Parabol Grafiği Yazma

parabol grafiği yazma

Parabolün Grafiği

Parabolün grafiği kolları yukarı ya da aşağı yönlü olan ve tepe noktasından (\( T \)) geçen bir simetri eksenine göre simetrik bir eğridir.

Parabol grafiğindeki önemli noktalar şunlardır:

\( T(r, k) \): Parabolün tepe noktası

\( A(x_1, 0) \) ve \( B(x_2, 0) \): Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktalar

\( C(0, c) \): Parabolün \( y \) eksenini kestiği nokta

Parabolün Yönü

Parabolün kollarının yönü denklemin başkatsayısı olan \( a \) değerine bağlı olarak yukarı (\( a \gt 0 \)) ya da aşağı (\( a \lt 0 \)) yönlü olur.

Bir parabolde \( x \)'in tüm değerleri için \( x^2 \) ifadesi pozitif olduğu için, \( x \)'in çok büyük pozitif ve negatif değerlerinde fonksiyon değerinin işaretini belirleyen başkatsayının işareti olur. Dolayısıyla \( a \gt 0 \) ise \( x \)'in çok büyük pozitif ve negatif değerlerinde fonksiyon pozitif yönde, \( a \lt 0 \) ise negatif yönde büyür.

\( f(x) = x^2 \)

\( f(100) = f(-100) = 10000 \)

\( g(x) = -x^2 \)

\( g(100) = g(-100) = -10000 \)

SORU 1:

\( y = (9 - m^2)x^2 - 4x + 3 \) parabolünün kolları yukarı doğru olduğuna göre, \( m \)'nin değer aralığı nedir?

Çözümü Göster

Bir parabolün kolları yukarı doğru ise başkatsayısı (\( a \)) pozitiftir.

\( a = 9 - m^2 \gt 0 \)

\( m^2 \lt 9 \)

Bu eşitsizliğin çözüm kümesi \( (-3, 3) \) açık aralığıdır.

\( -3 \lt m \lt 3 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

Parabolün Kolları

Başkatsayının işareti parabolün kollarının yönünü belirlerken mutlak değer olarak büyüklüğü de parabolün kollarının ne kadar açık ya da kapalı olduğunu belirler.

Aşağıdaki pozitif başkatsayılı parabolleri incelediğimizde, başkatsayı değeri arttıkça parabolün kollarının kapandığını, azaldıkça da açıldığını görürüz. Her ne kadar başkatsayı değeri arttıkça kolların kapanması grafiğin üzerindeki noktaların \( y \) eksenine yaklaştığını düşündürtse de, belirli bir \( x \) değeri için fonksiyon daha büyük \( y \) değerleri üretmektedir, dolayısıyla noktalar \( x \) ekseninden uzaklaşmaktadır.

a'nın pozitif değerleri için parabolün kolları

Aşağıdaki negatif başkatsayılı parabolleri incelediğimizde, başkatsayının değeri mutlak değer olarak arttıkça parabolün kollarının kapandığını, azaldıkça da açıldığını görürüz.

a'nın negatif değerleri için parabolün kolları

Özet olarak, başkatsayının değeri mutlak değer olarak arttıkça parabolün kolları kapanır, azaldıkça açılır.

Parabolün x Eksenini Kestiği Noktalar

Bir parabol \( x \) eksenini iki noktada kesebilir (I. parabol), bir noktada kesebilir (II. parabol) ya da kesmeyebilir (III. parabol). Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktalar aynı zamanda \( y = 0 \) denkleminin kökleridir. Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktaları önümüzdeki bölümlerde daha detaylı inceleyeceğiz.

Parabolün y Eksenini Kestiği Nokta

Bir parabol grafiği \( y \) eksenini her zaman ve sadece bir noktada keser. Bir parabolün \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde \( x = 0 \) koyduğumuzda mutlaka tek bir \( y \) değeri elde edeceğimiz için, parabolün \( y \) eksenini her zaman bir noktada keseceğini ve bu noktanın ordinat değerinin her zaman parabol denkleminin sabit terimi olan \( c \) olacağını görebiliriz.

ÖRNEK:

\( y = 2x^2 - 3x + 5 \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) koyalım.

\( y = 2(0)^2 - 3(0) + 5 = 5 \)

Parabol \( y \) eksenini \( (0, 5) \) noktasında keser.

Parabolün Tepe Noktası

Kolları yukarı yönlü parabollerin en küçük, aşağı yönlü parabollerin en büyük değerini aldığı noktaya parabolün tepe noktası denir ve genellikle \( T(r, k) \) ile gösterilir.

Tepe noktası \( y \) değeri açısından bir parabolün dönüm noktasıdır. \( x \) değeri artarken kolları yukarı yönlü parabollerde \( y \) değeri tepe noktasına kadar azalırken, tepe noktasından itibaren artmaya başlar. Kolları aşağı yönlü parabollerde ise \( y \) değeri tepe noktasına kadar artarken tepe noktasından itibaren azalmaya başlar.

Kolları yukarı yönlü parabolün tepe noktası

Kolları aşağı yönlü parabolün tepe noktası

Bir parabolün tepe noktasının apsis ve ordinat değerlerini aşağıdaki formüllerle bulabiliriz.

\( f(x) = ax^2 + bx + c \)

\( T(r, k) \) parabolün tepe noktası olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} \)

\( k = f(r) = \dfrac{4ac - b^2}{4a} \)

ÖRNEK:

\( f(x) = x^2 - 4x - 2 \)

\( r = -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \)

\( k = f(2) = 2^2 - 4(2) - 2 = -6 \)

Buna göre tepe noktası \( T(2, -6) \) olur.

İSPATI GÖSTER

Bir parabolün tepe noktasının apsis değeri, parabolün simetrisi gereği grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktaların orta noktasıdır. Dolayısıyla, ikinci dereceden denklemlerde gördüğümüz kökler toplamı formülünü kullanarak tepe noktasının apsis değerini bulabiliriz.

Kökler toplamı: \( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)

\( r = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = -\dfrac{b}{2a} \)

\( r \) değerini parabol denkleminde yerine koyarak, tepe noktasının \( k \) ordinat değerini bulalım:

\( y = ax^2 + bx + c \)

\( k = a\left( -\dfrac{b}{2a} \right)^2 + b\left( -\dfrac{b}{2a} \right) + c \)

\( k = \dfrac{ab^2}{4a^2} - \dfrac{b^2}{2a} + c \)

\( k = \dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{2b^2}{4a} + \dfrac{4ac}{4a} \)

\( k = \dfrac{4ac - b^2}{4a} \)

İspatta hata bildirin

SORU 2:

\( f(x) = 4x^2 + mx - 3 \) fonksiyonunun grafiği \( A(-1, 9) \) noktasından geçiyorsa bu parabolün tepe noktası nedir?

Çözümü Göster

Grafik \( A \) noktasından geçiyorsa bu noktanın koordinatları fonksiyon denklemini sağlar.

\( f(-1) = 9 \)

\( 4(-1)^2 + m \cdot (-1) - 3 = 9 \)

\( m = -8 \)

Buna göre fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = 4x^2 - 8x - 3 \)

Tepe noktası: \( T(r, k) \) ise,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{2 \cdot 4} = 1 \)

Tepe noktasının apsisini fonksiyonda yerine koyup ordinatını bulalım.

\( k = f(1) = 4 \cdot 1^2 - 8 \cdot 1 - 3 = -7 \)

\( T(r, k) = T(1, -7) \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 3:

\( f(x) = x^2 + 4x + 2m - 3 \) parabolünün alabileceği en küçük değer \( -1 \) ise \( m \) kaçtır?

Çözümü Göster

Pozitif başkatsayılı (kolları yukarı doğru olan) bir parabol en küçük değerini tepe noktasında alır.

Tepe noktası: \( T(r, k) \) ise,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot 1} = -2 \)

Tepe noktasının apsisini fonksiyonda yerine koyup ordinatını bulalım.

\( k = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 2m - 3 = -1 \)

\( 4 - 8 + 2m - 3 = -1 \)

\( m = 3 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 4:

\( y = -(x + 2)^2 + 9 \) fonksiyonunun grafiğinin tepe noktasını ve eksenleri kestiği noktaları bulalım.

Çözümü Göster

Grafiğin denklemi tepe noktası bilinen parabolün denklemi formunda verilmiştir.

\( y = a(x - r)^2 + k \)

Buna göre grafiğin tepe noktası \( T(-2, 9) \) olur.

\( a \lt 0 \) olduğundan parabolün kolları aşağı bakar.

\( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) verelim.

\( y = -(0 + 2)^2 + 9 = 5 \)

Buna göre parabol \( y \) eksenini \( (0, 5) \) noktasında keser.

\( x \) eksenini kestiği noktayı bulmak için \( y = 0 \) verelim.

\( 0 = -(x + 2)^2 + 9 \)

\( x^2 + 4x - 5 = 0 \)

\( (x + 5)(x - 1) = 0 \)

Buna göre parabol \( x \) eksenini \( (-5, 0) \) ve \( (1, 0) \) noktalarında keser.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 5:

\( A = (2 - m)(m - 4) \) olduğuna göre, \( A \)'nın en büyük değeri kaçtır?

Çözümü Göster

\( A = (2 - m)(m - 4) = -m^2 + 6m - 8 \)

Bu ikinci dereceden ifadenin grafiği bir paraboldür. Negatif başkatsayılı (kolları aşağı bakan) bir parabol en büyük değerini tepe noktasında alır.

Tepe noktası: \( T(r, k) \) ise,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2 \cdot (-1)} = 3 \)

Tepe noktasının apsisini fonksiyonda yerine koyup ordinatını bulalım.

\( k = f(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 8 = 1 \)

O halde \( A \)'nın en büyük değeri 1 olur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 6:

\( y = x^2 + (m + 1)x - m + 2 \) parabolünün minimum değeri \( -12 \) olduğuna göre, \( m \) değerleri toplamı kaçtır?

Çözümü Göster

Pozitif başkatsayılı (kolları yukarı doğru olan) bir parabol en küçük değerini tepe noktasında alır. Bu en küçük değeri tepe noktasının ordinat değeri formülü ile bulabiliriz.

Tepe noktası: \( T(r, k) \)

\( k = \dfrac{4ac - b^2}{4a} \)

\( a = 1, \quad b = m + 1, \quad c = -m + 2 \)

\( -12 = \dfrac{4 \cdot 1 \cdot (-m + 2) - (m + 1)^2}{4 \cdot 1} \)

\( -48 = -4m + 8 - m^2 - 2m - 1 \)

\( m^2 + 6m - 55 = 0 \)

\( m \)'nin alabileceği değerler toplamı bu denklemin kökler toplamına eşittir.

\( m_1 + m_2 = -\dfrac{b}{a} = -6 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 7:

\( x \) bir reel sayı ve \( A = 7x^2 + 12 \), \( B = 12x + x^2 \) olduğuna göre, \( A - B \) farkı en az kaçtır?

Çözümü Göster

\( A - B = (7x^2 + 12) - (12x + x^2) \)

\( = 6x^2 - 12x + 12 \)

Bu denklem kolları yukarı bakan bir paraboldür ve alabileceği en küçük değer parabolün tepe noktasının ordinat değerine eşittir.

Tepe noktası: \( T(r, k) \)

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-12}{2 \cdot 6} = 1 \)

Tepe noktasının apsisini fonksiyonda yerine koyup ordinatını bulalım.

\( k = f(1) = 6 \cdot 1^2 - 12 \cdot 1 + 12 \)

\( k = 6 \)

O halde \( A - B \) farkının en küçük değeri 6 olur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 8:

\( y = x^2 - 6x + 7 \) parabolünün tepe noktasının orijine olan uzaklığı nedir?

Çözümü Göster

2. derece denklemin katsayıları:

\( a = 1, \quad b = -6, \quad c = 7 \)

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2} = 3 \)

\( k = f(r) = 3^2 - 6(3) + 7 = -2 \)

\( T(3, -2) \) noktasının koordinatları \( O(0, 0) \) olan orijine uzaklığını bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.

\( \abs{TO} = \sqrt{(3 - 0)^2 + ((-2) - 0)^2} \)

\( = \sqrt{13} \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 9:

\( y = x^2 - 2x + m \)

parabolünün tepe noktasının \( x \) eksenine olan uzaklığı 3 birimdir.

Buna göre \( m \)'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır?

Çözümü Göster

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -2, \quad c = m \)

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \)

Tepe noktasının \( x \) eksenine uzaklığı 3 birim ise tepe noktasının koordinatları \( T(1, 3) \) ya da \( T(1, -3) \) olur.

\( f(1) = 1^2 - 2(1) + m = k \)

\( k = m - 1\)

\( \abs{k} = 3 \)

\( \abs{m - 1} = 3 \)

\( m - 1 = 3 \) ve \( m - 1 = -3 \)

\( m = 4 \) veya \( m = -2 \) olur.

Buna göre \( m \)'nin alabileceği değerler çarpımı \( 4 \cdot (-2) = -8 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 10:

\( m \) bir reel sayıdır.

\( f(x) = x^2 - 2mx + m + 6 \) parabolünün tepe noktası IV. bölgededir.

Buna göre \( m \)'nin alabileceği değer aralığını bulunuz.

Çözümü Göster

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -2m, \quad c = m + 6 \)

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

Parabolün tepe noktası IV. bölgede ise \( r \gt 0 \) ve \( k \lt 0 \) olmalıdır.

\( r = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-2m}{2 \cdot 1} = m \)

\( r \gt 0 \Longrightarrow m \gt 0 \)

\( f(r) = f(m) = m^2 - 2m^2 + m + 6 \)

\( -m^2 + m + 6 \lt 0 \)

\( m^2 - m - 6 \gt 0 \)

\( (m - 3)(m + 2) \gt 0 \)

\( m \lt -2 \) veya \( m \gt 3 \)

Yukarıdaki eşitsizliklerin kesişim kümesi \( m \)'nin en geniş değer aralığını verir.

\( m \gt 3 \)

Soru sorun Soruda hata bildirin

Parabolün Simetri Ekseni

Tüm parabol grafikleri parabolün tepe noktasından geçen ve \( y \) eksenine paralel bir doğruya göre simetriktir. Bu doğruya parabolün simetri ekseni denir ve denklemi \( x = r \)'dir.

Parabolün simetri ekseni: \( x = r = -\dfrac{b}{2a} \)

Parabol grafiğinin herhangi bir noktasından \( x \) eksenine paralel doğrular çizdiğimizde, bu doğruların parabolü kestiği noktaların apsis değerlerinin orta noktası bize her zaman tepe noktasının apsis değerini verir.

\( r = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{a_1 + a_2}{2} \)

Diğer bir ifadeyle, parabolün simetrisinin bir sonucu olarak, tepe noktasının apsis değerine herhangi bir gerçek sayı ekleyip çıkardığımızda elde edeceğimiz apsis değerlerinin parabol grafiğinde karşılık geleceği \( y \) değerleri birbirine eşit olur.

\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( f(r + c) = f(r - c) \)

\( f(x_1) = f(x_2) = 0 \)

ÖRNEK:

Bir parabolün tepe noktası \( T(8, k) \) ise,

\( f(8 + 1000) = f(8 - 1000) \)

SORU 11:

\( f(x) = 4x^2 - (2m + 1)x - 3 \) parabolünün simetri ekseni \( x = -1 \) doğrusu olduğuna göre, \( m \) kaçtır?

Çözümü Göster

Simetri ekseni \( x = r = -\frac{b}{2a} \) doğrusudur.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -1 \)

\( -\dfrac{-(2m + 1)}{2 \cdot 4} = -1 \)

\( 2m + 1 = -8 \)

\( m = -\dfrac{9}{2} \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 12:

\( y = x^2 + mx + n \) parabolünün simetri ekseni \( x = 2 \) doğrusudur. Parabolün en küçük değeri 6 olduğuna göre, parabolün \( y \) eksenini kestiği nokta nedir?

Çözümü Göster

Simetri ekseninin apsis değerinin formülü aşağıdaki gibidir.

\( r = -\dfrac{b}{2a} \)

\( 2 = -\dfrac{m}{2 \cdot 1} \)

\( m = -4 \)

Simetri ekseni tepe noktasından geçtiği için tepe noktasının apsisi \( x = 2 \) olur.

Tepe noktası: \( T(2, k) \)

Başkatsayının pozitif olduğu durumda parabolün en küçük değerini aldığı nokta tepe noktasıdır. Buna göre tepe noktasının ordinatı \( k = 6 \) olur.

Tepe noktasını parabol denkleminde yerine koyup \( n \) değerini bulalım.

\( 6 = 2^2 - 4 \cdot 2 + n \)

\( n = 10 \)

Parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( y = x^2 - 4x + 10 \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde \( x = 0 \) koyalım.

\( y = f(0) = 10 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 13:

\( f(x) = -x^2 + 8x - 5 \)

parabolü veriliyor. Buna göre,

\( \dfrac{f(-1) - f(\sqrt{2} - 3)}{f(11 - \sqrt{2}) - f(9)} \) ifadesinin değeri kaçtır?

Çözümü Göster

Verilen parabolün tepe noktasının apsis değerini bulalım.

Tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} \)

\( = -\dfrac{8}{2 \cdot (-1)} = 4 \)

Buna göre parabol grafiğinde \( x = 4 \) simetri eksenine göre simetrik olan noktaların fonksiyon değerleri birbirine eşit olur.

\( x = -1 \) ve \( x = 9 \) noktaları parabolün simetri eksenine göre simetriktir.

\( \dfrac{-1 + 9}{2} = 4 \)

Dolayısıyla bu iki noktadaki fonksiyon değerleri birbirine eşittir.

\( f(-1) = f(9) = a \)

Benzer şekilde, \( x = \sqrt{2} - 3 \) ve \( x = 11 - \sqrt{2} \) noktaları parabolün simetri eksenine göre simetriktir.

\( \dfrac{\sqrt{2} - 3 + 11 - \sqrt{2}}{2} = 4 \)

Dolayısıyla bu iki noktadaki fonksiyon değerleri birbirine eşittir.

\( f(\sqrt{2} - 3) = f(11 - \sqrt{2}) = b \)

Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.

\( \dfrac{f(-1) - f(\sqrt{2} - 3)}{f(11 - \sqrt{2}) - f(9)} \)

\( = \dfrac{a - b}{b - a} = -1 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 14:

\( f(x) = ax^2 + bx + c \) parabolü için

\( f(\frac{1}{7}) = f(\frac{20}{7}) \) olduğuna göre, parabolün simetri ekseninin denklemi nedir?

Çözümü Göster

Bir parabol üzerindeki simetri eksenine göre simetrik iki noktanın fonksiyon değerleri birbirine eşittir. Benzer şekilde, bir parabol üzerindeki iki farklı noktanın fonksiyon değerleri birbirine eşitse bu iki nokta simetri eksenine göre simetriktir.

Verilen iki noktanın fonksiyon değerleri birbirine eşit olduğu için bu iki nokta simetri eksenine göre simetrik noktalardır. Buna göre simetri ekseni bu iki noktanın orta noktasından geçer.

Parabolün simetri ekseni \( x = r \) olmak üzere,

\( r = \dfrac{\frac{1}{7} + \frac{20}{7}}{2} \)

\( = \dfrac{3}{2} \) bulunur.

Buna göre parabolün simetri ekseni \( x = \dfrac{3}{2} \) doğrusudur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 15:

\( m \) bir reel sayıdır.

\( f(x) = x^2 - (2m + 4)x + 4m + 7 \) fonksiyonu için \( f(-2) = f(8) \)'dir.

Buna göre \( f(0) \) kaçtır?

Çözümü Göster

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -(2m + 4), \quad c = 4m + 7 \)

Parabolün simetri ekseni \( x = r \) olmak üzere,

\( r = \dfrac{-2 + 8}{2} = 3 \)

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-(2m + 4)}{2 \cdot 1} \)

\( r = m + 2 = 3 \)

\( m = 1 \)

Buna göre fonksiyonun denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = x^2 - 6x + 11 \)

\( f(0) = 11 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 16:

\( f(x) = -x^2 + bx + c \) parabolünde her \( k \) reel sayısı için \( f(-k + 3) = f(k + 3) \) eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre \( f(-1) \), \( f(2) \) ve \( f(5) \) değerlerini küçükten büyüğe sıralayınız.

Çözümü Göster

Tepe noktası \( T(r, k) \) olan bir parabol için \( f(r - k) = f(r + k) \) eşitliği her \( k \) reel sayısı için sağlanır. Bunun sebebi parabolün \( x = r \) simetri eksenine göre simetrik olması ve simetri ekseninden eşit uzaklıktaki noktaların fonksiyon değerlerinin aynı olmasıdır.

Verilen eşitliği düzenleyelim.

\( f(-k + 3) = f(k + 3) \)

\( f(3 - k) = f(3 + k) \)

Bir parabolde her \( k \) sayısı için \( f(3 - k) = f(3 + k) \) eşitliği sağlanıyorsa parabolün tepe noktasının apsis değeri \( x = 3 \) olur. Buna göre bu noktaya eşit uzaklıktaki noktaların fonksiyon değerleri aynı olur.

Verilen parabolün başkatsayısı negatif olduğu için kolları aşağı yönlüdür. Parabol en büyük değerini tepe noktasında alır ve parabol üzerindeki bir noktanın apsis değeri \( x = 3 \) noktasından uzaklaştıkça fonksiyon değeri küçülür.

\( x = -1 \) noktası \( x = 3 \) noktasından en uzak, \( x = 2 \) noktası en yakındır. Buna göre istenen fonksiyon değerlerinin küçükten büyüğe sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( f(-1) \lt f(5) \lt f(2) \)

Bu noktalar aşağıdaki örnek negatif başkatsayılı parabolün grafiği üzerinde gösterilmiştir. Gerçek parabol grafiğinin eksenlere göre konumu ve kollarının açıklığı farklı olabilecek olsa da bu noktaların fonksiyon değerleri arasındaki sıralama değişmeyecektir.

Soru sorun Soruda hata bildirin

Soru Sor sayfası kullanılarak Parabol konusu altında Parabolün denklemini yazma ile ilgili sitemize gönderilen ve cevaplanan soruları içermektedir. Bu soru tipine ait soruları ve yaptığımız detaylı çözümleri aşağıda inceleyebilirsiniz. Yardımcı olması dileğiyle, iyi çalışmalar…

1.SORU

2.SORU

3.SORU

4.SORU

5.SORU

6.SORU

7.SORU

8.SORU

9.SORU

10.SORU

11.SORU

12.SORU

Diğer Soru Tipleri için Tıklayınız.

Konu Anlatımı İçin Tıklayınız.

Çözümlü Test İçin Tıklayınız.

Çıkmış Sorular İçin Tıklayınız.

Not: Bu sayfadaki sorular, ziyaretçilerimiz tarafından gönderilmiştir. Telif hakkını ihlal eden durumlar için lütfen iletişim sayfasından bize bunları bildiriniz. Kısa süre içerisinde sitemizden bu sorular kaldırılacaktır.

Telif: Çözümler, sitemiz tarafından hazırlanmış olup izinsiz yayınlanıp, çoğaltılması yasaktır.

www.matematikkolay.net Yukarıdaki parabolün d enklemini bu lu nuz. 2 2 2 y a(x r) k Tepe noktasını T(r,k) ( 1,2) denkleme yazalım. y a(x ( 1)) 2 y a(x 1) 2 (0,0) n : o Çözüm 2 2 ktasından da parabol geçiyor. Bu noktayı da yazalım. 0 a(0 1) 2 0 a 2 a 2 dir. Buna göre parabol denklemi: y 2(x 1) 2 dir.   10
www.matematikkolay.net Yukarıdaki parabolün d enklemini bu lu nuz. 1 2 y a(x x )(x x ) x noktalarını yazalım. y a(x ( 2))(x 3) y a(x 2)(x 3) (0, 4) noktasından da a : p Çözüm rabol geçiyor. Bu noktayı da yazalım. 2 4 a(0 2)(0 3) 4 6a a dir. 3 Buna göre parabol denklemi: 2 y (x 2)(x 3) dir. 3   11
Yukarıdaki parabolün d enklemini bu lu nuz. www.matematikkolay.net x eksenini kesen noktalara göre parabolün denklemi: y a.(x ( 1)).(x ( 5)) y a.(x 1)(x 5) : Çözüm tir. (0, 2) noktasından da a’ yı bulalım. 2 a.(0 1)(0 5) 2 5a 2 a tir. 5 Buna göre; parabolun denklemini 2 y (x 1)(x 5) buluruz. 5 14
www.matematikkolay.net f 7 f 1 Buna göre, ifadesinin değeri kaçtır? f 8 f 2 1 9 1 13 27 A) B) C) D) E) 22 22 2 22 2 2 2 2 2 y a(x r) k r 2 olduğu soruda belli. y a(x 2) k dır. (0,0) noktası 0 a( 2) k k :   Çözüm 2 2 2 4a dır. Buna göre; f(x) a(x 2) 4a dır. f(7) a.5 4a 21a f( 1) a.3 4a 5a f(8) 36a 4a 32a f( 2) 16a 4a 12a f(7) f( 1) 21a 5a 26a 13 buluruz. f(8) f( 2) 32a 12a 44a 22 www.matematikkolay.net 8
www.matematikkolay.net Şekilde verilen f x parabolü ile g x doğrusu 0, 0 ve 4, 4 noktalarında kesişmektedir. f o Buna göre, g 5 kaçtır? f o f 2 3 5 A) 1 B) C) 2 D) E) 3 2 2 2 Parabolun denklemini bulalım. 3 r değeri 0 ile 3’ün ortası 2 3 f(x) a(x ) k 2 (0,0) nok :  Çözüm 2 2 2 3 9a tası için 0 a(0 ) k k 2 4 3 9a (4,4) noktası için 4 a(4 ) a 1 2 4 3 9 Buna göre f(x) (x ) dir. O halde; 2 4 (fog)(5) f(g(5)) f(5) 10 1 buluruz. (fof)(2) f(f(2)) f( 2) 10     20
www.matematikkolay.net 2 f x ax bx c parabolü x eksenini A 5, 0 ve B 1, 0 noktalarında kesmektedir. Buna göre; f 2 f 1 2 f 2 5 f 6 i fadesinin değeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6 parabol a(x 5)(x 1) şeklinde bir denkleme sahiptir. Buna göre; f(2) f(1 2) f( 2 5) f( 6) a : .(2  Çözüm 5)(2 1) a.(1 2 5)(1 2 1) a.( 2 5 5)( 2 5 1) a.( 6 5)( 6 1) (2 5)(1) (6 2)( 2) ( 2)( 2 6) ( 1)( 7) 7 6 2 2 9 6 2 1 buluruz. 2 6 2 7 9 6 2 26
www.matematikkolay.net parabolünün denklemini bulunuz? 2 Tepe noktası (1, 1) noktasıdır. y a(x 1) 1 şeklinde bir denkleme sahiptir. (0,0) noktası : nd Çözüm 2 2 an da geçiyor. 0 a(0 1) 1 0 a 1 a 1 dir. y (x 1) 1 buluruz.  43
www.matematikkolay.net Parabolün tepe noktası T 1, 1 dir. Verilenlere göre, A noktasının ordinatı kaçtır? A) 8 B) 10 C) 14 D) 24 E) 26 www.matematikkolay.net 2 2 2 Tepe noktası bilinen doğru denklemi; y a x r k y a x 1 1 y a x 1 1 Parabol orjinden geçiy : or.Yan Çözüm 2 2 i 0,0 noktası denklemi sağlatır. 0 a 0 1 1 a 1 dir. y x 1 1 dir. Parabol y 4x doğrusuyla A noktasında kesişiyorsa A noktasının koordinatına x, 4x diyebiliriz. Bu nokta parabolün denklemince sağlatılır.   2 2 2 2 4x x 1 1 dir. 4x x 2x 1 1 4x x 2x x 6x 0 x x 6 0 x 0 ve x 6 dır. Negatif değeri almalıyız. A noktasının ordinatı y 4x 4. 6 24 bulunur.      50
www.matematikkolay.net 2 Şekilde, denklemi y ax bx c olan parabol x eksenini A ve B noktalarında kesmekte ve 0, 6 noktasınd an geçmektedir. OA 1 olduğuna göre, AB 3 parabolünün tepe noktasının ordinatı kaçtır? 13 15 17 23 27 A) B) C) D) E) 5 7 4 9 8 OA 2k ve OB 6k şeklinde yazalım. A noktası 2k ‘da, B noktası 8k ‘da olur. y a( : x 2k) x 8k Çözüm 2 şeklinde bir polinomdur. 0, 6 noktasını yerine yazarsak; y a(0 2k) 0 8k 6 16k a 6 3 16 8 2 2 2 ak 3 ak dir. 8 2k 8k 10k Tepe noktasının apsisi r 5k dır. 2 2 r 5k’yı denklemde yazalım. y a(5k 2k) 5k 8k y 9ak 3 27 y 9 buluruz. 8 8  www.matematikkolay.net 59
2 f x ax bx c parabolü Ox eksenini 4, 0 ve 2, 0 noktalarından kesiyor. Parabolünün tepe noktası y 2x 5 doğrusu üzerin – de olduğuna göre, a b c toplamı kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 www.matematikkolay.net x eksenini 4 ve 2 noktasında kesen parabolun denklemi y a x 4 x 2 şeklindedir. : Parabolün  Çözüm tepe noktasının apsisi, x eksenini kesen noktaların orta noktasıdır. 2 4 2 Yani; r 1 dir. 2 2 Tepe noktası, aynı zamanda y 2x 5 üzerinde ise bu doğru denkleminden tepe noktasının ordinatını bulalım. y 2. 1 5 2 5 3 tür. O halde tepe noktası T(1, 3) tür. Bu noktayı parabol denkleminde yazalım. y a x 4 x 2 3 a 1 4 1 2 3   a 3 2 2 1 .3 a tür. 3 1 1 1 2 8 y x 4 x 2 x 2x 8 x x 3 3 3 3 3 1 2 8 9 a b c 3 buluruz. 3 3 3 3   64
www.matematikkolay.net Şekilde y f x parabolünün grafiği verilmiştir. Buna göre, f 3 f 2 toplamı kaçtır? A) 12 B) 14 C) 16 D) 34 E) 40 2 x eksenine teğet parabol denklemi f(x) a x r şeklindedir. x 2 değeri için fonksiyon 0 dır. : O Çözüm 2 2 2 0 2 2 2 halde r 2 olmalıdır. f(x) a x 2 olur. x 0 için fonksiyon 8 ise, f(0) a x 2 8 a 2 8 a 2 dir. f(x) 2 x 2 olur. f 3 2 3 2 2 f 2 2 2 2 2.16 32 dir. Toplamları 2 32 34 buluruz.         69
www.matematikkolay.net Şekilde grafiği verilen f x ve g x için a c d f kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 1 1 1 2 2 2 2 T (0,k ) r 0 b 0 b 0 dır. 2a T (0,k ) r 0 e 0 e 0 dır. 2d f(x) ax c f(1) 5 a c 5 tir. g( ) : x      Çözüm 2 dx f g(1) 3 d f 3 tür. a c d f 5 ( 3) 2 bulunur.  18

İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri (Parabol) 11. Sınıf

İkinci Dereceden Bir Değişkenli Fonksiyonlar

a, b, c ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere

f: R→R, y=f(x)=ax² + bx + c

biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyon denir. Fonksiyonun analitik düzlemdeki grafiği olan eğriye parabol denir.

Bilgi: Bir fonksiyonun grafiğinin x eksenini kestiği noktaları bulmak için fonksiyonda y = f(x) değeri sıfıra eşitlenir. Fonksiyonun grafiğinin y eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda x değerine sıfır verilir.

Bilgi: Bir fonksiyonun grafiği üzerinde bulunan her nokta fonksiyonun denklemini sağlar.

Parabolün Tepe Noktasının Koordinatları

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri

f(x) = ax² + bx + c parabolünde

a > 0 ise parabolün alabileceği en küçük değer parabolün tepe noktasının ordinatıdır.
a < 0 ise parabolün alabileceği en büyük değer tepe noktasının ordinatıdır.
Bu durum parabolün herhangi bir aralıktaki parçası için geçerli değildir.

[a, b] aralığındaki parabolün maksimum-minimum değeri sorulursa tepe noktası T(r, k) olmak üzere f(r), f(a) ve f(b) ye bakılır.

Tepe Noktası ve Bir Noktası Bilinen Parabol Denklemi

T(r, k) parabolün tepe noktası ve A(x₀, y₀) parabol üzerinde bir nokta ise parabolün denklemini bulmak için
y = a.(x – r)² + k
yazıldıktan sonra a değerini bulmak için verilen nokta yerleştirilir.

x Eksenin Kestiği Noktalar ve Üzerindeki Başka Bir Noktası Bilinen Parabolün Denklemi

f(x) parabolünün x eksenini kestiği noktalar A(x₁, 0) ve B(x₂, 0) ise parabolün denklemi
f(x) = a. (x – x₁) . (x – x₂) biçiminde yazılır. Bilinmeyen a değerini bulmak için parabolün üzerindeki nokta denklemde yazılır.

Üç Noktası Bilinen Parabol Denklemi

A(x₀, y₀) , B(x₁, y₁) ve C(x₂, y₂) noktaları parabolün üzerinde ise üçü de parabolün denklemini sağlar. Bu noktalar parabolün genel denklemi olan

y=f(x) =ax² + bx + c de yerleştirilirse üç bilinmeyenleri üç denklem çözülür a, b, c değerleri bulunur.

Bir Doğru İle Bir Parabolün Birbirlerine Göre Durumları

y = ax² + bx + c parabolü ile
y = mx + n

doğrusunun denklemleri birbirine eşitlenip oluşan denklemin diskriminantına bakılır. (Δ = b² – 4ac)

Δ > 0 ise parabol ve doğru iki noktada kesişir.
Δ = 0 ise parabol doğruya teğet-tir.
Δ < 0 ise parabolle doğru kesişmez.

Bilgi: y = f(x) = ax² + bx + c

parabolünün x eksenini kesip kesmediğini yorumlamak için x ekseni y = 0 doğrusu olduğundan

ax² + bx + c = 0 denkleminin diskriminantına bakılır.

Δ > 0 ise parabol x eksenini iki farklı noktada keser.
Δ = 0 ise parabol x eksenine teğet-tir.
Δ < 0 ise parabol x eksenini kesmez.

İkinci Dereceden Fonksiyon Grafikleri video 1 İsabet Akademi

İkinci Dereceden Fonksiyon Grafikleri video 2 İsabet Akademi

nest...

63659 63660 63661 63662 63663