Diferansiyel Denklemler Başlangıç Değer Problemi Çözümü

x − x0 kaynağı değiştir]

Diferansiyel denklemler temel olarak iki kola ayrılırlar:

1. Normal diferansiyel denklemler (veya adi diferansiyel denklemler)
2. Kısmi diferansiyel denklemler .

Diferansiyel denklemler bilinmeyenlerin birbirleri ve katsayılarla ilgili konumlarına göre: Doğrusal diferansiyel denklemler, Doğrusal olmayan diferansiyel denklemler olarak da gruplanmaktadır. Doğrusal denklemlerin teorisi gelişmiş olmasına rağmen doğrusal olmayan denklemlerin keyfiyet analizi zordur ve bazen mümkün değildir. Bu durumlarda sayısal analiz teknikleri uygulanır.

Kısmi diferansiyel denklemler, katsayıların durumlarına ve zamana ait türevin mevcudiyetine göre

1. Eliptik diferansiyel denklemler
2. Parabolik diferansiyel denklemler
3. Hiperbolik diferansiyel denklemler şeklinde alt gruplara ayrılırlar.

Son iki tip denklem, zamana ait türevin mevcudiyetinden ötürü evrimsel olarak isimlendirilir.

Modern uygulamaların zorlaması ile ortaya çıkan:

1. Stokastik diferansiyel denklemler
2. Gecikmeli diferansiyel denklemler

tiplerindeki denklemler yukardakilerden farklı olarak değerlendirilebilirler.

Sabit ortamlarda denklemler verilere göre:

1. Başlangıç değer
2. Sınır değer

şeklinde sınıflandırılırlar. Sabit olmayan bir ortamda tanımlı denklemlere Serbest sınır değer problemleri veya Hareketli sınır değer problemleri denir.

Birçok denklemden oluşan ilişkilere denklem sistemi adı verilir.

Diferansiyel Denklemlerin Tarihi[değiştir ≤ h aralığında tanımlı ve x = x0 değerini aldığında y0 değerini alan bir ve yalnız bir φ çözümünün varlığını garanti etmektedir. Yani f (x, y) üzerine konan şartlar altında ( dy dx = f (x, y) y(x0 ) = y0 başlangıç değer problemi’nin, x0 başlangıç noktasının bir komşuluğunda tanımlı bir tek çözümü vardır. (d) Teoremin ispat’ı burada verilmemektedir. Onu daha az kısıtla- yıcı şartlar altında Bölüm’de ispatlayacağız. Burada hipotezdeki şartların yeterli ama gerekli olmadığını söylemekle yetinelim. Yani bu şartların sağlanması bize, hüküm cümlesinde söylenenleri garanti eder; ancak, hipozdeki şartların hepsi yerine gelmediği halde bir tek çözüme sahip olmamız mümkündür. Bunu Bölüm’de ayrıntısıyla ele alacağız. İncelemesini ileriye bıraktığımız bir başka şey de, hüküm cümlesinde geçen h. Şimdilik onun sadece ”yeteri kadar küçük” bir pozitif sayı olduğunu söylemekle yetinelim. (e) Bir varlık teoremin kıymet’i, onu üzerinde biraz daha durul- maya değer yapar. Madem çözümü nasıl bulacağımızı bize söylemiyor, o halde ne yararı var? diye sorulabilir. Bu sorunun cevabı kolaydır: varlık teoremi bize aranacak bir çözümün var olduğunu haber verir. Problemin çözümü yoksa, onu bulmak için harcanacak emek, zaman ve para yabana gidecek demektir. Teklik teoreminin faydasına gelince: daha sonra başka çözümler de bulunduğunu ve daha önce bulduğumuz çözümün bizim istediğimiz olmadığını farkettiğimizde, bu özel çözümü bulmak için harcadığımız emek, zaman ve para yine yabana gitmiş ola- caktır. Bu biraz lüzumundan uzun gibi görünen tartışmayı, bundan önce bu türden teoremlerle karşılaşmadığını düşündüğümüz okuyucunun, bu önemli teoremin gerçekten ne ifade ettiği konusunda daha kesin bir fikir sahibi olmasını sağlamak için verdik. Bu tartışmanın ona, daha 26 BÖLÜM 1. DENKLEMLER VE ÇÖZÜMLER sonra bu kitapta veya başka yerlerde karşılaşacağı bu tür teoremleri in- celemesinde yardımcı olacağını umuyoruz. şimdi Teorem ’in uygu- lanışını gösteren iki örnek vereceğiz. Örnek ( dy dx = x2 + y 2 y(1) = 3 Başlangıç değer problemini ele alalım. Bu denkleme Teorem ’i uygu- layalım. Önce hipotez’i kontrol edeceğiz. Burada f (x, y) = x2 + y 2 ve ∂f (x,y) ∂y = 2y olmaktadır. f ve ∂f ∂y , xy-düzleminin her D bölgesinde süreklidir. y(1) = 3 başlangıç koşulu x0 = 1, y0 = 3 anlamına gelir ve (1, 3) noktası kuşkusuz böyle bir D bölgesi içindedir. Böylece hipotez dy yerine gelir ve hükümde garanti edilenleri bekleriz. Yani dx = x2 + y 2 diferansiyel denkleminin, x0 = 1 noktası etrafındaki bir

nest...

161712 161713 161714 161715 161716