Önermelerin Değilleri

önermelerin değilleri

kaynağı değiştir]

Önermeler

Doğruluğu ya da yanlışlığı kesin olan bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler genellikle $ p $, $ q $, $ r $, $ s $, $ t $ gibi küçük harflerle gösterilir.

Bir önermenin tek bir doğruluk değeri vardır, buna göre bir önerme ya doğrudur ya da yanlıştır. Bir önerme aynı anda hem doğru hem yanlış, ne doğru ne yanlış, ya da kısmen doğru kısmen yanlış olamaz. Bir ifadenin önerme olabilmesi için kesin hüküm bildirmesi ve ifadenin doğruluğu veya yanlışlığı konusunda herkesin hemfikir olması gerekir.

Soru, emir ve ünlem cümleleri önerme değildir.

İfade	Önerme?	Açıklama
Manisa güzel bir şehirdir.	Önerme değil	Herkes Manisa'nın güzel olduğu konusunda hemfikir olmayabileceği için kesin hüküm belirtmez.
Ali'nin boyu 1.85m'dir.	Önerme	Ali'nin boyunun 1.85m olup olmadığını ölçerek belirleyebileceğimiz için kesin hüküm belirtir.
$ 2 + 2 = 5 $	Önerme	İfadenin yanlışlığı kesin olduğu için bir önermedir.
$ x \lt 5 $	Önerme değil	$ x $'in değerini bilmediğimiz için ifadenin doğruluğu/yanlışlığını belirleyemeyiz.
Kapıyı kapat.	Önerme değil	Bir emir cümlesi olarak doğruluk/yanlışlık belirten bir ifade değildir.

SORU 1:

Aşağıdakilerden hangisi bir önermedir?

(a) Hiçbir şey beklediğim gibi olmadı.

(b) Sorularıma cevap vermelisin.

(d) Herkes birbirine yardımcı olsun.

(e) Karbon bir element değildir.

Çözümü Göster

Doğruluğu ya da yanlışlığı kesin olan bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir.

Buna göre (a), (b), (c) ve (d) şıkları kesin bir hüküm bildirmediği için önerme değildir.

(e) şıkkındaki ifade yanlış olsa da kesin bir hüküm bildirdiği için önermedir.

Soru sorun Soruda hata bildirin

Bir Önermenin Doğruluk Değeri

Bir önerme doğru ise doğruluk değeri "1" veya "D" ile, yanlış ise "0" veya "Y" ile gösterilir.

Bir önermenin doğruluk değeri $ \equiv $ işareti ile gösterilir.

$ p $ önermesi doğru ise, $ p \equiv 1 $ şeklinde yazılır ve "p denktir 1'e" şeklinde okunur.

$ p $ önermesi yanlış ise, $ p \equiv 0 $ şeklinde yazılır ve "p denktir 0'a" şeklinde okunur.

ÖRNEK:

$ p $: "Ay dünyanın uydusudur."

$ q $: "1 kilometre 100 metredir."

$ p \equiv 1 $

$ q \equiv 0 $

SORU 2:

$ p $: "$ a \cdot b = 0 $ ise $ a $ ve $ b $'den sadece biri 0 olabilir."

$ q $: "$ a = -b $ ise $ a $ ve $ b $ eşit olamaz."

$ r $: "$ a \gt b $ ise $ -a \lt -b $ olur."

Yukarıdaki önermelerin doğruluk değerleri nedir?

Çözümü Göster

Bir önerme doğru ise doğruluk değeri "1" veya "D" ile, yanlış ise "0" veya "Y" ile gösterilir.

$ a \cdot b = 0 $ ise sayıların ikisi de 0 olabilir, dolayısıyla $ p $ önermesi yanlıştır.

$ a = -b $ ise sayılar 0 ve eşit olabilir, dolayısıyla $ q $ önermesi yanlıştır.

Eşitsizlik işlem özelliklerine göre $ r $ önermesi doğrudur.

Buna göre üç önermenin doğruluk değerleri aşağıdaki gibi olur.

$ p \equiv 0, \quad q \equiv 0, \quad r \equiv 1 $

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 3:

$ p $: "1'in toplamaya ve çarpmaya göre tersi aynıdır."

$ q $: "$ x \in \mathbb{Z^+} $ ise $ 0 \lt \dfrac{1}{x} \le 1 $ olur."

$ r $: "-2 asal sayıdır."

Yukarıdaki önermelerden hangilerinin doğruluk değeri 0'dır?

Çözümü Göster

Bir önerme doğru ise doğruluk değeri "1" veya "D" ile, yanlış ise "0" veya "Y" ile gösterilir.

Bir $ a $ reel sayısının toplamaya göre tersi $ -a $, çarpmaya göre tersi $ \frac{1}{a} $'dır. Buna göre 1'in toplamaya göre tersi -1, çarpmaya göre tersi 1'dir, dolayısıyla $ p $ önermesinin doğruluk değeri 0'dır.

$ q $ önermesinin doğruluk değeri 1'dir.

Negatif sayılarda asallığa bakılmaz. $ r $ önermesinin doğruluk değeri 0'dır.

Buna göre $ p $ ve $ r $ önermelerinin doğruluk değeri 0'dır.

Soru sorun Soruda hata bildirin

Doğruluk Tablosu

Bir önermenin tüm olası doğruluk değerlerinin listelendiği tabloya doğruluk tablosu denir.

Bir $ p $ önermesinin doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir. Tek bir önerme olarak $ p $'nin 2 olası değeri olabileceği için (doğru ve yanlış), $ p $'nin doğruluk tablosu iki satırdan oluşmaktadır.

Denk Önermeler

Doğruluk değerleri aynı (ikisi de doğru ya da ikisi de yanlış) olan önermelere denk önermeler denir.

$ p $ ve $ q $ birbirine denk önermeler ise: $ p \equiv q $

$ p $ ve $ q $ birbirine denk önermeler değil ise: $ p \not\equiv q $

ÖRNEK:

$ p $: Pi sayısı 3 ve 4 arasındadır.

$ q $: Bir üçgenin iç açıları toplamı 180°'dir.

$ r $: Paralelkenarın 5 kenarı vardır.

$ p \equiv q \equiv 1 $

$ r \equiv 0 $

$ p \not\equiv r $

Bir Önermenin Değili (Olumsuzu)

Bir önermenin hükmünün değiştirilmesiyle elde edilen yeni önermeye bu önermenin değili ya da olumsuzu denir. Bir önerme doğru ise değili yanlış, yanlış ise değili doğrudur. $ p $ önermesinin değili $ p' $, $ \sim p $ ya da $ \lnot p $ ile gösterilir.

Aşağıdaki tabloda $ p $ önermesinin ve değilinin doğruluk tablosu verilmiştir.

$ p $	$ p' $
$ 1 $	$ 0 $
$ 0 $	$ 1 $

Bir önermenin değilinin değili kendisidir.

$ (p')' \equiv p $

İSPATI GÖSTER

Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde ettiğimizi, dolayısıyla bir önermenin değilinin değilinin kendisine denk olduğunu söyleyebiliriz.

$ p $	$ p' $	$ (p')' $
$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $
$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $

İspatta hata bildirin

Matematiksel eşitlik ya da eşitsizlikler, işaretleri aşağıdaki gibi değiştirilerek olumsuz hale getirilir.

İşaret	Değili
$ a = b $	$ a \ne b $
$ a \ne b $	$ a = b $
$ a \gt b $	$ a \le b $
$ a \ge b $	$ a \lt b $
$ a \lt b $	$ a \ge b $
$ a \le b $	$ a \gt b $

Bir önermenin değilini alırken cümlenin sonuna "değildir" ifadesi getirmek yeterlidir.

Önerme ve Değili	Notlar
\( p \): Türkiye'nin başkenti İstanbul'dur. \( p' \): Türkiye'nin başkenti İstanbul değildir.	Önermenin değili "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." değildir, çünkü Ankara İstanbul dışındaki tüm olasılıkları kapsamamaktadır. Ayrıca bir önermenin değilinin değili kendisine denk olmalıdır, "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." önermesinin değili "Türkiye'nin başkenti İstanbul'dur." önermesi olamaz.
\( q \): Karenin iç açıları toplamı 180°'dir. \( q' \): Karenin iç açıları toplamı 180° değildir.	Önermenin değili "Karenin iç açıları toplamı 360°'dir." değildir.

Önerme ve Değili

Notlar

$ p $: Türkiye'nin başkenti İstanbul'dur.

$ p' $: Türkiye'nin başkenti İstanbul değildir.

Önermenin değili "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." değildir, çünkü Ankara İstanbul dışındaki tüm olasılıkları kapsamamaktadır. Ayrıca bir önermenin değilinin değili kendisine denk olmalıdır, "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." önermesinin değili "Türkiye'nin başkenti İstanbul'dur." önermesi olamaz.

$ q $: Karenin iç açıları toplamı 180°'dir.

$ q' $: Karenin iç açıları toplamı 180° değildir.

Önermenin değili "Karenin iç açıları toplamı 360°'dir." değildir.

SORU 4:

Aşağıdaki önermelerden hangileri birbirine denktir?

$ p $: 6! sayısı 30 ile tam bölünür.

$ q $: Tüm doğal sayılar pozitiftir.

$ r $: 8 tam kare bir sayıdır.

Çözümü Göster

Bir önerme doğru ise doğruluk değeri "1", yanlış ise "0" ile gösterilir.

$ 6! $ ifadesi 30'un asal çarpanları olan 2, 3 ve 5 sayılarını içerdiği için $ p $ önermesinin doğruluk değeri 1'dir.

Bir doğal sayı olan 0 pozitif olmadığı için $ q $ önermesinin doğruluk değeri 0'dır.

8 bir tam sayının karesi olmadığı için $ r $ önermesinin doğruluk değeri 0'dır.

Buna göre $ q $ ve $ r $ önermeleri birbirine denktir ve 0'dır.

$ q \equiv r \equiv 0 $

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 5:

$ p $, $ q' $ ve $ r' $ önermeleri birbirine denk olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

(a) $ p' \equiv r' $

(b) $ (p')' \equiv q $

(d) $ (p')' \equiv r $

(e) $ p' \equiv q' $

Çözümü Göster

$ p \equiv r' $ olduğu için $ p' \equiv r' $ doğru olamaz. (a) şıkkı yanlıştır.

$ p \equiv q' $ olduğu için $ (p')' \equiv p \equiv q $ doğru olamaz. (b) şıkkı yanlıştır.

$ q' \equiv r' $ olduğu için $ (q')' \equiv q \equiv r $ doğru olur. (c) şıkkı doğrudur.

$ p \equiv r' $ olduğu için $ (p')' \equiv p \equiv r $ doğru olamaz. (d) şıkkı yanlıştır.

$ p \equiv r' $ olduğu için $ p' \equiv q' $ doğru olamaz. (e) şıkkı yanlıştır.

Buna göre doğru seçenek (c)'dir.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 6:

$ p:$ $ \pi $ irrasyonel bir sayıdır.

$ q: $ Sayı doğrusunda 3'e uzaklığı 4 olan sayıların çarpımı $ a $'dır.

Yukarıda verilen iki önerme denk olduğuna göre $ a $ kaçtır?

Çözümü Göster

$ p $ önermesi doğru olduğu için $ q $ önermesi de doğru olmalıdır.

$ q $ önermesine göre $ \abs{x - 3} = 4 $

$ x = -1 $ veya $ x = 7 $ olur.

$ a = -1 \cdot 7 = -7 $ bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 7:

$ p $: "Karesi $ -1 $ olan sayıya sanal birim denir."

$ q $: "$ \abs{x \cdot y} = \abs{x} \cdot \abs{y} $"

$ r $: "Karenin dört köşegeni vardır."

$ s $: "$ EBOB(a, b) = 3 $ ise $ a \cdot b $ tek sayıdır."

Yukarıdaki önermelerden hangileri "İki basamaklı en küçük çift tam sayı 10'dur." önermesine denktir?

Çözümü Göster

Doğruluk değerleri aynı (ikisi de doğru ya da ikisi de yanlış) olan önermelere denk önermeler denir.

İki basamaklı en küçük çift tam sayı $ -98 $'dir, dolayısıyla "İki basamaklı en küçük çift tam sayı 10'dur." önermesinin doğruluk değeri 0'dır.

$ p $ ve $ q $ önermelerinin doğruluk değeri 1'dir.

Karenin 2 köşegeni vardır, dolayısıyla $ r $ önermesinin doğruluk değeri 0'dır.

EBOB'ları 3 olan iki sayıdan biri tek diğeri çift olabilir (3 ve 6 gibi), dolayısıyla çarpımları çift sayı olabilir. $ s $ önermesinin doğruluk değeri 0'dır.

Buna göre $ r $ ve $ s $ önermelerinin doğruluk değeri soruda verilen önermenin doğruluk değerine denktir.

Soru sorun Soruda hata bildirin

Bir Önermenin Değili (Olumsuzu)

Bir önermenin hükmünün değiştirilmesiyle elde edilen yeni önermeye ilk önermenin olumsuzu (değili) denir. Bir p önermesinin olumsuzu p’ ya da ~p simgelerinden biri ile gösterilir.

Örnek: p : “100, çift sayıdır.” önermesinin değilini bulalım:
Çözüm: Verilen önermenin değili, ~p : “100, çift sayı değildir.” şeklindedir. 100 çift sayı olduğundan, p önermesinin doğruluk değeri 1 iken ~p önermesinin doğruluk değeri 0 dır.

Matematikte sıkça kullanılan bazı semboller ile olumsuzları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Örnek: q : “1² +1³ +1⁴ ≠ 3″ önermesinin değilini bulalım:
Çözüm: Verilen önermenin değili, ~q : “1² +1³ +1⁴ = 3″ şeklindedir. Verilen q önermesinde bağıntı yanlış olduğundan, q önermesinin doğruluk değeri 0 iken ~q önermesinin doğruluk değeri 1 dir.

Örnek: q : “-5 < -2” önermesinin değilini bulalım:
Çözüm: Verilen önermenin değili, ~q : “-5 ≥ -2” şeklindedir. Verilen q önermesinde bağıntı doğru olduğundan, q önermesinin doğruluk değeri 1 iken ~q önermesinin doğruluk değeri 0 olur.

p önermesi doğru ise ~p önermesi yanlıştır. Yani, p ≡ 1 iken ~p ≡ 0 dır.
p önermesi yanlış ise, ~p önermesi doğrudur. Yani, p ≡ 0 iken ~p ≡ 1 dir.

Örnek: q : “1 + 5² < 6²” olmak üzere,
~q:”1 + 5² ≥ 6²”
önermesinin değilini bulalım.

Çözüm: Verilen önermenin değili, ~(~q) : “1 + 5² < 6²” şeklindedir.
Bu durumda, ~(~q) ≡ q olduğunu görünüz.

Bir p önermesinin değilinin değili kendisine denktir. Bu ifade sembolik olarak ~(~p) ≡ p biçiminde gösterilir.

Örnek: p : “100, üç basamaklı bir tam sayıdır.” olmak üzere,
~p : “100, üç basamaklı bir tam sayı değildir.”
~(~p) : “100, üç basamaklı bir tam sayıdır.” şeklinde olduğundan, ~(~p) ≡ p dir.

Sonraki konumuz Bileşik Önermeler konusudur.

Bileşik Önermeler konusuna gitmek için tıklayın.

Sembolik mantık

Vikipedi'nin kalite standartlarına ulaşabilmesi için, bu maddenin veya bir bölümündeki ansiklopedik olmayan içeriğin temizlenmesi gerekmektedir.
Görüşlerinizi lütfen tartışma sayfasında belirtiniz.(Şubat 2017)

Sembolik Mantık kavramının anlaşılması için öncelikle önermenin açıklanması gerekir. Önerme; bir yargı belirten, doğru veya yanlış olan cümlelere denir. Örneğin; "Ankara, Türkiye'nin güneyindedir." cümlesi bir önermedir ve bu önerme yanlıştır. "1 Ocak, yeni bir yılın başlangıcıdır." önermesi ise doğru bir önermedir. Önermeler mantığında basit önermeler p, q, r, s, t, v, z, ... gibi önerme sembolleriyle gösterilir.

Önerme eklemlerinin sembolik mantıkta kullanımı aşağıdaki tablodaki gibidir.

Önerme metni	Sembolü	Kullanımı	Örnek önerme	Mantıkta kullanımı
Değil	~ '	değil	Ali öğrenci değildir.	~p p'
∧	ve	Ali ve Mehmet öğrencidir.	p∧q
∨	veya	Ali veya Mehmet gelecektir.	p∨q
∨	ya da	Ali ya da Mehmet gelir.	p∨q
Koşullu önerme	⇒	ise	Ali gelir ise haberim olur.	p⇒q
İki yönlü koşullu önerme	⇔	ancak ve ancak	Ancak ve ancak çalışırsa başarır.	p⇔q

Değil: Olumlu bir önermeyi olumsuz hale, olumsuz bir önermeyi ise olumlu hale getirir.

Mehmet öğrencidir. (q)
Mehmet öğrenci değildir. (~q)

Önerme iki defa değillenirse tekrar kendine döner. Yani ~[~(p)]=p

Ve (∧): İki basit önermenin "ve" ile bağlanmasıyla oluşan önermedir. Önermenin doğruluğu, önermeyi oluşturan bütün bileşenlerin aynı anda doğru olmasına bağlıdır.

Veya (∨): İki basit önermenin "veya" ile bağlanmasıyla oluşan önermedir. Bu önermenin doğru olabilmesi için, önermelerden en az bir tanesinin doğru olması yeterdir.

Ya Da (∨): İki basit önermenin "ya da" ile bağlanmasıyla oluşan önermedir. Bu önermenin doğru olabilmesi için, önermelerden sadece 1 tanesi doğru olmalıdır.

İse (⇒): İki basit önermenin "ise" ile bağlanmasıyla oluşan ekleme koşul önermesi denir.Koşul önermesinde ön bileşen doğru, sonraki bileşen yanlış değer almışsa bileşik önerme yanlış değer alır. Diğer durumlarda önerme doğru değer alır.

Ancak ve ancak (⇔): İki basit önerme "ancak ve ancak ... ise" ile birleştirilmişse, ortaya çıkan bileşik önermeye karşılıklı koşul önermesi adı verilir. Bu önerme türünde, bileşenlerin hepsi de aynı değeri almışsa önerme doğru, diğer hallerde yanlıştır. Dolayısıyla, karşılıklı koşul ekleminin doğru olabilmesi için, bileşenlerden ikisi de doğru ya da ikisi de yanlış olmalıdır.

Önermelerin doğruluk değeri D ve Y harfleri, 1 ve 0 sayıları ile belirtilir. Önerme doğru ise doğruluk değeri D veya 1, yanlış ise doğruluk değeri Y veya 0 olur. Bu önerme çeşileri tek yargı belirttiği için basit önermedir. Bileşik önermeler iki veya daha çok yargıyı birleştiren önermelerdir. Bu önermelerdeki yargılar mantık eklemleri -ise, ve, veya, ya da, ancak ve ancak- ile birbirine bağlanır. Örneğin; "Ali öğretmen veya öğrencidir." Bu cümlede "Ali öğretmendir." ifadesi ile "Ali öğrencidir." önermeleri "veya" eklemi ile birbirine bağlanmıştır.

n sayıda önermenin $2^{n}$ adet ihtimali vardır.

Aşağıdaki tabloda (p∧q)' ∧ [r'∨(p∧q)] ⇒ r önermesinin ihtimalleri bulunmuştur.

p	q	r	r'	p∧q	(p∧q)'	r'∨(p∧q)	(p∧q)' ∧ [r'∨(p∧q)]	(p∧q)' ∧ [r'∨(p∧q)] ⇒ r
1	1	1	0	1	0	1	0	1
1	1	0	1	1	0	1	0	1
1	0	1	0	0	1	0	0	1
1	0	0	1	0	1	1	1	0
0	1	1	0	0	1	0	0	1
0	1	0	1	0	1	1	1	0
0	0	1	0	0	1	0	0	1
0	0	0	1	0	1	1	1	0

\( p \)	\( p' \)
\( 1 \)	\( 0 \)
\( 0 \)	\( 1 \)

\( p \)	\( p' \)	\( (p')' \)
\( 1 \)	\( 0 \)	\( 1 \)
\( 0 \)	\( 1 \)	\( 0 \)

İşaret	Değili
\( a = b \)	\( a \ne b \)
\( a \ne b \)	\( a = b \)
\( a \gt b \)	\( a \le b \)
\( a \ge b \)	\( a \lt b \)
\( a \lt b \)	\( a \ge b \)
\( a \le b \)	\( a \gt b \)

p	q	r	r'	p∧q	(p∧q)'	r'∨(p∧q)	(p∧q)' ∧ [r'∨(p∧q)]	(p∧q)' ∧ [r'∨(p∧q)] ⇒ r
1	1	1	0	1	0	1	0	1
1	1	0	1	1	0	1	0	1
1	0	1	0	0	1	0	0	1
1	0	0	1	0	1	1	1	0
0	1	1	0	0	1	0	0	1
0	1	0	1	0	1	1	1	0
0	0	1	0	0	1	0	0	1
0	0	0	1	0	1	1	1	0

p	q	r	r'	p∧q	(p∧q)'	r'∨(p∧q)	(p∧q)' ∧ [r'∨(p∧q)]	(p∧q)' ∧ [r'∨(p∧q)] ⇒ r
1	1	1	0	1	0	1	0	1
1	1	0	1	1	0	1	0	1
1	0	1	0	0	1	0	0	1
1	0	0	1	0	1	1	1	0
0	1	1	0	0	1	0	0	1
0	1	0	1	0	1	1	1	0
0	0	1	0	0	1	0	0	1
0	0	0	1	0	1	1	1	0

Önermelerin Değilleri

Önermeler

Bir Önermenin Doğruluk Değeri

Doğruluk Tablosu

Denk Önermeler

Bir Önermenin Değili (Olumsuzu)

Bir Önermenin Değili (Olumsuzu)

Sembolik mantık

Ayrıca bakınız[değiştir nest... 113761 113762 113763 113764 113765

Ayrıca bakınız[değiştir
nest...
113761 113762 113763 113764 113765

p	q	r	r'	p∧q	(p∧q)'	r'∨(p∧q)	(p∧q)' ∧ [r'∨(p∧q)]	(p∧q)' ∧ [r'∨(p∧q)] ⇒ r
1	1	1	0	1	0	1	0	1
1	1	0	1	1	0	1	0	1
1	0	1	0	0	1	0	0	1
1	0	0	1	0	1	1	1	0
0	1	1	0	0	1	0	0	1
0	1	0	1	0	1	1	1	0
0	0	1	0	0	1	0	0	1
0	0	0	1	0	1	1	1	0