерьез разобраться в квантовой механике. Сначала нужно
овладеть математическим аппаратом, целым рядом математических дисциплин, каждая из
которых подводит к следующей, более высокой ступени. Арифметика, геометрия Евклида,
алгебра по программе старших классов, дифференциальное и интегральное исчисление,
дифференциальные уравнения, обычные и в частных производных, векторное исчисление,
некоторые специальные функции математической физики, матричная алгебра и теория
групп… Нелегка задача популяризатора науки, который захочет дать широкой публике, не
прошедшей весь этот обряд посвящения, хоть какое-то представление о квантовой механике.
На мой взгляд, удачных популяризаций квантовой механики просто не существует, и отчасти
по этой самой причине. На все эти математические сложности накладывается тот факт, что
квантовая теория демонстративно контринтуитивна. Подходить к ней, вооружившись
здравым смыслом, почти бесполезно. Как говорил в свое время Ричард Фейнман,
бессмысленно спрашивать, почему так. Этого никто не знает. Так устроено, и все тут».
Можно понять, почему так говорят физики: физика – наука экспериментальная. В
физике можно сказать: «Правила здесь вот такие, не потому, что они разумны, но потому,
что мы провели эксперимент и получили вот такой результат». Можно даже сказать это
гордо и восхищенно, бросая вызов скептикам: а попробуйте-ка противопоставить свои
косные представления вердикту Природы!
Лично я просто верю экспериментаторам, когда они говорят, что мир устроен и
работает совершенно иначе, чем я себе представлял. Дело не в том, чтобы убедить меня.
6 goalma.org?p=
Кроме того, я не пытаюсь предсказывать, что экспериментаторы откроют в следующий раз.
Единственное, что я хочу знать: Что случилось с моей интуицией? Как мне ее поправить,
чтобы интуиция не слишком расходилась с результатами экспериментов? Как мог бы я
рассуждать, чтобы реальное поведение мира не удивляло бы меня так сильно?
Если говорить о нескольких предыдущих научных революциях – о ньютоновой физике,
дарвиновой эволюции, о специальной теории относительности, то я, как мне кажется,
примерно представляю себе ответы на приведенные вопросы. И если моя интуиция пока еще
не до конца приспособилась даже к этим теориям, то я, по крайней мере, знаю, как ее нужно
настроить. А потому, если бы я, к примеру, создавал новую вселенную, я мог бы сделать ее
инвариантной или не инвариантной относительно преобразований Лоренца, но я
определенно рассмотрел бы такую возможность и я бы понял, почему
Лоренц-инвариантность является неизбежным следствием пары других свойств, которые мне
могли бы понадобиться для новой вселенной.
Но с квантовой механикой все иначе. Здесь, уверяют нас физики, никто не знает, как
нужно настроить интуицию, чтобы поведение элементарных частиц перестало казаться столь
безумным. Более того, не исключено, что такого способа просто не существует ; может
быть, субатомное поведение навсегда останется для нас всего лишь произвольным грубым
фактом, и нам нечего будет сказать о нем, помимо того, что «такие-то и такие-то формулы
дают верный ответ». Моя реакция на это достаточно радикальна: если это правда, то мне нет
дела до того, как ведут себя элементарные частицы. Несомненно, кому-то другому
необходимо это знать, к примеру тем, кто разрабатывает лазеры или транзисторы, – так
пусть они и изучают. Что до меня, я просто займусь изучением какого-нибудь другого
предмета, более мне понятного, скажем теории вычислительных систем. Сказать мне, что
моя физическая интуиция не работает, и не дать никакого способа скорректировать эту
интуицию, – все равно что завалить меня на экзамене и даже не намекнуть, в чем дело и как
можно было бы добиться лучшего результата. Как только появится возможность, я просто
переключусь на другие курсы, где у меня есть возможность заработать высший балл, где моя
интуиция работает .
К счастью, мне представляется, что в результате нескольких десятилетий работы в
области квантовых вычислений и квантовых принципов мы получили возможность добиться
куда большего, чем просто назвать квантовую механику набором загадочных
бессмысленных фактов. Короче говоря, вот что ожидает вас в этой книге:
Этот обмен репликами служит, по существу, краеугольным камнем всей книги. Одной
из тем для моих рассуждений будет то, что квантовая механика снабжает, судя по всему, и
Разум, и Чувства новыми аргументами в их летнем споре, хотя по-прежнему (я так
считаю) не обеспечивает чистой победы ни для одной стороны.
В главах 2 и 3 я перехожу к обсуждению самой глубокой из всех имеющихся у нас
областей знания, совершенно намеренно не зависящей от «грубых фактов» об окружающем
мире, а именно математики. Даже здесь что-то внутри меня (и, как я подозреваю, внутри
многих других компьютерщиков!) с подозрением относится к тем разделам математики,
которые несут на себе явный отпечаток физики, – это, к примеру, дифференциальные
уравнения в частных производных, дифференциальная геометрия, группы Ли и что угодно
еще, выглядящее «слишком непрерывным». Поэтому я начинаю с самых «нефизических»
разделов математики, известных на данный момент, – с теории множеств, логики и вопросов
вычислимости. Я рассказываю о великих открытиях Кантора, Фреге, Гёделя, Тьюринга и
Коэна, которые помогли нанести на карту контуры математических рассуждений как
таковых и которые – в процессе демонстрации причин, по которым всю математику
невозможно свести к фиксированному «механическому процессу», – продемонстрировали
также, сколь значительную часть ее все же можно свести к такому процессу; заодно
удалось прояснить, что, собственно, представляет собой сей «механический процесс».
Поскольку я никак не могу от этого удержаться, в главе 4 я углубляюсь в давний спор о том,
не сводится ли работа человеческого разума к «устоявшимся механическим процессам». Я
стараюсь излагать позиции сторон в этом споре как можно беспристрастнее (хотя мои
собственные пристрастия, несомненно, тоже заметны).
В главе 5 представлена молодая сестра теории вычислимости – теория вычислительной
сложности, которая в дальнейшем играет в книге центральную роль. Я пытаюсь
проиллюстрировать, в частности, как вычислительная сложность позволяет нам методично
брать «глубокие философские загадки» о пределах человеческого знания и превращать их во
«всего лишь» безумно сложные нерешенные математические задачи, в которых, по мнению
некоторых, отражается большая часть того, что нам хотелось бы знать! Невозможно
придумать лучший пример такого превращения, чем так называемая проблема перебора, или
вопрос о равенстве классов сложности P и NP , о котором я расскажу в главе 6. Затем, в
качестве разогрева перед квантовыми вычислениями, в главе 7 будут рассмотрены
многочисленные применения классического понятия случайности – как в теории сложности
вычислений, так и в других областях жизни; а глава 8 объяснит, как при помощи идей из
области вычислительной сложности начиная с х гг. удалось по-настоящему
революционизировать теорию и практику криптографии .
Все это – всего лишь подготовка сцены для самой тяжелой части книги – главы 9, в
которой представлен мой взгляд на квантовую механику как «обобщенную теорию
вероятностей». В главе 10 объясняются основы моей собственной научной области –
квантовой теории вычислений, которую можно кратко определить как соединение
квантовой механики и теории вычислительной сложности.
В качестве «награды» за упорство глава 11 предлагает критический разбор идей сэра
Роджера Пенроуза, убежденного, как известно, в том, что мозг – это не просто квантовый
компьютер, но квантовый гравитационный компьютер, способный решать невычислимые
по Тьюрингу задачи, и что это или что-то подобное можно показать при помощи теоремы
Гёделя о неполноте. Указать на проблемы и недостатки этих идей проще простого, и я это
делаю, но еще интереснее, как мне кажется, задаться вопросом о том, не скрываются ли все
же в рассуждениях Пенроуза крупицы истины.
В главе 12 рассматривается то, что я считаю главной концептуальной проблемой
квантовой механики: не то, что будущее неопределенно (а кому до этого есть дело?), но то,
что прошлое также неопределенно! Я разбираю две очень разные реакции на эта
проблему: во-первых, популярное среди физиков обращение к декогеренции и
«эффективной стреле времени» на базе Второго начала термодинамики; и во-вторых,
«теории со скрытыми параметрами», такие как теория волны-пилота (она же теория де
Бройля – Бома). Я считаю, что теории со скрытыми параметрами, даже если они будут
отвергнуты, ставят перед нами необычайно интересные математические вопросы.
В оставшейся части книги рассматривается приложение всего изложенного выше к тем
или иным серьезным, захватывающим или противоречивым вопросам математики,
информатики, философии и физики. В этих главах значительно больше, чем в начальных,
уделено внимание недавним исследованиям, в основном в области квантовой информации и
вычислительной сложности, но также в области квантовой гравитации и космологии; мне
представляется, что появляется некоторая надежда пролить свет на эти «коренные вопросы».
Поэтому мне кажется, что именно последние главы устареют первыми! Несмотря на
кое-какие не слишком существенные логические завязки, в первом приближении можно
сказать, что эти последние главы можно читать в любом порядке.
• В главе 13 говорится о новых концепциях математического доказательства (включая
вероятностное доказательство и доказательство с нулевым разглашением), а затем
рассказывается о приложении этих новых понятий к пониманию вычислительной сложности
теорий со скрытыми параметрами.
• В главе 14 поднимается вопрос о «размере» квантовых состояний: действительно ли в
них зашифровано экспоненциальное количество классической информации? Кроме того,
этот вопрос соотносится, с одной стороны, с дебатами о квантовой интерпретации, а с
другой – с недавними исследованиями квантовых доказательств и совета на базе теории
сложности.
• В главе 15 разбираются аргументы скептиков квантовых вычислений – тех, кто
считает, что создать реальный квантовый компьютер не просто сложно (с чем согласны
решительно все!), но невозможно по некоторым фундаментальным причинам.
• В главе 16 разбирается юмова проблема индукции; она используется как трамплин
для обсуждения теории вычислительного обучения, а также недавних работ по изучаемости
квантовых состояний.
• В главе 17 рассказывается о некоторых прорывных открытиях, меняющих наши
представления о классических и квантовых интерактивных системах доказательства (к
примеру, о теоремах IP = PSPACE и QIP = PSPACE ); в основном эти открытия
интересуют нас постольку, поскольку ведут к нерелятивизирующим нижним оценкам
сложности схемы и, следовательно, могли бы осветить некоторые аспекты вопроса о
равенстве P и NP .
• В главе 18 разбираются знаменитый антропный принцип и «аргумент Судного дня»;
дискуссия начинается как сугубо философическая (разумеется), но постепенно сводится к
обсуждению квантовых вычислений с постселекцией и теоремы PostBQP = PP .
• В главе 19 обсуждаются парадокс Ньюкома и свобода воли, что выливается в рассказ
о «теореме о свободе воли» Конуэя – Кохена и использовании неравенства Белла для
генерации «случайных чисел по Эйнштейну».
• глава 20 посвящена путешествиям во времени: разговор уже традиционно начинается
с широкой философской дискуссии, а заканчивается доказательством того, что классические
и квантовые компьютеры с замкнутыми времениподобными траекториями выдают
вычислительную мощность, в точности равную PSPACE (при допущениях, которые
открыты для интересных возражений, о чем я расскажу подробно).
• В главе 21 речь пойдет о космологии, темной энергии, пределе Бекенштейна и
голографическом принципе, но, что не удивительно, с акцентом на то, что все эти вещи
значат для пределов вычислений . К примеру: сколько бит можно сохранить или просмотреть
и сколько операций над этими битами можно проделать, не использовав при этом столько
энергии, что вместо вычислений возникнет черная дыра?
• глава 22 остается «на десерт»; в ее основе лежит завершающая лекция курса
«Квантовые вычисления со времен Демокрита», на которой студенты могли задавать мне
абсолютно любые вопросы и смотреть, как я с ними справлюсь. Среди затронутых тем:
возможность падения квантовой механики; черные дыры и так называемые пушистые
клубки; что дают оракулы в вопросе о вычислительной сложности; NP -полные задачи и
творческое начало; «сверхквантовые» корреляции; дерандомизация рандомизированных
алгоритмов; наука, религия и природа разума; а также почему информатика не является
разделом физики.
И последнее замечание. Чего вы точно не найдете в этой книге, так это рассуждений о
практической стороне квантовых вычислений: ни о физической реализации, ни о коррекции
ошибок, ни о деталях базовых квантовых алгоритмов, таких как алгоритмы Шора, Гровера и
др. Одна из причин такого подхода кроется в случайном обстоятельстве: книга основана на
лекциях, которые я читал в Канаде в Институте квантовых вычислений Университета
Ватерлоо, и студенты, слушавшие его, уже разбирались со всеми этими аспектами на других
курсах. Вторая причина заключается в том, что эти аспекты рассматриваются в десятках
других книг 7 и выложенных в сеть лекций (включая и мои собственные), и я не видел
смысла изобретать велосипед. Но есть и третья причина: техническая перспектива создания
компьютера нового типа, конечно, интересна, но не ради этого я занялся квантовыми
вычислениями. (Только тс-с-с , не передавайте моих слов директорам агентств,
занимающихся финансированием науки.)
Поясняю. На мой взгляд, вполне вероятно, что я еще увижу при своей жизни
действующие квантовые компьютеры (разумеется, возможно также, что и не увижу ). И если
у нас действительно появятся масштабируемые универсальные квантовые компьютеры, то
они почти наверняка найдут себе реальное применение (даже если не говорить о взломе
шифров): мне кажется, что по большей части это будут специализированные задачи, такие
как квантовое моделирование, и в меньшей степени – решение задач комбинаторной
оптимизации. Если это произойдет, я, естественно, обрадуюсь не меньше прочих и буду
гордиться, если какие-то результаты моей работы найдут применение в этом новом мире. С
другой стороны, если бы кто-то завтра дал мне реальный квантовый компьютер, то ума не
приложу, к чему лично я мог бы его применить: в голову лезут только варианты его
использования другими людьми!
Отчасти именно поэтому, если бы вдруг кому-то удалось доказать, что
масштабируемые квантовые вычисления невозможны , это заинтересовало бы меня в тысячу
раз сильнее, чем доказательство их возможности. Ведь такая неудача подразумевала бы, что
с нашими представлениями о квантовой механике что-то не так; это была бы настоящая
революция в физике! Будучи прирожденным пессимистом, я полагаю , однако, что Природа
не будет настолько добра к нам и что в конце концов возможность масштабируемых
Что нового
8 T. Ito and T. Vidick, A Multi-prover Interactive Proof for NEXP Sound against Entangled Provers. In Proceedings
of IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (), pp. –
е гг. (см. так же главу 17). Алгебраизация объясняет, почему методики интерактивного
доказательства в попытке доказать P ≠ NP позволяют нам лишь дойти до определенного
предела и не более того – к примеру, почему эти методики привели к сверхлинейной нижней
оценке сложности схемы для класса PromiseMA, но не для класса NP , который всего лишь
«чуть ниже его». Мы поставили задачу разработки новых методик поиска нижней оценки
сложности схемы, которые позволяли бы убедительно обойти барьер алгебраизации. Эту
задачу решил в г. Райан Уильямс своим прорывным доказательством того, что NEXP
⊄ ACC0 (речь об этом идет в главе 17).
Конечно, даже интереснейший результат Уильямса чертовски далек еще от
доказательства P ≠ NP . Но в последние шесть лет наблюдается еще и растущий интерес –
и, соответственно, прогресс – к программе создания геометрической теории сложности
Кетана Мулмулея (см. главу 17); теория эта играет для доказательства P ≠ NP почти в
точности ту же роль, что теория струн в физике для цели создания Теории Всего. То есть,
если говорить о конкретных результатах, программа геометрической теории сложности пока
даже отдаленно не приблизилась к конечному результату, и даже самые рьяные ее
сторонники предсказывают несколько десятилетий кропотливой работы, тогда как
остальных просто отпугивает ее математическая сложность. В активе этой программы две
вещи: во-первых, то, что она создает математические связи, «слишком глубокие и
поразительные, чтобы их можно было считать простым совпадением», и во-вторых, то, что
(хотя так считают далеко не все!) на безрыбье и рак рыба и что это единственный реальный
претендент на успех, имеющий хоть какие-то шансы.
Позвольте мне упомянуть еще три открытия, сделанных после г. и важных для
содержания этой книги.
В г. мы с Алексом Архиповым предложили «бозонную выборку» (см. главу 18) –
рудиментарную, почти наверняка не универсальную модель квантовых вычислений с
участием невзаимодействующих фотонов, которая совсем недавно была
продемонстрирована в небольшом масштабе. Уверенность в том, что бозонную выборку
трудно смоделировать на классическом компьютере, кажется, даже выше, чем в том, что
трудно смоделировать (к примеру) алгоритм Шора разложения на множители.
В г. Умеш Вазирани и Томас Видик, опираясь на более ранние работы Пиронио с
соавторами, показали, как можно использовать нарушения неравенства Белла для
достижения экспоненциального расширения случайности (см. главу 19), то есть
превращения n случайных бит в 2n бит, которые гарантированно будут почти совершенно
случайными, если только Природа не воспользуется сверхсветовой связью, чтобы их
изменить.
Тем временем дебаты об «информационном парадоксе черной дыры» – то есть об
очевидном конфликте между принципами квантовой механики и локальностью
пространства-времени, когда биты и кубиты падают в черную дыру, – развивались с г.
в новых направлениях. Самыми, возможно, важными достижениями здесь стали возросшая
популярность и подробность модели черной дыры как «пушистого клубка», выдвинутой
Самиром Матхуром, и спорное утверждение Алмхейри с соавторами о том, что наблюдатель,
падающий в черную дыру, никогда даже не приблизится к сингулярности, а встретит на
своем пути «огненную стену» и сгорит на горизонте событий. Я в меру своих сил расскажу
об этих достижениях в главе
Несколько дополнений и изменений в книге объясняются не какими-то новыми
открытиями или аргументами, а просто тем, что я (ну надо же!) изменил мнение о чем-то.
Один из примеров – мое отношение к аргументам Джона Сёрла и Роджера Пенроуза против
«сильного искусственного интеллекта». Как вы увидите в главах 4 и 11, я по-прежнему
считаю, что Сёрл и Пенроуз неправы в принципиальных моментах, причем Сёрл в большей
степени, нежели Пенроуз. Но я, перечитав свой текст г., посвященный причинам, по
которым они неправы, испытал неприятное чувство. Мне не понравился мой
легкомысленный тон, моя готовность посмеяться над этими знаменитыми учеными,
пытающимися завернуться в логический крендель в отчаянной и очевидно обреченной
попытке обосновать человеческую уникальность. В результате я пребывал в ленивой
уверенности, что все вокруг заранее согласны со мной: что для (по большей части) физиков и
специалистов по информатике попросту самоочевидно, что человеческий мозг есть не что
иное, как «горячая и влажная машина Тьюринга», – и считал, что глупо тратить лекционное
время на такой давно решенный вопрос. С тех пор, кажется , я лучше проникся невероятной
сложностью этих вопросов, и в частности необходимостью выдвигать такие аргументы,
которые действовали бы на людей отличных от моей философских позиций.
С надеждой на то, что в г. эта книга будет так же сильно нуждаться в переработке,
как нуждаются в ней сегодня, в г., конспекты лекций года,
Благодарности
Мой практикант года Крис Гранад с энтузиазмом взялся за превращение
разрозненных конспектов и аудиозаписей в полноценные черновики, которые я смог
выложить у себя на сайте, – и это стало первым шагом на их долгом пути к превращению в
книгу. После этого Алекс Архипов, мой замечательный докторант в MIT, прошелся по
черновикам частой гребенкой и отметил места, которые были неверны, непонятны или не
представляли более интереса. Я глубоко благодарен им обоим: эта книга одновременно и их
книга, она бы не появилась без их помощи.
Она бы также не была возможна без Саймона Кейплина, моего издателя из Cambridge
University Press (CUP), который предложил мне идею книги. Саймон понял, что мне нужно:
он дергал меня раз в несколько месяцев, чтобы проверить, насколько я продвинулся, но
никогда не давил на меня и всегда полагался на мое внутреннее чувство вины, чтобы увидеть
конец в работе над проектом. (И в конце концов я его увидел .) Саймон также заверил меня в
том, что хотя «Квантовые вычисления со времен Демокрита»… несколько отличны от
обычных для издательства книг, он приложит все усилия для того, чтобы сохранить, как он
выразился, ее «нетривиальное очарование». Я также благодарен другим сотрудникам CUP и
компании Aptara Corp., которые помогли мне сделать книгу реальностью, – это Сара
Хэмилтон, Эмма Уолкер и Диша Малхотра.
Я выражаю благодарность студентам и членам факультета, которые слушали мой курс
«Квантовые вычисления со времен Демокрита» в Университете Ватерлоо в осеннем семестре
года. Их вопросы и аргументы сделали курс таким, какой он есть, и вы увидите это в
книге, особенно в ее последних главах. Ну и самое главное: студенты сделали аудиозаписи и
первые конспекты. Говоря в целом, я вспоминаю два постдоковских года в Институте
квантовых вычислений (IQC) Университета Ватерлоо как один из самых счастливых
периодов своей жизни. Я благодарю всех, и в особенности директора IQC Рея Лафламма, за
то что они не только разрешили мне читать столь безумный курс, но и сподвигли меня на
это, и даже – это касается Рея и некоторых других – лично сидели на лекциях и подавали
много ценных идей.
Я благодарен Лаборатории вычислительных систем и искусственного интеллекта MIT и
его кафедре электротехники и вычислительных систем, а также Национальному научному
фонду США, Агентству перспективных оборонных проектов DARPA, Фонду Слоана и
компании TIBCO Inc. за всю ту поддержку, которые они оказывали мне на протяжении
последних шести лет.
Спасибо читателям моего блога Shtetl-Optimized (goalma.org) за
многочисленные комментарии к черновым главам, которые я там выкладывал, и за
обнаружение множества ошибок. Я особенно благодарен тем из читателей, которые
предлагали мне превратить этот курс лекций в книгу, – некоторые из них даже обещали
купить ее, когда она выйдет.
Я благодарен тем людям, которые были моими учителями от старших классов школы и
до постдока, – это Крис Линч, Барт Селман, Лав Гровер, Умеш Вазирани и Ави Вигдерсон.
Джон Прескилл не был «формально» моим научным руководителем, но я считаю его
таковым. Всем им я обязан больше, чем могу выразить.
Я также благодарен всем тем в сообществе квантовой информации и теоретической
информатики и за его пределами, дискуссии и споры с которыми на протяжении многих лет
нашли отражение в этой книге. Наверно, я не смогу составить полный список этих людей, но
вот по крайней мере часть: Дорит Ааронов, Андрис Амбайнис, Майкл Бен-Ор, Гарри Бурман,
Рафаэль Буссо, Дейв Бэкон, Майкл Вассар, Джон Ватрус, Дэниел Готтесман, Рональд де
Вольф, Дэвид Дойч, Энди Друкер, Ричард Карп, Эльхам Кашефи, Джулия Кемпе, Ричард
Клив, Грег Куперберг, Шон Кэрролл, Сет Ллойд, Микеле Моска, Майкл Нилсен, Христос
Пападимитриу, Одед Регев, Ленни Сасскинд, Барбара Терхал, Грег Хайтин, Алекс
Халдерман, Робин Хэнсон, Эд Фахри, Крис Фукс, Лен Шульман. Я прошу меня простить за
неизбежные пропуски (а те, кто не хочет увидеть своих имен в этой книге, срочно
сообщите!).
Я благодарен первым читателям, нашедшим ошибки в первом тираже книги. Это Эван
Берковитц, Боб Гейлслут, Эрнест Дэвис, Эндрю Маркс, Крис Мур и Тайлер Сингер-Кларк.
Наконец, я хочу сказать спасибо маме и папе, моему брату Дэвиду и, конечно, моей
жене Дейне, которая наконец-то познакомится со мной в состоянии, когда я не занят
завершением этой чертовой книги.
1. Атомы и пустота
И все же почему Демокрит? Начнем с самого начала: кто такой Демокрит? Какой -то
древнегреческий чувак. Он родился где-то около г. до н. э. в том самом скучном
провинциальном греческом городке под названием Абдера, о котором афиняне говорили, что
сам воздух в нем порождает глупость. Согласно моему источнику, а именно Википедии, он
был учеником Левкиппа. Его называют досократиком, хотя на самом деле он был
современником Сократа. Это дает некоторое представление о том, какое ему при дается
значение: «Ну да, досократики… может, стоит упомянуть о них на первой лекции курса».
Кстати, существует легенда о том, что Демокрит однажды посетил Афины специально для
того, чтобы встретиться с Сократом, но при встрече с ним попросту не осмелился назвать
свое имя.
До нас не дошло почти ничего из трудов Демокрита. Кое-что оставалось еще до
Средних веков включительно, но к настоящему времени оказалось утрачено. Сведения о нем
мы получаем в основном от других философов (к примеру, от Аристотеля), которые
упоминают Демокрита, чтобы покритиковать его.
Что же они критикуют? Демокрит считал, что вся Вселенная состоит из атомов в
пустоте, которые непрерывно движутся по вполне определенным и доступным для
понимания законам. Эти атомы могут сталкиваться друг с другом и отскакивать при
столкновении, а могут слипаться в более крупные объекты. Они могут иметь разный размер,
вес и форму – может быть, некоторые из них представляют собой сферы, некоторые –
цилиндры, а некоторые – еще что-нибудь. С другой стороны, Демокрит утверждает, что
свойства вещей, такие как цвет и вкус, не определяются свойствами атомов, а возникают из
взаимодействия многих атомов. Ибо если бы атомы, образующие океаны, были «синими по
сути своей», то как они могли бы образовывать белую пену на верхушках волн?
Не забывайте, это примерно г. до н. э. До сих пор все очень неплохо.
Почему Демокрит считает, что все вещи сделаны из атомов? Он приводит некоторые
аргументы, один из которых можно сформулировать своими словами так: предположим, у
нас есть яблоко, и предположим, что это яблоко сделано не из атомов, а из чего-то
непрерывного и твердого. Предположим далее, что мы берем нож и разрезаем яблоко на две
части. Ясно, что точки на одной стороне попадут на первый кусок, а точки на другой
стороне – на второй, но как насчет точек, расположенных в точности на границе? Они что,
исчезнут? Или удвоятся? А симметрия нарушится? Ни одна из перечисленных возможностей
не кажется особенно элегантной.
Кстати говоря, ожесточенные споры между атомистами и антиатомистами идут и
сегодня. Обсуждается вопрос о том, действительно ли сами пространство и время состоят
из неделимых атомов на планковских масштабах в 10–33 см или 10–43 с. Опять же у физиков
очень мало экспериментальных данных, на которые можно опереться в этом вопросе, и они,
по существу, находятся в том же положении, в каком был Демокрит лет назад. Если
хотите знать мнение на этот счет невежественного и не слишком информированного
обывателя, то я бы поставил на атомистов. И аргументы, которые я бы при этом использовал,
не полностью отличаются от тех, что использовал Демокрит: они опять же основываются в
основном на неустранимых математических трудностях с континуумом.
9 E. Schrödinger, What is Life? With Mind and Matter and Autobiographical Sketches , Cambridge University Press
(reprinted edition),
квантовой механике всерьез, окажется, что и вы сами должны, по идее, находиться в
суперпозиции разных мест одновременно. В конце концов, вы тоже сделаны из
элементарных частиц, правда? Представьте, в частности, что вы рассматриваете некую
частицу, которая располагается в суперпозиции двух положений – A и B. В этом случае
самое наивное и буквальное прочтение квантовой механики должно было бы предсказать,
что наша Вселенная должна расщепиться на две «ветви»: в одной частица находится в A и
вы ее видите в A, а в другой – частица находится в B и вы, соответственно, видите ее в B! И
что вы думаете: неужели вы действительно расщепляетесь на несколько копий самого себя
всякий раз, когда смотрите на что-то? Я лично не чувствую ничего подобного!
Вас может заинтересовать, как такая безумная теория может быть полезна физикам на
самом что ни на есть практическом уровне. Как вообще она может делать предсказания ,
если утверждает, по существу, что все, что могло бы произойти, действительно происходит?
Ну, я еще не сказал вам, что существует отдельное правило для происходящего в тот момент,
когда вы производите измерение, – внешнее правило, «пристегнутое», так сказать, к самим
уравнениям дополнительно. Это правило, в сущности, гласит, что ваш взгляд на частицу
вынуждает ее принять решение о том, где именно она хочет находиться, и что частица
делает свой выбор вероятностно . Далее, правило говорит вам, как конкретно следует
считать эти вероятности. И, разумеется, расчет прекрасно и убедительно подтверждается.
Но вот проблема: Вселенная живет себе потихоньку, занимаясь своими делами, и как
же нам узнать, когда следует применять это правило измерений, а когда нет? И вообще, что
считать «измерением»? Трудно представить себе, чтобы законы физики говорили: «То-то и
то-то происходит до тех пор, пока кто-нибудь не посмотрит, а затем происходит что-то
совершенно иное!» Предполагается, что законы природы универсальны . Предполагается, что
они описывают человеческие существа точно так же, как сверхновые и квазары: просто как
громадные и сложные совокупности частиц, взаимодействующих по простым правилам.
Таким образом, с точки зрения физики все обстояло бы намного проще и понятнее,
если бы мы могли вообще избавиться от всей этой мороки с «измерениями»! Тогда мы могли
бы сказать, перефразируя Демокрита на сегодняшний лад: не существует ничего, кроме
атомов и пустоты, развивающихся в квантовой суперпозиции.
Но постойте, если мы не суем свой нос с измерениями и ничто не нарушает
первозданной красоты квантовой механики, то как «мы» (что бы это местоимение ни
означало) вообще смогли получить какие-то данные о том, что квантовая механика верно
отражает действительность? Почему мы все дружно поверили в эту теорию, которой,
кажется, очень мешает сам факт нашего существования?
Именно так выглядит современный вариант демокритовой дилеммы, о котором физики
и философы спорят уже почти сотню лет. Признаюсь откровенно: в этой книге мы с вами ее
не разрешим.
И еще одно, чем я не собираюсь заниматься в этой книге: я не стану навязывать вам
какую-то свою любимую «интерпретацию» квантовой механики. Вы вольны придерживаться
той интерпретации, верить которой велит вам ваша совесть. (Каких взглядов придерживаюсь
я сам? Ну, я согласен с каждой интерпретацией в той мере, в какой она утверждает
существование проблемы, и не согласен с ней же в той мере, в какой она утверждает, что
сумела эту проблему разрешить!)
Видите ли, точно так же, как религии можно разделить на монотеистические и
политеистические, интерпретации квантовой механики можно классифицировать по тому, с
какой позиции они подходят к вопросу «о помещении себя самого в когерентную
суперпозицию». С одной стороны, у нас имеются интерпретации, которые с большим
энтузиазмом заметают этот вопрос под ковер: это копенгагенская интерпретация и ее внуки,
байесовская и эпистемологическая интерпретации. В них присутствует, разумеется, и
квантовая система, и измерительное устройство, но обязательно есть линия между ними.
Конечно, линия может сдвигаться и в разных экспериментах занимать разные позиции, но в
каждом эксперименте она непременно имеется. В принципе вы даже можете мысленно
поместить остальных людей на квантовую сторону этой линии, но сами вы всегда остаетесь
на классической стороне. Почему? Потому что квантовое состояние – это всего лишь
представление ваших знаний, а вы, по определению, существо классическое.
Но что, если вам захочется применить квантовую механику ко всей Вселенной
целиком, включая и себя самого? В интерпретациях эпистемологического толка ответ
заключается просто в том, что подобные вопросы задавать не принято! Кстати говоря,
именно в этом заключался любимый философский ход Бора, его убойный аргумент: «Такой
вопрос задавать нельзя!»
На другой стороне у нас интерпретации, которые все же пытаются различными
способами разобраться с проблемой помещения самого себя в суперпозицию: многомировые
интерпретации, механика Бома и т. п.
Упрямым решателям задач, таким как мы, все это может казаться всего лишь великим
спором о словах – почему нас это должно волновать? И я готов с этим согласиться: если бы
это действительно был спор о словах, то разницы не было бы никакой, и нам не стоило бы
об этом беспокоиться! Но как указал в конце х гг. Дэвид Дойч, мы в состоянии
придумать эксперименты, которые позволили бы отличить интерпретации первого и второго
типов. Простейшим экспериментом такого рода было бы поставить себя в состояние
когерентной суперпозиции и посмотреть, что получится! Или, если это слишком опасно,
поставить в положение когерентной суперпозиции кого-нибудь другого . Идея в том, что
если бы человеческие существа регулярно попадали в положение суперпозиции, то вопрос о
проведении линии, отделяющей «классических наблюдателей» от остальной Вселенной,
потерял бы смысл.
Но хорошо, человеческий мозг – это водянистая, рыхлая, неаккуратная штука, и мы,
возможно, не смогли бы поддерживать его в состоянии когерентной суперпозиции на
протяжении миллионов лет. Чем можно заменить этот эксперимент? Ну, мы могли бы
поместить компьютер в состояние суперпозиции. Чем сложнее компьютер – чем сильнее он
напоминает мозг и нас самих, тем дальше мы сможем отодвинуть ту самую «линию» между
квантовым и классическим. Сами видите, от этого до идеи квантовых вычислений остался
всего один крохотный шажок.
Я хотел бы извлечь из всего этого более общий урок. Какой смысл затевать разговор о
философских вопросах? Дело в том, что в дальнейшем мы собираемся довольно активно
заниматься этим – в смысле, пустой философской болтовней. На этот счет существует
стандартный ответ: философия, мол, занимается интеллектуальной расчисткой, это
уборщики, которые приходят вслед за физиками и пытаются навести порядок, разобрав
оставленный ими хлам. Согласно этой концепции, философы сидят в своих креслах и ждут,
чтобы в физике или вообще в науке появилось что-нибудь интересное – квантовая механика,
скажем, или неравенства Белла, или теорема Гёделя; после этого они (приведем метафору с
обратным знаком) слетаются на новинку, как стервятники, и объявляют: ах, вот что это
означает на самом деле .
Ну, на первый взгляд все это кажется каким-то скучным. Но, когда привыкаешь к
подобной работе, мне кажется, обнаруживаешь, что это… все равно скучно!
Лично меня интересует в первую очередь результат – поиск решений нетривиальных,
хорошо определенных и еще нерешенных задач. Какова же здесь роль философии? Мне бы
хотелось предложить для философии более интересную и возвышенную роль, чем роль
интеллектуального дворника: философия может быть разведчиком . Она может быть
исследователем-первопроходцем – наносить на карту интеллектуальный ландшафт, который
позже будет обживать физика. Далеко не все области естественных наук были заранее
обследованы философией, но некоторые были. А в недавней истории, мне кажется,
квантовые вычисления могут послужить эталонным примером. Замечательно, конечно,
говорить людям: «Заткнитесь и считайте», но вопрос в том, что именно им следует считать.
По крайней мере, в квантовых вычислениях (моя специальность) то, что мы любим
считать, – емкость квантовых каналов, вероятности ошибок в квантовых алгоритмах – это
такие вещи, которые никому в голову не пришло бы считать, если бы не философия.
2. Множества
Здесь мы будем говорить о множествах. Что будут содержать эти множества? Другие
множества! Как куча картонных коробок, открыв которые, обнаруживаешь внутри
только новыекартонные коробки, и так далее, до самого дна.
Вы можете спросить: «Какое отношение все это имеет к книге о квантовых вычислениях?»
Ну, будем надеяться, что кое-какие ответы на этот вопрос мы увидим чуть позже. Пока же
достаточно сказать, что математика есть основа всякой человеческой мысли, а теория множеств
— счетных, несчетных и др. — основа математики. Так что неважно, о чем у нас книга, в любом
случае множества — прекрасная тема для начала.
Мне, вероятно, следует без обиняков сказать вам, что я собираюсь втиснуть весь курс
математики в эту одну главу. С одной стороны, это означает, что я не рассчитываю всерьез, что
вы все поймете. С другой стороны, в той мере, в какой поймете, — замечательно! Вы получаете
целый курс математики в одной главе! Добро пожаловать.
Итак, начнем с пустого множества и посмотрим, как далеко нам удастся пройти.
Пустое множество
Вопросы есть?
На самом деле, прежде чем говорить о множествах, нам необходимо обзавестись языком для
разговора о множествах. Язык, который придумали для этого Фреге, Рассел и другие,
называется логикой первого порядка. Он включает в себя булевы функции (и, или, не), знак
равенства, скобки, переменные, предикаты, кванторы («существует» и «для любого »[10]) — и,
пожалуй, все. Говорят, что физики испытывают со всем этим сложности… Эй, потише, я просто
пошутил. Если вы прежде не встречались с таким способом мышления, значит, не встречались,
ничего страшного в этом нет. Но давайте все же пойдем навстречу физикам и пробежимся по
основным правилам логики.
Правила логики первого порядка
Все правила здесь говорят о том, как составлять предложения, чтобы они были корректны —
что, говоря по-простому, означает «тавтологически истинны» (верны для всех возможных
подстановок переменных)[11], но что мы пока можем представить просто как комбинаторное
свойство определенных символьных строк. Я буду печатать логические предложения другим
шрифтом, чтобы их было легко отличить от окружающего текста.
Исключение квантора: если для всех x A (x) истинно, то A (y) истинно для любого y.
Добавление квантора: если истинно A (y), где y — переменная без ограничений, то для
всех x, A (x) истинно.
Каждое целое число имеет не более одного предшественника: для любых x, y если S(x) =
S(y), то x = y.
Сами неотрицательные целые числа называют моделью этих аксиом: в логике слово «модель»
означает всего лишь любой набор объектов и функций этих объектов, удовлетворяющий
условиям аксиом. Интересно, однако, что точно так же, как аксиомам теории групп
удовлетворяет множество разных групп, так и неотрицательные целые числа — не единственная
модель аксиом Пеано. К примеру, вы можете убедиться, что добавление к этой модели
дополнительных искусственных целых чисел, недостижимых от 0, — чисел, лежащих «за
бесконечностью», так сказать, — даст нам еще одну полноценную модель. При этом, как только
вы добавите к модели одно такое целое число, вам придется добавить их бесконечно много,
поскольку у каждого целого числа должно быть число, непосредственно за ним следующее.
Кажется, что, записывая эти аксиомы, мы занимаемся бессмысленной казуистикой, — и в
самом деле, здесь возникает очевидная проблема курицы и яйца. Как можем мы формулировать
аксиомы, которые подведут под целые числа более прочный фундамент, если сами символы и
вообще все, что мы используем для записи этих аксиом, подразумевает, что мы уже знаем, что
такое целые числа?
Так вот, именно поэтому я и не считаю, что аксиомы и формальную логику можно
использовать для подведения под арифметику более надежного фундамента. Если вы почему-то
не согласны с тем, что 1 + 1 = 2, то сколько ни изучай математическую логику, понятнее это не
станет! Тем не менее все эти штучки безумно интересны не менее чем по трем причинам.
Аксиома объемности: если в два множества входят одни и те же члены, то эти множества
равны. То есть для любых x и y если (z ∈ x тогда и только тогда, когда z ∈ y для
любого z), то x = y.
Аксиома пары: для любых множеств x и y существует множество z = {x, y}, то есть
множество z, такое, что для любого w w ∈ z тогда и только тогда, когда (w = x или w = y).
Аксиома замены (на самом деле бесконечное число аксиом, по одной для каждой
функции A, устанавливающей соответствие одних множеств другим): для любого
множества xсуществует множество z = {A(y)
казино с бесплатным фрибетом Игровой автомат Won Won Rich играть бесплатно ᐈ Игровой Автомат Big Panda Играть Онлайн Бесплатно Amatic™ играть онлайн бесплатно 3 лет Игровой автомат Yamato играть бесплатно рекламе казино vulkan игровые автоматы бесплатно игры онлайн казино на деньги Treasure Island игровой автомат Quickspin казино калигула гта са фото вабанк казино отзывы казино фрэнк синатра slottica казино бездепозитный бонус отзывы мопс казино большое казино монтекарло вкладка с реклама казино вулкан в хроме биткоин казино 999 вулкан россия казино гаминатор игровые автоматы бесплатно лицензионное казино как проверить подлинность CandyLicious игровой автомат Gameplay Interactive Безкоштовний ігровий автомат Just Jewels Deluxe как использовать на 888 poker ставку на казино почему закрывают онлайн казино Игровой автомат Prohibition играть бесплатно