8 Sınıf Denklem Sistemleri Konu Anlatımı
8. Sınıf Doğrusal Denklemler: Doğrusal Denklemler Konu Anlatımı, Örnek Alıştırmalar Ve Etkinlikler!
8. Sınıf Doğrusal Denklemler
Doğrusal denklemler, birinci dereceden denklemlerdir. Bu denklemler koordinat sistemindeki çizgiler için tanımlanmıştır.
Doğrusal denklemler aynı zamanda birinci derece denklemlerdir, çünkü 1 olarak en yüksek değişken üssüne sahiptir.
Örnekler:
2x - 3 = 0,
2y = 8
m + 1 = 0,
x / 2 = 3
x + y = 2
3x - y + z = 3
Denklem homojen bir değişkene (yani yalnızca bir değişken) sahip olduğunda, bu tür bir denklem tek değişkenli bir Doğrusal denklem olarak bilinir. Farklı bir deyişle, sıfır ile katsayıların elde edildiği herhangi bir alan üzerindeki doğrusal bir polinomla ilişkilendirilerek bir çizgi denklemi elde edilir.
Doğrusal Denklemler Konu Anlatımı
Doğrusal denklemlerin çözümleri, bilinmeyen değerlerle değiştirildiğinde denklemi doğru kılan değerler üretecektir. Tek değişken durumunda, x + 2 = 0 gibi tek bir çözüm vardır. Ancak iki değişkenli doğrusal denklem durumunda, çözümler Öklid düzleminin bir noktasının Kartezyen koordinatları olarak hesaplanır.
Doğrusal denklem tanımı ve örneği nedir? En fazla 1 olan bir Denklem, Doğrusal denklem olarak bilinir.
Düz bir çizginin denklemi şu şekilde verilir:
y = mx + b
M, çizginin eğimidir,
b y kesme noktasıdır
x ve y, sırasıyla x ekseni ve y ekseninin koordinatlarıdır.
Düz bir çizgi x eksenine paralelse, x koordinatı sıfıra eşit olacaktır. Bu nedenle,
y = b
Çizgi y eksenine paralelse y koordinatı sıfır olacaktır.
mx + b = 0
x = -b / m
Eğim: Doğrunun eğimi, y koordinatlarındaki değişimin ve x koordinatlarındaki değişimin oranına eşittir. Şu şekilde değerlendirilebilir:
m = (y 2 - y 1 ) / (x 2 -x 1 )
Bir doğrunun eğimi iki şeyi anlatır: doğrunun y eksenine göre ne kadar dik olduğu ve ona soldan sağa baktığınızda çizginin yukarı mı yoksa aşağı mı eğimli olduğu. Verileri çizerken, eğim size bağımlı değişkenin bağımsız değişkendeki değişime göre değişme oranını söyler.
Standart Doğrusal Denklem Formülü
Doğrusal denklemler, sabitlerin ve değişkenlerin birleşimidir.
Bir değişkendeki doğrusal denklemin standart biçimi, ax + b = 0 olarak temsil edilir, burada, a ≠ 0 ve x değişkendir.
İki değişkenli bir doğrusal denklemin standart biçimi şu şekilde temsil edilir:
ax + by + c = 0, burada, a ≠ 0, b ≠ 0, x ve y değişkenlerdir.
Üç değişkenli bir doğrusal denklemin standart biçimi şu şekilde temsil edilir:
ax + by + cz + d = 0 burada a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, x, y, z değişkenlerdir.
2 değişkenin değerlerini bulmak için 2 denklem seti seçmeliyiz. Ax + by + c = 0 ve dx + ey + f = 0 gibi, x ve y'nin iki değişken ve a, b, c, d, e, f'nin sabit olduğu iki değişkenli bir denklem sistemi olarak da adlandırılır, ve a, b, d ve e sıfır değildir. Aksi takdirde, tek denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır.
Doğrusal ve doğrusal olmayan denklemler arasındaki fark nedir?
Doğrusal denklem, düz çizgiler içindir.
Doğrusal olmayan bir denklem düz bir çizgi oluşturmaz. Değişken eğim değerine sahip bir eğri olabilir.
Doğrusal Denklemlerle İlgili Örnek Alıştırmalar ve Etkinlikler
Örnek 1:
x = 12 (x +2) 'yi çözün
Çözüm:
x = 12 (x + 1)
x = 12x + 12
Her iki taraftan 24 çıkarın
x - 12 = 12x + 12 - 12
x - 12 = 12x
11x = -12
Her iki tarafı 11'e bölerek x'i yalnız bırakın
11x / 11 = -12/11
x = -12/11
Örnek 2:
x - y = 12 ve 2x + y = 22'yi çözün
Çözüm:
Denklemleri adlandırın
x - y = 12 ———- (1)
2x + y = 22 ———- (2)
X için Denklemi yaz (1),
x = y + 12
(2) denklemindeki x yerine y + 12'yi koyun
2 (y + 12) + y = 22
3y + 24 = 22
3y = -2
veya
y = -2/3
X = y + 12'de y'nin değerini değiştirin
x = y + 12
x = -2/3 + 12
x = 34/3
Cevap: x = 34/3 ve y = -2/3
Denklem Sistemleri (8. Sınıf)
İki farklı büyüklük arasındaki iki farklı ilişkiyi anlatan doğrusal denklem çiftine doğrusal denklem sistemi denir. İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemlerinin çözümünde, yerine koyma veya yok etme yöntemleri kullanılabilir veya doğruların grafiklerinden de faydalanılabilir.
İKİ BİLİNMEYENLİ DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ
Bir pastanede pazar günü meyveli ve çikolatalı olmak üzere toplam 13 tane pasta satılmıştır. Meyveli pastanın tanesi 25 TL, çikolatalı pastanın tanesi 40 TL’dir. Pastane bu iki pasta satışından 460 TL kazandığına göre, kaçar tane meyveli ve çikolatalı pasta satıldığını bulalım.
Problemde verilenlere uygun denklemleri yazalım.
Satılan meyveli pasta sayısı x, satılan çikolatalı pasta sayısı y olsun. Bu durumda aşağıdaki denklemler yazılır.
x + y = 13
25x + 40y = 460
Yazdığımız iki denklem doğrusal denklem sistemi oluşturur. Doğrusal denklem sistemlerinin çözümünde yerine koyma veya yok etme yöntemi kullanılır.
Doğrusal denklem sisteminin çözümü olan (x, y) sıralı ikilisi her iki denklemi de sağlamalıdır. Oluşturduğumuz doğrusal denklem sistemini iki yöntemle de çözelim.
Yerine koyma yönteminde; doğrusal denklemlerden herhangi biri kullanılarak bilinmeyenlerden biri diğeri cinsinden yazılır, Diğeri cinsinden elde edilen cebirsel ifade, kullanılmayan diğer doğrusal denklemde yerine yazılarak bir bilinmeyenli denklem elde edilir. Elde edilen bir bilinmeyenli denklem çözülerek bilinmeyenlerden birinin değeri bulunur. Bulunan bilinmeyenin değeri doğrusal denklemlerden herhangi birinde yerine yazılarak diğer bilinmeyenin değeri bulunur.
Yok etme yönteminde; doğrusal denklem sisteminde bilinmeyenlerden en az birinin kat sayılarının toplama işlemine göre birbirinin tersi olup olmadığına bakılır. İki bilinmeyenin de kat sayıları farklı ise bilinmeyenlerden biri seçilerek kat sayıları, eşitliğin her iki tarafı aynı sayı ile çarpılarak veya bölünerek toplama işlemine göre birbirinin tersi olması sağlanır. Kat sayıları düzenlenen doğrusal denklemler taraf tarafa toplanarak bilinmeyenlerden biri yok edilip bir bilinmeyenli denklem elde edilir. Elde edilen bir bilinmeyenli denklem çözülür. Bulunan bilinmeyenin değeri denklemlerden herhangi birinde yerine yazılarak diğer bilinmeyenin değeri bulunur
DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN GRAFİKLERİ
Ayşe ve Berna performans ödevlerini yapmak için kütüphanede buluşacaklardır. İkisi de kütüphaneye bisikletleriyle gitmişlerdir. İkisi bisikletleriyle toplam 5 km yol almışlardır. Berna, Ayşe’den 3 km daha fazla yol aldığına göre, ikisinin aldıkları yolları bulalım.
Bunun için problemde verilen durumlara uygun denklemleri yazalım. Berna’nın aldığı yol x km, Ayşe’nin aldığı yol y km o
Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Denklem sistemleri konusunu öğreneceğiz.
a, b, c ∈ R , a ≠ 0, b ≠ 0 olmak üzere ax + by = c eşitliği bir denklemdir. x ve y bilinmeyenlerinin her ikisinin üssü de 1 olduğundan bu denklem birinci derecedendir. Ayrıca denklemde, x ve y gibi iki bilinmeyen bulunduğundan denklem iki bilinmeyenlidir.
Bu tür denklemlere “birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler”denir. İki bilinmeyenli denklemde bilinmeyen
değerleri bulabilmek için iki denkleme ihtiyaç vardır. Bu iki denkleme “iki bilinmeyenli denklem sistemi” denir.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için kullanılan yollardan biri “yok etme metodu”dur. Yok etme metodu, bilinmeyenlerin, bilinmeyenlerden birinin yok edilmesiyle bulunmasıdır.
1. Bir eşitliğin iki yanı aynı gerçek sayıyla çarpılırsa ya da bölünürse eşitlik bozulmaz.
2. İki eşitlik taraf tarafa toplanırsa yeni bir eşitlik elde edilir.
Yukarıdaki düzenlemeler bilinmeyenlerden biri yok edilecek şekilde yapılmalıdır.
Bu iki özellikten yararlanılarak birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin ortak çözümü bulunur.
2x + y = 2
x — y = 4
Denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisini bulalım.
Denklemleri taraf tarafa toplarsak x’e göre bir bilinmeyenli bir denklem elde edilir.
x’in değerini, verilen denklemlerden birinde yerine yazarsak diğer bilinmeyeni de bulabiliriz.
x = 2 değerini 2x + y = 2 denkleminde yerine yazalım:
2 . 2 + y = 2
4 + y = 2
y = — 2 olur.
*** İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için kullanılan yollardan biri de “yerine koyma metodu”dur. Bu metotta önce bilinmeyenlerden biri, diğeri cinsiden bulunur ve diğer denklemde yerine koyularak birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem elde edilir. Bu denklem çözülür sonra diğer bilinmeyen bulunur.
2x + y = 16
-3x + y = -9
denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisini yerine koyma metodundan yararlanarak
bulalım.
2x + y = 16 denkleminde y’yi çekelim, 2. denklemde yerine yazalım.
2x + y = 16 ise y = 16 — 2x’dir.
– 3x + y = — 9 (ikinci denklem)
– 3x + (16 — 2x) = — 9
– 5x + 16 = — 9 ise — 5x = — 25 ve x = 5’tir.
Birinci denklemde x değerini yerine yazarak y değerini bulalım.
2x + y = 16
2 . 5 + y = 16 ise y = 6’dır. Denklem sistemini (5, 6) sıralı ikilisi sağlar.
Doğrusal Denklem Sistemlerini Grafik Kullanarak Çözme
Doğrusal denklem sistemini oluşturan doğruların grafiklerinin kesim noktası, denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisini yani denklemin çözümünü verir.
x — y = 5
x + y = 1
denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisini cebirsel yöntemle ve grafik kullanarak
bulalım.
(x, y) sıralı ikilisini cebirsel yöntemlerden yok etme metodu ile bulalım;
x değerini (1) denkleminde yerine yazarsak;
3 — y = 5
y = 3 — 5
y = -2 bulunur. Sistemi sağlayan (x,y) sıralı ikilisi (3,-2)’dir. Denklemleri verilen doğruları, aynı koordinat sisteminde çizelim;
(1) x — y = 5 denkleminde,
x = 0 için y = -5
y = 0 için x = 5 olur.
(2)
x + y = 1 denkleminde,
x = 0 için y = 1
y = 0 için x = 1 olur.
(1) ve (2) denklemleriyle verilen doğruların kesim noktası olan A’dan koordinat eksenlerine dikmeler inerek A noktasının apsisinin 3 ve ordinatının — 2 olduğunu buluruz.
A(3, — 2) olur.
Verilen iki bilinmeyenli denklem sistemini sağlayan x ve y değerleri x = 3 ve y = — 2’dir.
x Denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisi (3, — 2)’dir
Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.
8. Sınıf Matematik Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler konu anlatımı
Örnek: y=4x-3 denkleminde x=2 ve x=-1 değeri için y'nin alacağı değerler toplamını bulunuz.
x=2 için x yerine 2 sayısı yazılır ve y bulunur.
y=4.2-3 -> y=5 çıkar
x=-1 için x yerine -1 sayısı yazılır ve y bulunur.
y=4.-1-3 -> y=-4-3=-7 bulunur.
Soruda y değerlerinin toplamı istendiği için =-7+5=-2 sonucu çıkar.
Örnek: A(2,a) noktası 4x-2y=6doğrusal denkleminin grafiği üzerinde bulunmaktadır. Buna göre a sayısı kaçtır?
Bu soruda x yerine 2 sayısı yazılır ve y yerine de a sayısı yazılır. Buna göre denklem şu şekilde olur;
4.2-2a=6
8-2a=6
2a=2 a=1 bulunur.
Koordinat Sistemi Nedir?
Koordinat sistemi biri dikey biri yatay olan iki sayı doğrusunun 0 noktasında dik bir şekilde kesişmesine denmektedir.
Bu iki sayı doğrusunun kesişmiş olduğu 0 noktası koordinat sisteminin başlangıç noktası olarak isimlendirilmektedir. Bir diğer ismi ise orijindir.
Koordinat sistemine bakıldığı zaman yatay olan sayı doğrusu x ekseni olarak adlandırılmaktadır. Dikey olarak duran sayı doğrusu yani eksen y ekseni olarak adlandırılmaktadır. Koordinat sistemi üzerindeki noktalar (x, y) şeklinde sıralı ikili olarak gösterilir. Birinci bileşen x olarak ifade edilir, ikinci bileşen de y olarak ifade edilmektedir. Koordinat sistemi üzerinde 4 farklı bölge bulunmaktadır. Sıralı ikililer bulundukları bölgeye işaret alırlar.
Önemli Not: Sıralı ikililerden bir tanesi 0 ise o zaman o nokta eksen üzerinde yer alır. Bölgelerden herhangi birine dahil değildir.
Koordinat Sisteminde Doğrusal İlişkiler
a ile b reel sayılar ise x ile y de değişkenler ise y=ax + b ya da y=ax + by + c şeklinde yazılan denklemler doğrusal denklem ismi ile adlandırılmaktadır.
Önemli Not: Doğrusal ilişki içerisinde değişkenlere bağlı bulunmayan değişkene bağımsız değişken ismi verilir. Bağımsız değişkene bağlı değişken ise bağımlı değişken olarak isimlendirilir.
Örnek: Dolu olan bir havuz hızı sabit olacak bir şekilde boşaltıldığı zaman havuzda kalan su miktarı ile geçen süre arasındaki ilişkinin bağımlı mı ya da bağımsız mı olduğunu sebebi ile birlikte anlatınız.
Zaman ilerledikçe havuzdaki su miktarı da azalır. İlerleyen süren bir niceliğe bağlı olmaması sebebi ile bağımsız değişken olarak adlandırılır. Ancak havuzdaki su miktarı ilerleyen süreye bağlıdır. Bu nedenle bağımlı değişken olarak isimlendirilmektedir.
Örnek: Hızı sabit bir şekilde ilerleyen otomobilin gittiği yol ile harcamış olduğu benzin miktarı arasındaki ilişkinin bağımlı mı yoksa bağımsız mı olduğunu sebebi iler birlikte anlatınız.
Araç ilerledikçe gittiği yol da artmaktadır. Buna bağlı olarak da kullanmış olduğu benzin de artmaktadır. Bu sebeple otomobilin gittiği yol bir niceliğe bağlı olmadığı için bağımsız değişkendir. Ancak benzinin harcanma oranı gidilen yola bağlıdır. Bu sebeple benzin miktarı bağımlı değişkendir.