9 Sınıf Geometri Test Kitabı

Kitapta herhangi bir işaretleme veya karalama yapılmamıştır. Kitap temizdir. S.

Birey Yayıncılık 9. Sınıf Geometri Soru Bankası (2.El), Komisyon tarafından kaleme alınmıştır. Kitap 2013 yılında Birey Yayıncılık tarafından [İstanbul] yayınlanmıştır. 254 sayfadır. Birey Yayıncılık 9. Sınıf Geometri Soru Bankası (2.El) adlı eser Türkçe dilindedir.

Kitap, 19 cm genişliğinde 27 cm yüksekliğindedir.

Kitap KARTON KAPAKLI cilt bilgisi ile yıllar önce eklenmiştir.

Birey Yayıncılık 9. Sınıf Geometri Soru Bankası (2.El) adlı eser, Kitap > Sınav ve Ders Kitapları > Sınavlara Hazırlık > Test Kitapları kategorisinde İkinci El olarak satıştadır.

Kondisyon: İyi

Ürün kondisyonları ürün açıklamalarında belirtildiği ve/veya ürün fotoğraflarında görüldüğü gibidir. Açıklamada yer alan veya fotoğrafta görülen üründen farklı nitelikte bir ürün gönderilmesi halinde siparişin iadesi/iptali kitantik.com güvencesi ile sağlanabilmektedir.

Alıcı Öder

Ürün Vamos Kitap tarafından, PTT, Yurtiçi, Aras veya Sendeo Kargoyla gönderilecektir. Kargo ücreti 29.90 TL dir ve sipariş anında ödenir. Aynı mağazadan veya ortak kargo anlaşmalı mağazalardan bu ürünle birlikte alacağınız diğer ürünler için ek kargo ücreti ödemezsiniz.

Vamos Kitap - Mağaza Hakkında

Merhabalar

Siparişlerinizi Sendeo Kargo ile gönderiyoruz. Tek seferde yaptığınız 150 Lira ve üzeri siparişlerin kargo ücretini biz ödüyoruz. Satın almış olduğunuz ürünleri aynı gün ya da ertesi gün mutlaka kargo firmasına teslim ediyoruz.

Satışa sunduğumuz ürünler hakkında her türlü sorunuzu bize mesaj yolu ile hiç çekinmeden sorabilirsiniz. Mesajlarınızı en kısa süre içerisinde yanıtlamaya çalışıyoruz.

İş yoğunluğumuz nedeniyle, alışverişleriniz sonrası bu platformda bizimle ilgili yaptığınız güzel yorumlara teker teker cevap vermeye pek zamanımız olmuyor maalesef. Bu yüzden; içten olduklarını bildiğimiz ve bizi mutlu eden olumlu yorumlarınız için şimdiden çok teşekkür ediyoruz. İyi ki varsınız. :)

Kitabın sayfalarında ıslanmaya bağlı yoğun lekelenmeler ve kabarmalar, dalgalanmalar mevcuttur. Haricinde herhangi bir işaretleme ya da karalama yapılmamıştır, temiz durumdadır. Oz.

Test Grup Yayınları 9. Sınıf Geometri Konu Özetli Soru Bankası (2. El), Komisyon tarafından kaleme alınmıştır. Kitap 2010 yılında Test Grup Yayınları tarafından [İstanbul] yayınlanmıştır. 272 sayfadır. Test Grup Yayınları 9. Sınıf Geometri Konu Özetli Soru Bankası (2. El) adlı eser Türkçe dilindedir.

Kitap, 19 cm genişliğinde 27 cm yüksekliğindedir.

Kitap KARTON KAPAKLI cilt bilgisi ile yıllar önce eklenmiştir.

Test Grup Yayınları 9. Sınıf Geometri Konu Özetli Soru Bankası (2. El) adlı eser, Kitap > Sınav ve Ders Kitapları > Ders Kitapları > Ortaokul, Lise kategorisinde İkinci El olarak satıştadır.

Kondisyon: Yorgun

Ürün kondisyonları ürün açıklamalarında belirtildiği ve/veya ürün fotoğraflarında görüldüğü gibidir. Açıklamada yer alan veya fotoğrafta görülen üründen farklı nitelikte bir ürün gönderilmesi halinde siparişin iadesi/iptali kitantik.com güvencesi ile sağlanabilmektedir.

Alıcı Öder

Ürün Vamos Kitap tarafından, PTT, Yurtiçi, Aras veya Sendeo Kargoyla gönderilecektir. Kargo ücreti 29.90 TL dir ve sipariş anında ödenir. Aynı mağazadan veya ortak kargo anlaşmalı mağazalardan bu ürünle birlikte alacağınız diğer ürünler için ek kargo ücreti ödemezsiniz.

Vamos Kitap - Mağaza Hakkında

Merhabalar

Siparişlerinizi Sendeo Kargo ile gönderiyoruz. Tek seferde yaptığınız 150 Lira ve üzeri siparişlerin kargo ücretini biz ödüyoruz. Satın almış olduğunuz ürünleri aynı gün ya da ertesi gün mutlaka kargo firmasına teslim ediyoruz.

Satışa sunduğumuz ürünler hakkında her türlü sorunuzu bize mesaj yolu ile hiç çekinmeden sorabilirsiniz. Mesajlarınızı en kısa süre içerisinde yanıtlamaya çalışıyoruz.

İş yoğunluğumuz nedeniyle, alışverişleriniz sonrası bu platformda bizimle ilgili yaptığınız güzel yorumlara teker teker cevap vermeye pek zamanımız olmuyor maalesef. Bu yüzden; içten olduklarını bildiğimiz ve bizi mutlu eden olumlu yorumlarınız için şimdiden çok teşekkür ediyoruz. İyi ki varsınız. :)

1 9. SINI GMTRİ NU NLTIMLI SRU NSI

2 u kitb n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. itb it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. itb n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN : steme dresi kstrem Yıncılık Tlf: (0) elgeç : (0) t k l r n dn do l TMZ (Tür ki e M te m tik Ö ret men le ri Züm re si) ö ret men lerine teflekkür ederiz. Grfik Tsr m izgi kstrem Y nc l k SI Özkn Mtbc l k Gzetecilik Sn. ve Tic. Ltd. fiti. S. rgnize Sni ölgesi Ugurlr d. No. Sincn / NR Tel: ()

3 w ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, kul derslerinizde ve üniversite giriş sınvlrınd bşrılı olmk, dilediğiniz fkültei kznmk; bilinçli hzırlnmnız, düzenli bir çlışm progrmı ugulmnız, ii bir ın seçmenize ve bu ınlr ışığınd derste öğretmeninizi ii dinlemenize bğlıdır. "liteli eğitim, kliteli dokümn" felsefesile ol çıkn "kstrem Yınlrı" tüm brnşlrdki kitplrınd rıntılı konu nltımı ve hücreleme sistemi ile konu lt bşlıklrınd fzl sıd, değişik türde soru er vererek öğrencinin konuu kvrmsını kollştırmı mçlmıştır. linizdeki 9. sınıflrı kpsck şekilde hzırlnn "9. Sınıf Geometri onu nltımı"ndki konulr Tlim Terbie urulunun çıkldığı müfredt çerçevesinde hzırlnmış, geometri dersinin sevilen ve kol kvrnıln bir ders hline getirilmesi mçlnmıştır. itpt fzl sıd çözümlü soru er verilerek konulrın pekiştirilerek öğretilmesi mçlnmıştır. onu testleri ile kendinizi test edebilir, eksik kln ve nlmdığınız erleri tekrr çlışbilirsiniz. 9. Sınıf Geometri onu nltımlı soru bnksının bşrılrınız ktkısının büük olcğı kntile, tüm üniversite dlrın YGS ve LYS sınvınd bşrılr dilior, kitbımızın hzırlnmsınd rdımlrını esirgemeen geometri öğretmeni rkdşlrımız teşekkür ederiz. Hepinizin olu çık, klemi güçlü olsun! ell İŞİLİR

4

5 ünit- TML GMTRİ VRMLR / Nokt, oğru, üzlem, Uz / oordint oğrusu / oordint üzlemi (nlitik üzlem) / çı / Trigonometrik rnlr / oğru enklemleri ünit- ÇGNLR ve ÜZLM LMLR / Çokgenler / Çokgende Çevre ve Çokgensel ölgelerin lnlrı / üzlemde önüşüm Hreketleri / üzlemde plmlr / Üçgende enzerlik / Özel Teoremler / Öklid ğıntılrı

6 ünit- İ RİZM ve İRMİLR / İzometrik Çizim / ik rtgrfik Görüntü / rizmlr / irmitler ünit- ÇMR ve İR / Teğet, esen, iriş, Y / Merkez çı, Çevre çı / Çemberin Çevre Uzunluğu ve irenin ln Hesbı ünit- İ İRSL SİLİNİR ve Nİ / Silindir / oni / üre TİNLRİN V NRTRLRI

7 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÜN T Nokt, oğru, üzlem, Uz oordint oğrusu oordint üzlemi (nlitik üzlem) çı Trigonometrik rnlr oğru enklemleri

8 MTMT M GÇN L M İNSNLRINN ZILRI L L 8 8 RMT 0 NTR 8 98 (Sonsuzu zpteden dm) UHY H T R GUSS RMR 70 7 L NS N 9 LL ULR URIR GLIS 8 8

9 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi NT Herhngi bir büüklü ü (eni, bou, üksekli i) olmn ve er belirten geometrik bir kvrm olrk nlmlndırbiliriz. ĞRU ni ve üksekliği olmn, düz ve uzunluğu sürekli iki öne uztılbilen bir kvrm olrk nlmlndırbiliriz. oğrulr küçük hrflerle d üzerinde bulunn iki nokt ile gösterilir. d d do rusu do rusu do rusu oğrusl (do rudfl) Noktlr nı doğru üzerinde bulunn noktlrdır. Genellikle büük hrfle gösterilir. d,, noktlr do rusld r. (do rud t r) outsuzdur. ¾ ki çizginin kesim eri bir nokt modelidir. IŞIN ir doğru üzerinde bir noktdn bşlıp ine doğru üzerinde sürekli olrk tek öne uztılbilen uzunluğu sınırsız oln geometrik terimdir. ¾ ir do ru prçs n n uçlr bir nokt modelidir. [ ¾ Gecelein göküzünde ld zlr n uzktn görünümü bir nokt modelidir. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

10 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi o ru rçs ir do ru üzerindeki herhngi iki nokt ve bu noktlr rs nd kln tüm noktlr kümesidir. [] d ¾ ¾ UZY Uz tnımlı bir kvrm olup: Tüm noktlr kümesidir. Uz n uzunlu u, üksekli i, geniflli i s n rs zc geniflletilebilir. ¾ ütün noktlr içinde bulundurn bir p d r. [] nın uzunlu u d ile gösterilir. [] : do ru prçs ¾ ir odn n içi uz modeli olrk düflünülebilir. : do ru prçs n n uzunlu u Üç outlu igür Çlışmsı ÜZLM () Uzunlu u ve eni her önden s n rs z, kl nl bulunmn geometrik bir kvrm olrk düşünebiliriz. (Genellikle, ile gösterilir.) ekil I ekil II ¾ ir prlelkenrsl bölge düzlem modeli olrk kulln lbilir. ekil III ekil IV ¾ ¾ o rusl olmn üç nokt bir düzlem belirtir. ir kitbı en z üç prmğınızın uçlrınd tşıdığınızı düşünün. Şekil I de üç boutlu mket dike olrk tutulmuştur. ölece çısı düzlemdedir. [] nokt gibi görünmektedir. Çünkü [] bkış önü ile nı hizddır. Şekil II de düzlem bir miktr devrildiğinde [] dh net görülmektedir. Şekil III te düzlemin duruşu değiştirilerek üç boutlu figür dh net görülmektedir. Şekil IV te düzlem t olrk tutulup krşıdn bkıldığınd [] ve [] görülmez ve düzlemin kenrı düz bir doğru olrk görülür. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

11 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi üzlem elirtme ksiomlrı oğrusl olmn üç nokt bir düzlem belirtir. İki oğrunun irbirine Göre urumlrı rlel olm durumu ; nı düzlemde olup kesişmeen doğrulrdır. // rlel iki doğru bir düzlem belirtir. esişme durumu ; İki doğrunun lnız bir ortk noktsı vrs bu doğrulr kesişen doğrulr denir. l l = {} ir doğru ve dışındki bir nokt bir düzlem belirtir. Çkışık olm durumu ; n z ikişer noktsı ortk oln doğrulr çkışık doğrulr denir. esişen iki doğru bir düzlem belirtir. kırı olm durumu ; rklı düzlemlerde olup kesişmeen doğrulr kırı doğrulr denir. "Yukrıdki son üç mdde slınd ilk mddenin sonucudur." ekil I ekil II Yukrıdki Şekil I ve Şekil II deki l ve l kırı doğrulrdır. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

12 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi İki üzlemin irbirine Göre urumu rlel düzlemler : rtk noktsı olmn düzlemlerdir. Q Yukrıd l ve l kırı doğrulrdır. Q () // (Q) () (Q) = Ø Yukrıd l ve l kırı doğrulrdır. ir oğru ve ir üzlemin irbirine Göre urumlrı oğru düzlemi keser. esişen düzlemler : rtk noktlrı bir doğru üzerinde oln düzlemlerdir. () (Q) = () = {} Q ve Q düzlemleri doğrusu bounc kesişmiştir. oğru düzleme prleldir. () = Ø oğru düzlemin içindedir. () 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

13 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi Yrı üzlem çık Yrı üzlem Üç düzlem ikişer ikişer birbirine dik olbilir. ir do ru içinde bulundu u düzlemi iki prç r r. u prçlrdn her biri r düzlemdir. Yr düzlem Yr düzlem ç k r düzlem ç k r düzlem Q () (Q), () (), (Q) () pl r düzlem pl r düzlem pl r düzlem ç k r düzlem Üç düzlemden ikisi prlel olup üçüncüsü diğer ikisini kesebilir. Üç üzlemin irbirine Göre urumlrı Üç düzlem birbirine prlel olbilir. Q Q Üç düzlem bir doğru bounc kesişebilir. Üç düzlem ikişer ikişer şekildeki gibi kesişebilir. Q Q 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

14 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN Üç mks drbesi ile bir kğıt prçsı; ) n z kç prç rılbilir? b) n fzl kç prç rılbilir? ÖRN ir düzlemdeki beş frklı doğru bu düzlemi; ) n z kç bölgee ırbilir? b) n fzl kç bölgee ırbilir? Mks drbesi bir doğru modeli, kğıt prçsı d bir düzlem modeli olrk düşünülürse, n = olup ) Üç doğru bir düzlemi en z bölgee ırır. ) n z ; n + = + = bölgee ırır. üzlemi en z bölgee ırmk için mks drbeleri (doğrulr) prlel tıldı. b) Üç doğru bir düzlemi en fzl 7 bölgee ırır. 7 nn ( + ). b) n fzl; + = + = bölgee ırır üzlemi en fzl bölgee ırmk için mks drbeleri birbiri ile frklı noktlrd kesiştirildi. rtik ilgi n tne frklı doğru içinde bulunduğu düzlemi; en z (n + ) tne bölgee en fzl f n p+ f n p+ f n p = 0 ırır. nn ( + ) + tne bölgee RŞTIRM nı düzlem içinde bulunmn dört noktdn eşit uzklıkt oln bir nokt vr ise bu noktı nsıl bulbileceğimizi rştırınız. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

15 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN rtik ilgi n tne frklı düzlem uzı : en z n + tne bölgee, en çok f n p+ f n p+ f n p+ f n p tne bölgee ırır. 0 bıçk drbesi ile bir krpuz en fzl kç prç rılbilir? ıçk drbesi düzlem, krpuzd uz modeli olrk düşünülürse ilk iki bıçk drbesi ile krpuz şğıdki gibi prç bölünebilir. ÖRN ir düzleme it oln frklı nokt ve bu düzlemin dışındki nokt ile kç frklı düzlem elde edilebilir?. üzlemdeki frklı nokt ile fp = = tne. nokt ikilisi elde edilir. Üçüncü bıçk drbesi ile prç şğıdki gibi 8 prç bölünebilir. u ikililer ile düzlem dışındki nokt her zmn düzlem belirtir. hlde elde edilebilecek düzlem sısı tnedir. ÖRN üzlemde herhngi üçü doğrusl olmn frklı noktdn geçen doğrulrın en fzl kç tne kesişme noktsı vrdır? noktdn en fzl,. fp = = 0 tne doğru geçer.. 0 doğrunun kesim noktsı en fzl, f p = = tnedir.. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

16 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN üzlemde ikisi prlel oln frklı doğru en fzl kç noktd kesişebilir?. Yol : rklı iki doğrunun kesim eri bir noktdır. hlde, ÖRN 8 Uzd 8 frklı nokt en fzl kç tne düzlem belirtir? ir düzlem, doğrusl olmn en z frklı nokt ile ifde edilebilir hlde, 8 frklı nokt en fzl, fp = = tne düzlem belirtir... esim erlerini srk 9 nokt bulunur.. Yol : n doğru en fzl fp n tne noktd kesişebilir. hlde, doğru en fzl fp = 0 tne noktd kesişebilir. rlel doğru kesişmediğinden nokt oluşmz. ÖRN 9 hlde, f p 0 9 f p = = tne nokt bulunur. M N ÖRN 7 oğrusl olmn frklı nokt en z kç düzlem belirtir? düzlemi üzerinde bir üçgeni ve bu düzlemin dışınd bir noktsı lınıor.,, noktlrı noktsı ile birleştirilior. [] ve [] üzerinde, ve den frklı olck şekilde M ve N noktlrı işretlenior ve MN doğrusu çizilior. un göre, MN doğrusunun düzlemini kestiği bilindiğine göre, kesim noktsını bullım. Noktlr doğrusl olmdığındn en z bir düzlem belirtebilir. MN doğrusu ile doğrusu nı düzlemde ( düzleminde) iki doğrudur. MN doğrusu düzlemini kestiğine göre MN ile prlel olmz. hlde nı düzlemde prlel olmn frklı iki doğrunun mutlk kesim noktsı vrdır. Yni MN ile doğrulrı doğrusu üzerinde bir noktd kesişir. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

17 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi tkinlik Zmn şğıdki boşluklrı prizmdki doğrulrı göz önüne lrk "prlel, kesişen, kırı, düzlemsel" kelimelerinden ugun olnı ile doldurunuz. H G. H ile doğrulrı... doğrulrdır.. ile H doğrulrı... doğrulrdır.. ile HG doğrulrı... doğrulrdır.. ile G doğrulrı... doğrulrdır.. ile H doğrulrı... doğrulrdır.. ile GH düzlemleri... düzlemlerdir. 7. H ile düzlemleri... düzlemlerdir. 8.,, noktlrı... noktlrdır. 9. ile... doğrulrdır. 0.,, G noktlrı... noktlrdır.. ile doğrulrı... doğrulrdır.. H,, G noktlrı... noktlrdır.. ile doğrulrı... doğrulrdır.. ile doğrulrı... doğrulrdır. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

18 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ¾ ¾ ¾ RİNT ĞRUSU ir do runun herbir nokts ile gerçek s lr n birebir efllenmesi sonucu oluflturuln p koordint do rusu denir. oordint do rusund s f r (0) s s n krfl l k gelen nokt bfllng ç nokts d orijin denir. ir do runun bir nokts n krfl l k gelen gerçek s s ise s s n nokts n n koordint denir ve () fleklinde gösterilir. ÖRN = olduğun göre, erine zılbilecek değerleri bullım. Mutlk değerin tnımındn, = = d = tir. hlde, = 8 d = bulunur. ¾ G H 0 7 ( ) ( ) (0) () 7 () ( ) G( ) H( ) () : nokts koordint do rusu üzerinde koordint oln bir nokt. u soruu şölede okubiliriz. Sı doğrusu üzerinde e birim uzklıkt bulunn noktlr hngileridir? birim birim Yukrıdki gibi ten birim soldki ve birim sğdki 8 rnn noktlrdır. 8 ÖRN oordint doğrusund (8), ( ) () noktlrı verilior. noktsı ile rsınd bir nokt olsun. = olduğun göre, nın koordintlrını bullım. Mutlk eğer ir gerçek s n n koordint do rusu üzerinde efllendi i noktn n bfllng ç nokts n oln uzkl n o s n n mutlk de eri denir. 0 0 ise = (ozitif bir s n n bfllng ç nokts n oln uzkl kendisidir.) 0 ise = (Negtif bir s n n bfllng ç nokts n oln uzkl nın z t iflretlisidir.) b = b noktsı ile rsınd olduğundn, ( ) (8) () > 8 olmlıdır. = 8 ( ) = 8 = 8 d 8 = = 9 d = olup > 8 olduğundn = 9 bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

19 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN < 0 olmk üzere, + + işleminin sonucunu bullım. ÖRN < b < 0 < c olmk üzere, + b + c işleminin sonucunu bullım. + + ifdesinde mutlk değerlerin içi negtif olduğundn ifdeler dışrı işret değiştirerek çıkr. hlde, + + = = bulunur. ifdesinde mutlk değerin içi negtif olduğundn dışrı işret değiştirerek çıkr. hlde, = olur. b ifdesinde mutlk değerin içi pozitif olduğundn dışrı nen çıkr. hlde, b = b olur. ÖRN > 0 olmk üzere, + + işleminin sonucunu bullım. c ifdesinde mutlk değerin içi negtif olduğundn dışrı işret değiştirerek çıkr. hlde, c = ( c) = c olur. ölece, + b + c = b + c bulunur. + + ifdesinde mutlk değerlerin içi pozitif olduğundn ifdeler dışrı nen çıkr. hlde, + + = + + = bulunur. ÖRN 7 7 = 9 denkleminin çözüm kümesini bullım. Mutlk değerin sonucu hiçbir zmn negtif olmz. hlde, çözüm kümesi Ø dir. ÖRN m < 0 < n olmk üzere, m + n işleminin sonucunu bullım. m ifdesinde mutlk değerin içi negtif olduğundn dışrı işret değiştirerek çıkr. hlde, m = m olur. n ifdesinde mutlk değerin içi pozitif olduğundn dışrı nen çıkr. hlde, n = n olur. ölece, m + n = m + n bulunur. ÖRN 8 = 8 denkleminin çözüm kümesini bullım. 8 = 8 ve 8 = 8 olur. Yni mutlk değerin sonucunun 8 çıkbilmesi için mutlk değer içi 8 d 8 olmlıdır. = 8 = 8 d = 8 olup = d = tür. Çözüm kümesi {, } bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

20 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ki Nokt rs Uzkl k oordint do rusund koordintlr () ve (b) oln iki nokt rs ndki uzkl k, d(, ) fleklinde gösterilir ve = d(, ) = b ile hespln r. ÖRN oordint doğrusu üzerinde (), (k) ve (k + ) noktlrı verilior. d(, ) = d(, ) olduğun göre, k değerlerini bullım. d(, ) d(, ) = k + k = ÖRN d(, ) = k + = k olup k = eşitliği ile, oordint do rusund () ve () noktlr rs ndki uzkl hespll m. () ve (b) ise = d(, ) = b olup d(, ) = = = birim bulunur. ÖRN birim oordint doğrusund () ve () noktlrı rsındki uzklık 7 birim olduğun göre, koordintının lbileceği değerleri bullım. () ve () noktlrı rsındki uzklık, = d(, ) = şeklinde zılbilir. ölece, = 7 olup mutlk değer tnımındn, = 7 ve = 7 eşitliklerinden = d = bulunur. 7 birim 7 birim k = d k = zılbilir. urdn, k =, k = değerlerini lbilir. fl o ru rçlr Uzunlu u eflit oln do ru prçlr d r. 0 Yukr dki koordint do rusund, [], [], [], [], [] efl do ru prçlr d r. [], [], [], [] efl do ru prçlr d r. [], [], [] efl do ru prçlr d r. [] ile [] eş doğru prçlrı [] [] şeklinde gösterilir. = ise, [] ile [] eş doğru prçlrıdır. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

21 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN oordint doğrusu üzerinde ( ), (), ( ) ve (k) noktlrı verilior. [] [] olduğun göre, k nin lbileceği değerleri bullım. ş Yönlü oğru rçlrı Yönü nı oln eş doğru prçlrın eş önlü doğru prçlrı denir. oordint doğrusund uzunluğu eşit oln doğru prçlrın eş doğru prçlrı denir. [] [] ise = dir. ölece, = d(, ) = ( ) = d(, ) = k ( ) şitlikleri ile, ( ) = k ( ) = k + k + = d k + = olup k =, k = 9 bulunur. Yönlü oğru rçsı = = = olsun. ve eş önlü doğru prçl- u durumd, rıdır. nı şekilde,, ve eş önlü doğru prçlrıdır. Vektör oordint doğrusund eş önlü doğru prçlrının kümesine bir vektör denir. u küme, herhngi bir elemnı ile temsil edilir. = = = = olsun., ve eş önlü doğru prçlrı ile temsil edilebilir. oordint doğrusund bşlngıç noktsı, bitiş noktsı oln [] do ru prçsın önlü doğru prçsı denir ve ile gösterilir. ¾ Yönlü doğru prçsı, doğru prçsının önlendirilmiş hlidir. ¾ ¾ ir vektörün bou bu vektörü temsil eden herhngi bir önlü doğru prçsın n bou kdrdır. oordint doğrusund bir vektörün önü ve uzunluğu değiştirilmeden eri değiştirilebilir. öle vektörlere eş vektörler denir. [] ¾ oordint doğrusund önlü doğru prçsının doğrultusu tek olup koordint doğrusunun kendisidir. ¾ önlü doğru prçsının uzunluğu ile gösterilir. ¾ şlngıcı ve bitişi nı oln önlü doğru prçsının önü ve doğrultusu belirsiz ve uzunluğu sıfırdır. ¾,, efl vektörlerdir. Yönleri ters oln vektörlere ters d z t önlü vektörler denir. ve ters (z t) önlü vektörlerdir. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

22 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi irim Vektör oordint do rusund uzunlu u birim oln vektöre birim vektör denir. ir o ru rçs n çten ölen Noktn n oordint () (c) (b) = k ise c = + k.b + k,, birim vektörlerdir. Yer (onum) Vektörü spt : vektörüne efl ve bfllng ç nokts orijinde oln vektöre vektörünün er (konum) vektörü denir. = k ise = k. 0 ¾ vektörü vektörünün er (konum) vektörüdür. c = k(b c) c = kb kc c + ck = + kb + kb c = bulunur. + k ¾ erine k sc z lbilir. ¾ Her vektörün bir ve lnız bir konum vektörü vrdır. Örne in; T S R Q 0 ir o ru rçs n fltn ölen Noktn n oordint () (b) Y (c) RT = birim, Q = birim, = birim, () (b) (c) = birim, = birim olup ), vektörünün konum vektörüdür. = k ise c = k.b k ) RT ile z t önlü vektörlerdir. ) Q ve önleri frkl oldu undn Q! dür. ) Q,, birim vektörlerdir. ) ile efl vektörlerdir. ) ile RT efl vektörlerdir. spt : = k ise = k. c = k(c b) c = kc kb c( k) = kb c = kb bulunur. k 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

23 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ( ) (c) Yukr dki koordint sisteminde, (7) = ol- ck flekilde nokts n n koordint n bull m. İk oordint üzlemi (nlitik üzlem) fllng ç nokts nd birbirini dik kesen iki koordint do rusunun oluflturdu u sisteme dik koordint sistemi, bu sistemin belirtti i düzleme nlitik düzlem denir. (rijin) b rdintlr ekseni (, b) psisler ekseni I. Yol : = c ( ) = c + ve = c 7 = c = bulunur. 7 c + c 7 = eşitliğinden ¾ ¾ ¾ ¾ Yt oln n ekseni d psisler ekseni denir. üfle oln n ekseni d ordintlr ekseni denir. ksenlerin kesim nokts n orijin d bfllng ç nokts denir. nlitik düzlem, bileşenleri reel sı oln s rl ikililerden oluflur. (, b) II. Yol : psis rdint = ise = k ve = k dielim. ¾ ekseni üzerindeki bir noktn n ordint s f rd r. ( ) k (c) k (7) (, 0) (, 0) (, 0) (, 0) (, 0) (, 0) 7k ( ) k (c) (7) ¾ ekseni üzerindeki bir noktn n psisi s f rd r. (0, ) 7k rtış vrs den e k rtış olur. 8 = olup 7 8 hlde, c = + = bulunur. 7 7 (0, ) (0, ) (0, ) (0, ) (0, ) 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

24 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ¾ ik oordint Sisteminde ölgeler ksenler nlitik düzlemi dört bölgee r r. II. ölge (, +) < 0 > 0 III. ölge (, ) < 0 < 0 I. ölge (+, +) > 0 > 0 IV. ölge (+, ) > 0 < 0 hlde, < 0 < ve > 0 > olup <, > < < eşitsizliği elde edilir. u durumd, < 0 ve 9 < 0 dır. ölece, (, 9) (, ) noktsı koordint düzleminin III. bölgesinde olur. ksenler bölgelere dhil de ildir. ÖRN oordint düzleminde, (. b, b) noktsı IV. bölgede olduğun göre, (. b, b ) ÖRN noktsının kçıncı bölgede olcğını bullım. oordint düzleminde, (, ) noktsı II. bölgede olduğun göre, (, 9) noktsının kçıncı bölgede olcğını bullım.. bölge (, +). bölge (+, ) IV. bölgedeki bir noktnın psisi pozitif, ordintı negtiftir. hlde,. b > 0 ve b < 0 olmlıdır. II. bölgedeki bir noktnın psisi negtif, ordintı pozitiftir. (, ) noktsı II. bölgede ise < 0 ve > 0 olmlıdır.. b > 0 b ve b < 0 b > 0 olup + +. b > 0, b > 0 eşitsizliklerinden (. b, b ) noktsı I. bölgede olur. \ Z S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

25 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ir o ru rçs n çten elli ir rnd ölen Noktn n oordintlr oordint düzleminde, (,. b 8) noktsı II. bölgede olduğun göre, (, b ) ( 0, 0 ) (, ) noktsının kçıncı bölgede olcğını bullım. (, ) (, +) = k olmk üzere, = k. eşitliğinden, II. bölge = 0 + k, + k = 0 + k + k bulunur. II. bölge psisi negtif, ordintı pozitif oln noktlrdn ibrettir. hlde, < 0 ve. b 8 > 0 olmlıdır. < 0 < < <. b 8 > 0. b > 8 b > 9 ÖRN oordint düzleminde (, ) ve (, ) noktlrı verilior. noktsı [] nı = ornınd içten bölüor. un göre, noktsının koordintlrını bullım. b > b > olup (, b ) noktsınd < < 0 b > b > olduğundn, (, +) noktsı koordint düzleminin II. bölgesinde olur. (, ) (, ) (, ) = ise = zılbilir. = ( ) = = + = (, ) + (, ) = (, ) eşitliğinden, = (, ) (, ) bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

26 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN [] ve = tür. un göre, noktsının koordintlrını bullım. = ise = zılbilir. ( ) = ( ) = = + (, ) ve (, ) olup = (, ) + (, ) = (, ) + (, ) = (, ) = f, p bulunur. ÖRN oordint düzleminde (, ) ve (, 8) noktlrı verilior. [] nı dıştn = ornınd bölen noktsının koordintlrını bullım. (, ) (, 8) (, b) = & = olup ( ) = ( ) = = = = = (, 8) (, ) (, ) + (, ) ( 8, ) = = (, ) (, ) bulunur. ir o ru rçs n fltn elli ir rnd ölen Noktn n oordintlr ir o ru rçs n n rt Nokts n n oordintlr ( 0, 0 ) (, ) (, ) ( 0, 0 ) (, ) (, ) = k olmk üzere, = k. eşitliğinden, + k + k =, = bulunur. 0 + k 0 + k = olmk üzere, + + =, = S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

27 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN oordint düzleminde (, ) ve (, ) noktlrı verilior. un göre, [] nın ort noktsının koordintlrını bullım. [] nın ort noktsı (, b) olsun. (, ) (, b) (, ) İk oordint Sİstemİnde Yönlü oğru rçlri oordint do rusund vektörleri ifllerken bir önlü do ru prçs n n uzunluk ve ön kvrm ndn bhsetmifltik. ik koordint sisteminde bir önlü do ru prçs - n n uzunluk ve önünün n s r do rultusundn d bhsedebiliriz. (oordint do rusund vektörler) hlde, = = ve b = = olup 7 f, p bulunur. L (ik koordint sisteminde vektörler) ÖRN Örne in; oordint düzleminde (k +, ) ve (k, ) noktlrı verilior. [] nın ort noktsı ekseni üzerinde olduğun göre, k değerini bullım. [] nın ort noktsı ( 0, 0 ) olsun. k+ + k + hlde, = ve = 0 0 k f, p elde edilir. olup Yukr dki dik koordint sisteminde; ¾ önlü do ru prçs n n bfllng ç nokts, bitim nokts dir. ekseni üzerindeki noktnın psisi sıfır olduğundn noktsının psisi sıfır eşit olmlıdır. ölece, k = 0 & k = bulunur. ¾ önlü do ru prçs n n tfl c s l do rusudur. ¾ önlü do ru prçs n n önü dn e ¾ do rudur. önlü do ru prçs n n uzunlu u birimdir. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

28 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ir Yönlü o ru rçs n n ileflenleri ÖRN ¾ Tfl c lr birbirine prlel, uzunluklr birbirine eflit ve önleri n oln önlü do ru prçlr n efl önlü do ru prçlr denir. L N M l // l ve = ise, Yukrıdki zeminde verilen vektörlerden hngilerinin eş önlü doğru prçlrı olduğunu bullım. ile efl önlü do ru prçlr d r. u eşlik, fleklinde gösterilir. fllng ç nokts (, ) ve bitifl nokts (, ) ve önlü doğru prçlrı uzunluklrı birbirine eşit ve önleri nı olduğundn eş önlü doğru prçlrıdır. Yni,, dir. oln önlü do ru prçs n n bileflenleri, (, ) fleklindedir. ¾ Tfl c lr n d prlel oln do ru prçlr n n do rultulu denir. l // l ise ile n do rultuludur. SNUÇ : ileşenleri nı oln önlü doğru prçlrı eş önlü doğru prçlrıdır. ile n do rultuludur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

29 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi Vektörler onum Vektörü ir ne efl ve bfllng c orijin oln vektöre nün konum vektörü denir. (, ) (, ) ileflenleri n oln önlü do ru prçlr n n kümesine vektör denir. u kümenin herhngi bir elemn bir vektörün do rultusudur. Yukr d = olrk gösterilir. : nün konum vektörüdür. = (, ) z lbilir. L M N R NT : (, ) ve (, ) ise nün konum vektörü = (, ) dir. Yukr dki önlü do ru prçlr efl önlü do ru prçlr oldu undn, = = = L = MN = R fleklindedir. u önlü do ru prçlr n n bileflenleri de n d r. hlde, (, ) (, ) = (, ) v = & LMNR,,,,,,... 0 = = (, ) kümesi bir vektördür. u vektörün önü herhngi birinin önüdür. SNUÇ : NT : Yönlü do ru prçs için sölenen her fle vektörler için de sölenebilir. fllng ç nokts (, ) ve bitifl nokts (, ) oln, nün konum vektörü, = = (, ) fleklindedir. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

30 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN şlngıç noktsı (, ) ve bitiş noktsı (, ) oln önlü doğru prçsının bileşenlerini bullım. dik üçgen = birim = birim = birim = olup = (, ( )) olup (, 7) bulunur. un göre, + nün bileşenlerini bullım. ÖRN oordint düzleminde (, ) ve (, 7) noktlrı verilior. un göre, nü bullım. = = (, 7) (, ) = (, ) bulunur., noktsının birim sol ve birim şğı ötelenmesi ile elde edilmiştir. hlde, = (, ) tür., noktsının birim sğ ve birim ukrı ötelenmesi ile elde edilmiştir. hlde, = (, ) olur. ölece, + = (,0) bulunur. ÖRN ÖRN (, ) ve (, ) noktlrı verilior. dikdörtgen = birim = birim = birim un göre, + nün bileşenlerini bullım. = + = + = = olup ölece, + = = = (, ( )) = (, ) bulunur. un göre, ve vektörlerinin konum vektörlerini zlım. : noktsının birim sğ, birim ukrı ötelenmesi ile elde edilmiştir. hlde, = (,) : noktsının birim sol, birim ukrı ötelenmesi ile elde edilmiştir. hlde, = (, ) bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

31 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN 8 (, ) (, ) Verilenlere göre, nü bull m. Yukrıd birim krelere rılmış koordint sisteminde + nü bullım. noktsındn noktsın birim sol, birim şğı öteleme ile ulşılmıştır. = = (, ) bulunur. itiş noktsı bşlngıç noktsının birim sol, birim ukrı ötelenmesi ile elde edilmiştir. hlde, = (, ) noktsındn noktsın birim sol, birim ukrı ötelenmesi ile ulşılmıştır. hlde, = (, ) olup ölece, + = ( 7, ) bulunur. ÖRN 7 ÖRN 9 W = (, ) verilior. un göre, VW + V nün bileşenlerini bullım. VW = W V d VW = W V olduğundn, VW + V = W V+ V = W olup VW = W = (, ) bulunur. = (, ) ve = ( 7, ) verilior. un göre, nü bullım. Verilen vektörlerin çılımlrını pıp trf trf topllım. + = = (, ) = = ( 7, ) = (, ) = (, ) bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

32 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN 0 ÖRN dikdörtgen = birim = birim = birim oordint düzleminde köşe koordintlrı, (, ), (, ) ve (, ) oln üçgeninde, kenrın it kenrort vektörünü bullım. un göre, + toplm vektörünü bullım. (, ) noktsı, noktsının birim sğ ve birim şğı ötelenmesi ile elde edilmiştir. hlde, = (, ) ve noktsı, noktsının birim sol ve birim şğı ötelenmesi ile elde edilmiştir. hlde, = (, ) zılbilir. ölece, + = (, ) bulunur. ÖRN (, ) (, ) (, ) [] nın ort noktsı ( 0, 0 ) olsun. hlde, + = = ve 0 + = = olup, 0 (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Verilenlere göre nü bull m. kenrın it kenrort vektörü, = = (, ) = = (, ) zılbilir. = (, ) bulunur. itiş noktsı bşlngıç noktsının birim sğ, birim şğı ötelenmesi ile elde edilmiştir. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

33 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ki Vektörün flli i (, ) _ = (, ) b ` vektörleri e ise = ve = dir. = (, ) b Yukrıdki birim krelere rılmış koordint sisteminde noktsının koordintlrını bulup, nün konum vektörünü bullım. (, ) olduğundn, orijin, noktsının birim sol, birim şğı ötelenmesi ile elde edilir. hlde, (, ) ÖRN = ( kn, + ) ve = ( 7, ) vektörleri eş olduğun göre, n ve k değerlerini bullım. ve eş ise k = ve n + = 7 olup k =, n = bulunur. (, ) ÖRN (, ), (, ), (, ) ve (m, n) noktlrı verilior. ölece, (, ) olup = = (, ) = ( 0, ) bulunur. ve eş iki vektör olduğun göre, m + n toplmını bullım. = = (,) = = ( m, n+ ) olup 0 ve eş ise m = ve n + = eşitliği zılbilir. ölece, m = 0 ve n = olup m + n = bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

34 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN = ( k, p+ ) ve = (, k + ) vektörleri eş olduğun göre, k + p toplmını bullım. (, ) ve (, ) noktlrı verilior. un göre, nün uzunluğunu bullım. ve eş iki vektör ise krşılıklı bileşenleri eşit olmlıdır. hlde, k = ve p + = k + k = ve p + = + p = olup 7 k + p = + = bulunur. ir Vektörün ou (Normu d Uzunlu u) ir vektörün bfllng ç ve bitifl noktlr rs ndki uzkl o vektörün uzunlu u d normu denir. nün uzunluğu b d = (, b) ile gösterilir. = = (,) olup nün uzunluğu = ( ) + = birim bulunur. ÖRN = (n,) nün uzunluğu birim olduğun göre, n erine zılbilecek değerleri bullım. = ( n, ) ise = ( n ) + = (n ) + 9 = (n ) = n = ± n = d n = olmlıdır. b birim = + b birim ¾ fllng ç ve bitifl nokts n oln ne s f r ¾ vektörü denir. 0 = (0, 0) ile gösterilir. Uzunlu u birim oln vektöre birim vektör denir. birim birim vektördür. ¾ u birim vektör ise u. = zılbilir. ¾ o rultulr n oln vektörler birbirinin gerçek s kt cinsinden z lbilir. N L M Q = = L MN = Q = 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

35 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi Vektörlerde Toplm = d = oldu u ht rln rs, (, ) ( +, + ) (, ) ifdesinin de, ni bfllng ç nokts, bitifl nokts oln bir vektör oldu u = (, ) = (, ) olmk üzere görülür. (, ) + = ( +, + ) b ¾ Herhngi iki vektör u = (, b) ve v = (c, d) olmk üzere, u+ v = ( + c, b+ d) dir. b,, herhngi üç vektör olsun. ¾ + bir vektördür. ¾ (Toplm iflleminin kpl l k özelli i) + = + (Toplm iflleminin de iflme özelli i) ir Vektörü ir Skler le Çrpm k R ve = (, b) olmk üzere, ¾ k. = k. (, b) = (k, kb) ¾ k > 0 ise k., nı ön ve doğrultuddır. ¾ ¾ ¾ ( + ) + = + ( + ) (Toplm iflleminin birleflme özelli i) + 0 = 0+ ( 0 toplm iflleminin birim (etkisiz) elemn ) + = + = 0 ise ( vektörü vektörünün toplm göre tersidir ve = olur. ) ¾ k < 0 ise k., zıt önde ve nı doğrultuddır. ¾ k = 0 ise 0. = 0 (sıfır vektörü) ÖRN = (, ) ve = (, ) verilior. un göre, +,, +, vektörlerini bullım. Vektörlerde Ç krm fllemi = (, ), = (, ) ise = (, ) = (, ) olmk üzere = + ( ) = (, ) + = (, ) = (, 8) = (, ) (, ) = (0, 7) + = (, ) + (, ) = (, ) 8 = (, ) (, ) =f, p bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

36 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi Vektörlerde rlellik k 0 olmk üzere, = k. ise ile prleldir. Yni; (, ) (, ) olsun // ise = k. (, ) = k (, ) olup = k. ve = k. = = k olur. ÖRN (, ), (, ), (, ) ve (, ) noktlrı verilior. // olduğun göre, değerini bullım. = = (, ) (, ) = (, ) = // = (, ) (, ) = ( +, ) = = 0 bulunur. + ÖRN = (, ) ve = (k, ) prlel olduğun göre, k değerini bullım. // ise = olup k k = k = 7 bulunur. ÖRN (, ), (, ) ve (k, ) noktlrı verilior. ÖRN l doğrusu üzerindeki herhngi iki nokt (, ) ve (, ) ve l doğrusu üzerindeki herhngi iki nokt; (, ) ve (, ) dir. l // l olduğun göre, değerini bullım. // olduğun göre, k değerini bullım. = = (, ) = = (k, ) olup // = ise k = bulunur. k UYRI // ise,, noktlrının doğrusl olmsı gerektiğine dikkt edelim. l // l ise // = = (, ) (, ) = (, ) = = (, ) (, ) = (, ) olur. // olup = = bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

37 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi tkinlik Zmn şğıd verilen nün konum vektörü oln p nün bileşenlerini bulunuz... p =... p =..... p =... p = p =... p = p =... p =... 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

38 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi tkinlik Zmn şğıd verilen vektörlerin konum vektörlerinin bileşenlerini bulunuz... =..., =... =..., =..... =..., =... =..., = =..., = = =..., = =... 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

39 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi tkinlik Zmn şğıd birim krelere rılmış zeminde verilen vektörlerin uzunluklrını bulunuz... Q =... Q =..... S R =... RS =.... L 7. T U L =... TU = Y X =... XY =... 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

40 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi tkinlik Zmn şğıd birim krelere rılmış zeminde verilen işlemlerin bileşenlerini bulunuz... += (...,...) += (...,...).. = (...,...) += (...,...). 7. += (...,...) += (...,...). 8. = (...,...) = (...,...) 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

41 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi tkinlik Zmn şğıd birim krelere rılmış zeminde verilen vektörlerle istenen işlemleri pınız... b u v +b = (...,...) u v = (...,...).. v u z u v = (...,...) + z = (...,...). 7. z b +b = (...,...) +z = (...,...). 8. z b b= (...,...) + z = (...,...) 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

42 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÇI ÖRN fllng ç noktlr n oln iki fl n n birleflimine ç denir. enr L ö e enr ¾ [ ve [ fl nlr n ç n n kenrlr (kollr ) Şekilde () () kümesini bullım. ¾ : ç n n köflesi fiekildeki ç, d / ile gösterilir. [ [ = = = / bölge L ç bölge = [ [ ()= [ [ {İç bölge} () () kesişim kümesi ukrıd trlı bölgedeki noktlrdır. İrİm Çember ÖRN üzlemde sbit bir noktdn birim uzkl ktki noktlr n kümesine birim çember denir. Şekle göre, ) l b) () l birim r = birim ) = [ [ olduğundn, l = {, } dir. kesişim kümelerini bullım. b) () = [ [ {İç bölge} olduğundn, erece ir çember 0 efl prç bölündü ünde her bir efl prç gören merkez ç n n ölçüsü dir. º () l = [] dir. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

43 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi Rdn Yönlü çi Yr çp uzunlu und gören merkezdeki ç rdn denir. birim birim = rdn ozitif ön ¾ Çemberin çevre uzunlu u π birim oldu undn çember n n tmm n n ölçüsü π rdnd r. ir ç n n bir kenr ndn di er kenr n stin tersi önde gidildi inde olufln ç pozitif önlüdür. SNUÇ : erecei, rdn R ile gösterirsek, 80 = R r z lbilir. Negtif ön ÖRN r rdnın kç derece olduğunu bullım. ir ç n n bir kenr ndn di er kenr n st önünde gidildi inde olufln ç negtif önlüdür. R = 80 r ÖRN 80 r = r = 0 bulunur. ¾ Yönlü ç lr sölerken önce bfllng ç kenr sonr bitifl kenr sölenir. ir dik üçgenide [] [] dir. m() = r rdn olduğun göre, 9 çısının ölçüsünün kç derece olduğunu bullım. n n fllng ç kenr [ itifl kenr [ Yönü pozitiftir 80 o 9 r = 9 r eşitliğinden, = 80 olup n n fllng ç kenr [ itifl kenr [ Yönü negtiftir m() = = 0 bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

44 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi tkinlik Zmn 7 fl d verilen çılrı önlerine göre dlndırınız önlü ç d r.... önlü ç d r önlü ç d r.... önlü ç d r önlü ç d r.... önlü ç d r önlü ç d r.... önlü ç d r. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

45 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi Trİgonometrİk rnlr ir ç n n Tnjnt kotnjnt ekseni = = irim çemberde bir ç çizerken kulln ln fl n n = do rusunu (tnjnt eksenini) kesti i noktn n ordint n o ç n n tnjnt denir. kosinüs ekseni (, ) sinüs ekseni tnjnt ekseni tn = tn (, tn ) ir ç n n osinüsü irim çemberde bir ç çizerken kulln ln fl n n birim çemberi kesti i noktn n psisine o ç n n kosinüsü denir. cos (, b) = cos (cos, b) ir ç n n otnjnt irim çemberde bir ç çizerken kulln ln fl n n = do rusunu (kotnjnt eksenini) kesti i noktn n psisine o ç n n kotnjnt denir. cot (, ) = cot (cot, ) ir ç n n Sinüsü SNUÇ : (ördü bir rd) irim çemberde bir ç çizerken kulln ln fl n n birim çemberi kesti i noktn n ordint n o ç n n sinüsü denir. sin b (, b) b = sin (, sin ) (, 0) (0,) cot T sin cos (0, ) tn (,0) T(cos, sin ) (, tn ) (cot, ) 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

46 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN = 0 br H 0º = un göre, uzunluğunu bullım. Verilen çember birim çember olduğundn, = birim ve = cot olduğundn, = eşitliğinden, = cot bulunur. ir cirit tm müsbksınd uzunluğu 80 birim oln cirit, ere 0 lik çı prk şekildeki gibi splnıor. u ciritin diğer ucunun erden üksekliği 0 birim olduğun göre, splnn kısmın kç birim olduğunu bullım. H dik üçgeninde, sin0 = H eşitliğinden, 0 = = 0 birim olup iritin bou 80 birim olduğundn, ÖRN Splnn kısmın bou, 80 0 = 0 birim bulunur. sin0, cos0, cot0 ifdelerinin sırlmsını plım. ÖRN irim çemberde, = b 0º irim krelerden oluşmuş şekilde tn + cotb toplmını bullım. (, b) noktsınd, = cos0, b = sin0 ve = cot0 olup H H tn = cot = > > b olduğundn, cot0 > cos0 > sin0 bulunur. hlde, tn + cotb = + = bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

47 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ve b çılrı birer dr çı olsun. I. > b ise sin > sinb II. > b ise cos < cosb III. > b ise tn > tnb IV. > b ise cot < cotb un göre, verilenlerden hngilerinin doğru olduğunu bullım. noktsının ordintı noktsının ordintındn büük olduğundn sin > sinb dır. NT : I. bölgede > b ise sin > sinb cos < cosb tn > tnb cot < cotb III. bölgede > b ise sin < sinb cos > cosb tn > tnb cot < cotb II. bölgede > b ise sin < sinb cos < cosb tn > tnb cot < cotb IV. bölgede > b ise sin > sinb cos > cosb tn > tnb cot < cotb nı bölgede büük oln çının tnjntı büüktür. nı bölgede büük oln çının kotnjtı küçüktür. noktsının psisi noktsının psisinden büük olduğundn cosb > cos dir. ÖRN (, ) üçgen m() = = noktsının ordintı noktsının ordintındn büük olduğundn tn > tnb dır. = (7, 0) un göre, tn ve cot değerlerini bullım. (, ) H 7 noktsının psisi noktsının psisinden büük olduğundn cotb > cot dir. H nde tn =, cot = bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

48 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ir Genifl ç n n Trigonometrik rnlr = cos < 0 b = sin > 0 (, b) b Yni; + b = 80 ise sin = sinb cos = cosb tn = tnb cot = cotb ¾ ¾ Genifl ç n n kosinüsü negtiftir. Genifl ç n n sinüsü pozitiftir. ÖRN (b, ) = = tn < 0 b = cot < 0 dik üçgen m() = = birim = birim (, ) = un göre, sin, cos, tn, cot değerlerini bullım. ¾ ¾ Genifl ç n n tnjnt negtiftir. Genifl ç n n kotnjnt negtiftir. isgor teoremi ile = birim olup Genifl ç n n trigonometrik ornlr için bu ç lr n bütünler ç lr n n trigonometrik ornlr lınır. Genifl ç n n; Sinüsü erine bütünlerinin sinüsü osinüsü erine bütünlerinin kosinüsünün kt (ters işretlisidir) Tnjnt erine bütünlerinin tnjnt n n kt (ters işretlisidir) otnjnt erine bütünlerinin kotnjnt n n kt (ters işretlisi) l n r. ile b bütünler çı olduğundn, sin = sinb = cos = cosb = tn = tnb = cot = cotb = bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

49 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi tkinlik Zmn 8 şğıdki ifdelerde boş bırkıln erleri ugun trigonometrik ornlrl doldurunuz.. m() = 0 [H]. = m() = l = {} 0º H º H =... =.... H 0º m() = 0 [H]. = º m() = [] l = {} H =... =.... =. m() = l = {} m() = [] º º l = {} = =... =... 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

50 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi tkinlik Zmn 9 şğıdki ifdelerde boş bırkıln erleri ugun trigonometrik ornlrl doldurunuz.. dikdörtgen m() = m() = b. / m ( ) = 80 / m ( ) = o o = birim = birim º 80º cos tnb =... =.... m() =. m() = [H] [] H H = 0, birim cosº H = cos º H =... =.... m() = m() = b = = birim. dikdörtgen = birim = birim = birim =... tn =... 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

51 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi rlel ki o runun ir esenle Ypt ç lr SNUÇLR :. c b d // ise + = 80º z t ¾ ile c ters ç d r, = c b ile d ters ç d r, b = d. // ise + + = 0º l // l ise ¾ ile öndefl ç lrd r, = ¾ d ile t öndefl ç lrd r, d = t ¾ b ile öndefl ç lrd r, b = ¾ c ile z öndefl ç lrd r, c = z. // ise = 0º ¾ d ile krfl durumlu ç lrd r, d + = 80 Yukrıdki sonuçlrı genellersek : ¾ ¾ c ile krfl durumlu ç lrd r, c + = 80 c ile iç ters ç lrd r, c =. // ise = k. 80º ¾ ¾ d ile iç ters ç lrd r, d = ile z d fl ters ç lrd r, = z rlel iki do ru rs ndki k r k çizgi s s ¾ b ile t d fl ters ç lrd r, b = t. // ise = +. // ise + + = + 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

52 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi 7. [ // [ [ // [ ise = ÖRN º 0º [ // [ // [ m() = 0 m() = 8. [ // [ [ // [ ise un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. = 9. º [ // [ [ // [ ise + = 80º 0º º 0º 0. [ // [ ve ve krfl durumlu ç lr oldu undn, [ [ [ [ ise + = 80º m() + m() = m() = 80 m() = 0 dir. hlde,. [ // [ ve ve iç ters çılr oldu- undn, m() = m() [ [ [ [ ise = m() = + 0 m() = bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

53 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN 00º 0º M L // [L] çıort [M çıort m() = 00 m() = 0 0º 8º 78º // m() = 0 m() = 8 m(l) = 78 L un göre, LM ç s n n ölçüsünü bull m. un göre, L ç s n n ölçüsünü bull m. 0º 0º 0º 0º M 0º L 00º 70º 0º 70º 98º H 80º 0º 8º º 78º L m() + m() = m() olduğundn, m() + 0 = 00 m() = 0 olup oğru çı tnımındn, m(l) = 0 ve m(m) = 70 dir. hlde, m(l) = m(l) + m(m) m(l) = m(l) = 0 olısıl, m(lm) = 0 bulunur. [ ve [L çizilirse H noktsınd kesişirler. m() + m(h) = m(h) = 80 m(h) = 98 olup m(h) + m(l) = 80 oldu undn m(h) + 78 = 80 m(h) = 0 ve H nde m(h) = 80 bulunur. ölece, m(h) + m(hl) = m(hl) 0 + m(hl) = 80 m(hl) = 0 bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

54 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN [ // [ I. 8º II. º 70º 0º 0º m() = 70 m() = 0 m() = 0 III. º IV. º un göre, n n ölçüsünü bulım. º 78º 0º 0º V. 0º 0º 70º 70º 0º 0º L uztılırs öndeş çılrdn, 0º 0º Yukrıdkilerin kç tnesinde l // l olduğunu bullım. m(l) = 70 olur. ölece, L dörtgeninde, iç çılrın ölçüleri toplmı 0 olduğundn, II. şekilde öndeş çılr zılırs, + = 80 olup l // l dir. V. şekilde öndeş çılr zılırs, = 80 olup l // l dir. iğer şekillerde ise l ve l kesişen doğrulrdır. 0º 70º L 0º m() = 0 m() = 00 bulunur. Yukrıdki örneği noktsındn [ n prlel çizerek çözmee çlışınız. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

55 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST. 0º fiekilde l // l m() = 0. 0º fiekilde l // l [ ç ort [] ç ort m() = 0 un göre, frk kç derecedir? un göre, ç s n n ölçüsü kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) 00 ) 0 ) 0 ) ) 0 ). 87º [ // [ m() = 87 m() = m(). fiekilde l // l [] ç ort [] ç ort un göre, ç s n n ölçüsü kç derecedir? ) ) 8 ) 0 ) 8 ) 0 un göre, ç s n n ölçüsü kç derecedir? ) 70 ) 7 ) 8 ) 90 ) 9. º º [ // [ m() = m() =. L z 0º 00º fiekilde [ // [ // [ // [L m() = 00 m() = 0 un göre, ç s n n ölçüsü kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) 00 un göre, + z nin de eri kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı......

56 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST º [ // [ m(t) = + 0. fiekilde l // l m() = 80 80º m() = º m() = 0 + º m(t) = 80 0º 80º m() = 80 T un göre, kç derecedir? ) ) 0 ) ) ) un göre, ç s n n ölçüsü kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) 0 8. [ // [ m() = 0 0º m() = m() m() = m(). 0º fiekilde l // l m() = 0 m() = m() m() = m() un göre, ç s n n ölçüsü kç derecedir? ) 7 ) 8 ) 90 ) 00 ) 0 un göre, ç s n n ölçüsü kç derecedir? ) 70 ) 7 ) 8 ) 90 ) [ // [. [ // [ 9º m() = 9 m() = m() m() = m() º º º m() = m() = m() = un göre, ç s n n ölçüsü kç derecedir? ) 98 ) 9 ) 9 ) 8 ) 8 un göre, ç s n n ölçüsü kç derecedir? ) 9 ) ) ) ) 9 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

57 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST. 0º 00º l // l // l m() = 00 m() = 0 [] çıort. 0º // [] çıort [] çıort m() = 0 m() = m() = un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 un göre, kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0. [ // N [] // []. º // m() = 0º 0º N m(n) = 0 m() = 0 º T 0º m() = m() = m(t) = 0 un göre, m() kç derecedir? ) ) ) 0 ) ) 0 un göre, m() kç derecedir? ) ) ) 0 ) ). 0º [ // [ [ // [] m() = 0. 0º 0º 0º [ // [ [ // [] m() = 0 m() = 0 m() = 0 un göre, m() = kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) 70 ) 7 un göre, m() = kç derecedir? ) 90 ) 00 ) 08 ) 0 ) 7 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı......

58 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST 7. º N L 9º M R S [L // [NS m(mr) = 9 m(rns) = 0. 0º 0º 0º l // l [] çıort [] çıort m() = 0 m() = 0 m() = 0 un göre, m(l) kç derecedir? ) 7 ) 8 ) 0 ) ) un göre, m() = kç derecedir? ) 8 ) 80 ) 7 ) ) º [ // [ m() = 00 m() = 00. 7º [ // [ = = m() = 7 00º 0º 0º m() = 0 m() = 0 m() = un göre, m() kç derecedir? ) 00 ) 0 ) 0 ) ) 0 un göre, m() = kç derecedir? ) 0 ) 8 ) 7 ) ) 9. [ // [ m() = 00 m() = 0 00º m() = 80 0º 80º un göre, m() kç derecedir? ) 80 ) 7 ) 70 ) ) 0. 0º L un göre, m() kç derecedir? [ // [ [] çıort [] çıort m(l) = 0 m() = m() = m() = 0 = 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

59 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi İr oğrunun enklemleri üzlemde bir ( 0, 0 ) nokts ndn geçen ve er vektörü u = ( p, q) oln do ruu ele ll m. u = (p, q) (, ) // u = k. u ( 0, 0 ) ölece l doğrusunun, Vektörel denklemi : ( 0, 0 ) = k(p, q) o rultmn vektörü : u = (p, q) ÖRN nlitik düzlemde, (, ) noktsındn geçen ve d = (, ) vektörüne prlel oln doğrunun vektörel, prmetrik ve kplı denklemlerini bullım. d = (, ) (, ) (, ) l doğrusu üzerinde değişken (, ) noktsı llım. rmetrik denklemi : = k. p + 0 = k. q + 0 fleklinde z lbilir. hlde, l // d olduğundn, // d olup = k. d zılbilir. rmetrik denklemden elde edilen k de erleri eflitlenerek do runun kpl denklemi, biçiminde z lbilir. + b + c = 0 urdn, = = (, ) olup = k. d (, ) = k(, ) (, ) = (, ) + k(, ) vektörel denklemi olup rşılıklı bileşenler eşitlenerek, = + k = + k _ b ` prmetrik denklemi ve b k prmetreleri eşitlenerek, ÖRN nlitik düzlemde vektörel denklemi, (, ) = (, ) + k(, ) oln doğrunun doğrultmn vektörü, prmetresi ve üzerindeki bir noktı bullım. k = = = 0 = 0 kplı denklemi bulunur. oğrultmn vektörü : d = (, ) rmetresi : k Üzerindeki bir nokt : (, ) dır. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

60 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN oordint düzleminde, (, ) ve (, ) noktlrındn geçen doğrunun vektörel, prmetrik ve kplı denklemlerini bullım. (, 0) (0, ) (, ) d (, ) (, ) nü l doğrusunun bir doğrultmn vektörü olrk lbiliriz. hlde, d = = = (, ) zılbilir. Yukrıdki koordint sisteminde, l ve [] // l olduğun göre, l doğrusunun vektörel denklemini bullım. d = (, ) (, ) [] // l olduğun göre, (, ) d // olup = k. d eşitliğinden, (, ) = k(, ) (, ) = (, ) + k(, ) Y (, ) = (, ) + k(, ) vektörel denklemini elde ederiz. rşılıklı bileşenler eşitlenerek, _ = k + b ` prmetrik denklemi ve = k + b k prmetreleri eşitlenerek, = eşitliği ile = 0 kplı denklemi bulunur. // l olcğındn, vektörü l doğrusunun doğrultmn vektörü olrk lınbilir. hlde, = = (, ) = d d = (, ) (, ) T(, ) ölece, doğrunun vektörel denklemi, T = k. d eşitliği ile (, ) = (, ) + k(, ) bulunur. UYRI ir doğrunun sonsuz tne prmetrik denklemi olbileceğini düşünelim... 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

61 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN rmetrik denklemi, = k + ve = k oln doğrunun vektörel denklemini bullım. = k + = k... À = k + = k... Á À. ve Á. denklemlerden ÖRN 7 + = 0 doğrusunun prmetrik denklemlerinden bzılrını zlım. = k = k + = k + = k + = k = k = k + = k denklemleri + = 0 doğrusunun prmetrik denklemlerinden bzılrıdır. (, ) + (, ) = k(, ) Y l : (, ) = (, ) + k(, ) bulunur. ÖRN 8 d = (, ) (, ) T(, ) oordint düzleminde, (, ) ve (, ) noktlrındn geçen doğrunun denklemini bullım. (, ) (, ) l doğrusunun doğrultmn vektörü olrk nü lbiliriz. ÖRN hlde, d = = = (, 9) olup plı denklemi, = + oln doğrunun prmetrik denklemini bullım. d = (, 9) (, ) (, ) rmetrik denklem, bir doğru üzerindeki noktlrın bir prmetree bğlı olrk zılmsıdır. hlde, = k dielim. ölece, = k + olup = k = k + _ b denklemi = + do rusunun ` bir prmetrik denklemidir. b = k. d (, ) = (, ) + k(, 9) vektörel denklemi, _ = k + b ` prmetrik denklemi = 9k b ve k lerin eşitlenmesi ile = + olup = 0 kplı denklemi bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

62 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN 9 İr oğrunun Ğİmİ ir do runun ekseni ile pozitif önde pt ç e im ç s ve bu ç n n tnjnt n do runun e imi denir ve e im m ile gösterilir. d irim krelere rılmış koordint düzleminde d ne prlel olup noktsındn geçen doğrunun vektörel, prmetrik ve kplı denklemlerini bullım. ¾ l do rusunun e im ç s ¾ l do rusunun e imi m = tn d = (, ) ve (, ) olup NT : d = (, ) (, ) 0 < < 90 tn > 0 90 < < 80 tn < 0 + b = 80 tn = tnb tn i = b l doğrusunun, b Vektörel denklemi : (, ) = (, ) + k(, ) ÖRN rmetrik denklemi : = k + = k + k lerin eşitlenmesi ile ğim çısı 0 oln bir doğrunun eğimini bullım. ğim çısı 0 oln doğru şğıdkilerden biri gibidir. plı denklemi : = = 0 bulunur. 0º 0º 0º hlde, eğim = m = tn0 = bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

63 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi SNUÇLR : ÖRN ¾ ir doğru ekseninin sğ trfın tık ise eğimi pozitiftir. Yukrıdki l, l, l doğrulrın n eğimleri pozitiftir. Verilenlere göre, l do rusunun e imini bull m. ¾ ir doğru ekseninin sol trfın tık ise eğimi negtiftir. Yukrıdki l, l, l doğrulrın n eğimleri negtiftir. ¾ ir doğru eksenine dik ise eğimi oktur. Çünkü eğim çısı 90 olduğundn tn90 = tnımsız., l do rusunun e im ç s d r. hlde, e im m = tn d r. m = tn = bulunur. ÖRN l ve l doğrulrının eğimleri oktur. rijinden ve (, ) noktsındn geçen doğrunun eğim çısının ölçüsünü bullım. ¾ ir doğru eksenine dik ise eğimi s f rd r. Çünkü eğim çısı 0 olduğundn tn0 = 0 dır. Şekle göre, m() = 0 olduğundn, Yukrıdki l ve l doğrulrın n eğimleri s f rd r. l doğrusunun eğim çısı 80 0 = 0 bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

64 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN Verilenlere göre, l do rusunun e imini bull m. çısı l do rusunun e im ç s d r. hlde, dik üçgeninde, tn = = olup e im = m = tn = bulunur. ÖRN çısı l do rusunun e im ç s d r. Trlı üçgene bkrsk, > 90 olduğu görülür. olısıl, m = tn < 0 bulunur. + b = 80 oldu undn tn = tnb d r. tnb = olup l do rusunun e imi m = tn = bulunur. Verilenlere göre, l do rusunun e imini bull m. ÖRN çısı l do rusunun e im ç s d r. hlde, + b = 80 olup tn = tnb z lbilir. urdn tnb = olup l do rusunun e imi Verilenlere göre, l do rusunun e imini bull m. m = tn = bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

65 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN 7 ki Nokts ilinen o runun imi (, ) (, ) Verilenlere göre, l ve l do rulr n n e imleri toplmını bull m. l do rusunun e imi m = tn = UYRI. rdintlr rk m = = (sırlmı bozmdn). psisler rk ¾ ir vektörün tşııcı doğrusunun eğimi, vektörün eğimidir. l do rusunun e imi m = tn = l do rusunun e imi m = tnb = m + m = = bulunur. ve olup ÖRN oordint düzleminde (, ) ve (, ) noktlrındn geçen doğrunun eğimini bullım. I. Yol : ÖRN 8 (, ) (k + ) = 0 ekseninin pozitif önü ile geniş çı ptığın göre, k nin en büük tmsı değerini bullım. ir doğrunun ekseninin pozitif önüle ptığı çı eğim çısı ve bu çının tnjnt değerine eğim dediğimizi htırllım. Geniş çının tnjnt değeri negtif olduğundn, (k + ) = 0 doğrusunun eğimi negtiftir. hlde, (k + ) = 0 doğrusunun eğimi, m = k + < 0 olup k < k nin en büük tmsı değeri bulunur. (, ) ( ) l doğrusunun eğimi, m = = = bulunur., II. Yol : (, ) H (, ) l doğrusunun eğimi m = tn dır. H nde, tn = = bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

66 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi NT : ¾ üzlemde iki do ru birbirine prlel ise e imleri eflittir. noktsı, noktsının birim sğ ve birim ukrı ötelenmesi ile elde edilmiştir. // ise m = m birim birim birim birim ¾ üzlemde iki do ru birbirine dik ise e imleri çrp m ( ) dir. m = tn = = ir vektör, sonsuz sıd doğrunun doğrultmn vektörü olbilir. ise m. m = (şğıdki şekli inceleelim.) = m + n "irinin eğimi, diğerinin eğiminin çrpm işlemine göre tersinin ters işretlisidir." n = m + n n d = (, m) = m + n n ÖRN oordint düzleminde denklemleri, "Yukrıdki tüm doğrulrın bir doğrultmn vektörü olrk d nü lbiliriz." l : (k ) + n = 0 l : + + = 0 oln doğrulr birbirine prlel olduğun göre, k sısını bullım. ¾ + b + c = 0 do rusunun, c ) eksenini kesti i nokt = 0 için = d r. c b) eksenini kesti i nokt = 0 için = d r. b l // l olduğundn, k + n =! eşitliğinden, c) imi ve genel bir ifde ile b ( inktss ) m = şeklinde düşünebiliriz. ( nin kts s ) k + = k + = olup k = bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

67 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN l l un göre, köşesinin psisini bullım. Yukrıd l l olduğun göre, noktsının psisini bullım. dik üçgenine bkılrk, noktsının psisine k dielim. l doğrusunun eğimi m = dik üçgenine bkılrk, l doğrusunun eğimi : m tn = = k k l doğrusunun eğimi m = olup k l l olduğundn m. m = olmlıdır.. f p = k = bulunur. k l doğrusunun eğimi : m tn = b = olup k l l ise m. m = olmlıdır. 8 hlde,. f p = & k = bulunur. k 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

68 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN oordint düzleminde denklemleri, l : + = 0 l : n + = 0 doğrulrı birbirine dik ise n değerini bullım. ik doğrulrın eğimleri çrpımı ( ) dir. ÖRN 7 + = 0 doğrusun prlel olup (, ) noktsındn geçen doğrunun denklemini bullım. rlel doğrulrın eğimleri eşittir. + = 0 (, ) l : + = 0 doğrusunun eğimi : m = n l : n + = 0 doğrusunun eğimi : m = l l m. m = olcğındn,. ( n ) = n = 8 bulunur. l : + = 0 doğrusunun eğimi : m = olup l // l olcğındn, l doğrusunun eğimi m = olmlıdır. hlde, m = (, ) l doğrusunun denklemi, = ( ) + 8 = 0 bulunur. ÖRN (, ) nokts ndn geçen ve + = 0 do rusun dik oln do runun kpl denklemini bull m. rnn do ru + = 0 do rusun dik oldu undn e imi olml d r. imi oln do runun denklemi = + n olup (, ) nokts n d s lc ndn, u durumd, (, ) = + n = ( ) + n olup, n = bulunur. ÖRN 8 (, ) nokts ndn geçen ve = + do rusun prlel oln do runun kpl denklemini bull m. rnn do ru = + do rusun prlel olc ndn e imi olml d r. hlde denklemi de, = + n olur ki bu do ru (, ) nokts ndn geçti ine göre noktn n koordintlr denklemi s lml d r. u durumd, (, ) erine zl m erine zl m = + n = ( ) + n olup n = bulunur. ölece istenen do ru = + elde edilir. ölece istenen do ru = + elde edilir. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

69 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN 9 ÖRN 0 nlitik düzlemde, (, ) ve (k, ) noktlrındn geçen doğrunun eksenine prlel olmsı için k değerini bullım. nlitik düzlemde, (k, p + ) ve (p +, k ) noktlrındn geçen doğrunun, I. Yol : eksenine prlel oln doğrulr ekseni ile dik çı pck şekilde kesişirler. ) ğiminin sıfır olmsı için b) ğiminin olmmsı için p ile k rsındki bğıntıı bullım. ) ğimin sıfır olmsı için doğrunun eksenine prlel olmsı gerekir. Yni verilen noktlrın ordintlrı eşit olmlıdır. hlde, (, ) (k, ) hlde, p + = k p k = bulunur. k = olmlıdır. b) ğimin olmmsı için doğrunun eksenine prlel olmsı gerekir. Yni verilen noktlrın psisleri eşit olmlıdır. ölece, k = bulunur. II. Yol : oğru eksenine dik durumlu olduğundn eğimsiz olmlıdır. ( 0,... ) ( 0,... ) 0 hlde, eğim = m = ordintlr frk psisler frk olup psisler frkı 0 olmlıdır. (k ) = 0 k = bulunur. hlde, k = p + k p = 9 bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

70 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN nlitik düzlemde, (, ) ve (, n ) noktlrındn geçen doğrunun eksenine prlel olmsı için n değerini bullım. tkinlik Zmn 0 şğıdki boflluklr doldurunuz. oğru ğimi. + = 0 I. Yol :. (, ) = (, ) + k(, ) = k +. = k 7 (, n ). = = 0. (, ) = (, ) + k(, ) 7. 9 = 0 n = olup n = bulunur. 8. II. Yol : eksenine prlel doğrulrın eğimleri 0 olup ordintlr frk eğim = m = = 0 psisler frk n = 0 n = bulunur. ( ) 9. ÖRN = + k doğrusu üzerindeki ve noktlrı rsındki uzklık birim olduğun göre bu noktlrın psisleri frkını bullım. ğim = m = ise tn = olup eğim çısı = 0 dir. 0. = = + k. 0º hlde, = birim bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 70

71 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi imi ve ir Nokts ilinen o ru enklemi imi m ve üzerindeki bir nokts (, ) oln do runun denklemi, (, ) (, ) m = e im = NT : rmetrik denklemi, = pk + t = qk + r oln doğrunun eğimi p q dir. l do rusunun denklemi : = m( ) dir. ÖRN ÖRN oordint düzleminde, eğimi ve (, ) noktsındn geçen doğrunun kplı denklemini bullım. I. Yol : ğimi, m = ve (, ) noktsındn geçen doğrunun denklemi, = ( ) = 0 bulunur. Yukrıd l doğrusunun kplı denklemini bullım. (, 7) II. Yol : ğimi m = oln doğrunun bir doğrultmn vektörü d= (,) lınbilir. hlde, = k. d olup d = (, ) (, ) (, ) (, ) = k(, ) vektörel denklemi, _ = k + b ` prmetrik denklemi = k + b k = = olup = 0 kplı denklemi bulunur. (0, ) l doğrusu (0, ) ve (, 7) noktlrındn geçmektedir. 7 un göre, doğrunun eğimi, m, = = olup 0 m = (0, ) l doğrusunun denklemi, = ( 0) 9 = 0 elde edilir. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

72 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN oordint düzleminde köşelerinin koordintlrı, (, ), (, ) ve (7, ) oln üçgenindeki kenrın it kenrortı tşın doğrunun denklemini bullım. kre = (, ) Yukrıdki koordint düzleminde l doğrusunun denklemini bullım. (, ) (7, ) l doğrusu [] kenrortını tşın doğrudur. noktsının koordintlrı, + 7, + f p (, ) (, ) l doğrusunun eğim çısın dielim. // olduğundn m() = dir. = olup k k k k (, ) (, ) (7, ) hlde, l doğrusunun eğimini bulbiliriz. dik üçgeninde tn = olduğundn, (, ) l doğrusunun eğimi dir. ölece, l doğrusunun denklemi, (, ) = bulunur. m l = ordintlr frk psisler frk = = olup l doğrusunun denklemi = + bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

73 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN dikdörtgen l : + n = 0 (, ) () = br un göre, dikdörtgenin köşesinin ordintını bullım. m() = dielim. l doğrusunun eğimi olduğundn, tn = tn = olup dik üçgeninde = olcğındn = k, = k diebiliriz. Yukrıd birim krelere rılmış koordint sisteminde ve noktlrındn geçen l doğrusunun denklemini bullım. (, ) noktsındn birim sğ ve birim şğı giderek orijini bullım. (, ) hlde, (0, 0) k k ölece, (0, ) ve (, 0) olup l doğrusunun eğimi m l = 0 ( ) 0 = tür. () = k. k = ölece, l doğrusunun denklemi, k = k = k = olup (0, ) (, 0) m = köşesinin ordintı k = bulunur. 0 = ( ) + = 0 bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

74 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ki Nokts ilinen o runun enklemi (, ) ve (, ) noktlr l do rusu üzerinde iki nokt olsun. (, ) (, ) ksenleri esti i Noktlr ilinen o runun enklemi eksenini (, 0) ve eksenini (0, b) noktlrınd kesen doğrunun denklemi ; b (, ) (, ) noktsı do ru üzerinde de iflken bir nokt olsun. m = m olc ndn, = bulunur. l do rusunun denklemi + = b (escrtes doğru denklemi) Y e im = m = olup e imi ve bir nokts bilinen do rusunun denklemi ile de bulunbilir. NT : ikkt edilirse koordint sisteminin en temel kvrmının eğim olduğunu söleebiliriz. ÖRN oordint sisteminde (, ) ve (, ) noktlrındn geçen doğrunun denklemini bullım. ÖRN (0, ) (, ) noktsı l doğrusu üzerinde değişken bir nokt olsun. (, 0) (, ) (, ) (, ) oordint sisteminde verilen l doğrusunun denklemini bullım. m = m olcğındn, ( ) = eşitliğinden, l doğrusunun denklemi + 7 = 0 bulunur. l doğrusunun denklemi, + = eşitliği ile + = 0 bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

75 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi tkinlik Zmn fl d grfiği verilen doğrulrın kplı denklemlerini zınız... :... :..... :... : :... : :... :... 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

76 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi z Özel o rulr = doğrusu üzerindeki tüm noktlrın psisleri eşit olup dır, ordintlrı herşe olbilir. (, ) º = m doğrusu üzerindeki tüm noktlrın ordintlrı psislerinin m ktıdır. (, m) = m (, ) (, 0) (, ) tn = m = = b doğrusu üzerindeki tüm noktlrın ordintlrı eşit olup b dir, psisleri herşe olbilir. (, b) (0, b) (, b) = b ki o runun irbirine Göre urumu enklemleri, l : + b + c = 0 l : + b + c = 0 oln do rulr için; b c =! ise l b c ve l prleldir. = doğrusu üzerindeki tüm noktlrın psisleri ordintlrın eşittir. I. ç ort do rusu º º = b c = = ise l b c ve l çk fl kt r. ¹ = doğrusu üzerindeki tüm noktlrın psisleri ordintlrının zıt işretlisidir. = b! ise l b ve l bir noktd kesiflir. º º = {} II. ç ort do rusu 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

77 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN oordint düzleminde (, ) noktsının eksenlere uzklıklrı toplmını bullım. nokts n n eksenine uzkl nokts n n eksenine uzkl (, ) ÖRN oordint düzleminde denklemleri, l : + = 0 l : + b + = 0 oln doğrulr çkışık olduğun göre, ve b değerlerini bullım. l ve l çkışık olduğundn, = = = ve b = bulunur. b noktsının eksenine uzklığı birim noktsının eksenine uzklığı birim dir. hlde noktsının eksenlere uzklıklrı toplmı + = 0 birim bulunur. NT : ( 0, 0 ) noktsının, eksenine uzklığı 0 birim eksenine uzklığı 0 birim = c doğrusun uzklığı 0 c birim = c doğrusun uzklığı 0 c birim orijine uzklığı + birimdir. 0 0 ÖRN oordint düzleminde denklemleri, l : + 7 = 0 l : k + = 0 oln doğrulrın bir noktd kesişmesi için k nin hngi değeri lmcğını bullım. l ve l doğrulrının bir noktd kesişmesi için,! olmlıdır. k hlde, k = olmz. ÖRN oordint düzleminde (k, k + ) noktsı eksenlere eşit uzklıkt olduğun göre, k nin değerlerini bullım. (k, k + ) noktsının, eksenine uzklığı k + eksenine uzklığı k dir. hlde, k = k + eşitliğinden, k = k + d k = k k = d k = bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 77

78 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi İİ ĞRUNUN SİŞM NTSI ÖRN. Yol : enklemleri verilen iki doğrunun kesim noktsının koordintlrını bulmk için ortk denklemlerin oluşturduğu sistemi çözeriz. 0 = {} ÖRN nlitik düzlemde, + = 0 ve + 9 = 0 doğrulrının kesim noktsının koordintlrını bullım. Yukrıdki l ve l doğrulrının kesim noktsının koordintlrını bullım. enklemleri trf trf çözelim. = / = 9 =, = bulunur. hlde kesim noktsı (, ) bulunur. H 0 noktsındn eksenine dikme inelim.. Yol : Grfikleri çizilmiş iki doğrunun kesim noktsındn d eksenine dikme inip eğim çılrını d kullnrk kesim noktsını bulbiliriz. H tn = H nde = H H tnb = H nde = H hlde, (, ) zılbilir. = 8 = = olup 8 H esim noktsının koordintlrı, (, ) olup Yukrıd [H]; H ve H dik üçgenlerinde ortk kenrlr olup ve b çılrının tnjnt değerleri ile kolc bulunbilir. 9 f 8, p & f, p bulunur S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 78

79 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN şğıdki l ve l doğrulrı noktsınd kesişmektedir. un göre, l ve l doğrulrının kesim noktsının koordintlrını bullım. ÖRN Yukrıd l ve l doğrulrının kesim noktsının koordintlrını bullım. 9 8 H H l doğrusunun eğimi : m tn = = H nde H H = l doğrusunun eğimi : m tn = = H nde H H = l doğrusunun eğimi : m tn = b = H nde H = olup H H H =, = ( 8, ) olur. H 8 H 9 l doğrusunun eğimi : m tn = b = H nde H H H H = olup H =, = (, ) olur. H = 0 = = olup ölece, noktsının koordintlrı, f, p f, p bulunur. = 7 = 7 = 7 7 olup ölece, noktsının koordintlrı, f, p f, p bulunur UYRI Yukrıdki üç örnekte doğru denklemleri bulunup trf trf çözülerek de kesim noktsının koordintlrı bulunbilirdi. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 79

80 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN 0 N M 0, m 0, m L 0, m m R m H Şekildeki merdivenin bsmklrının üksekliği 0 cm, derinliği cm dir. Şekilde R noktsındn bşln engelli rmpsının eğimi % 0 dur. Yerden üksekliği birim oln bu rmpnın eğimi % 8 olsdı rmpnın hngi noktdn bşlcğını bullım. u merdivenin eğimini bullım. m R H ngelli rmpsının eğimi % 0, 0 Merdivenin eğimi l doğrusunun eğimine eşit olup 0 Yni, eğim = m = 00 tn = 0 hlde, H olup RH RH = ise, 0 = dur. 0 = RH = 0 metre dir. 0 Rmpnın eğimini % 8 = pmk için, m 0 m = tn = = bulunur. 8 T tnb = = HT =, metre olup HT Rmp H noktsındn, metre soldki N noktsındn bşlmlıdır. H 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 80

81 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN 7 ÖRN 8 = ve = doğrulrı rsındki çıı bullım. birim = doğrusunun eğimi, m = olup eğim çısı 0 ve Yerden üksekliği metre oln şekildeki kdırğın eğimi 0, dır. u kdırğın uzunluğunu bullım. = doğrusunun eğimi, m = olup eğim çısı dir. = = º 0º birim eğim = m = tn olup () nde hlde, doğrulr rsıdki çı, 0 = bulunur. ÖRN 9 tn = = 0, = metre olup dik üçgeninde isgor teoremi ile, Vektörel denklemi, (, ) = (, ) + k(, ) oln doğru üzerinde psisi oln noktnın ordintını bullım. = 9+ = metre bulunur. Vektörel denklem prmetrik hle getirilirse, = k ve = + k bulunur, = verilmiş, o hlde, = k k = olup = + k = +. = bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

82 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN 0 ÖRN 8 doğrusunun eğimi olduğun göre, Yukrıd birim krelere rılmış zeminde verilen doğrulrın eğimlerini küçükten büüğe doğru sırllım. doğrusunun eğimini bullım. doğrusunun eğimi olduğundn, l doğrusunun eğimi, m = = l doğrusunun eğimi, m = = 8 tn = nde, = = birim olur. 8 l doğrusunun eğimi, m = = l doğrusunun eğimi, m = l doğrusunun eğimi, doğrusunun eğimi, tnb = bulunur. m = 0 hlde doğrulrın eğimlerinin küçükten büüğe sırlnışı, m < m < m < m < m şeklindedir. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

83 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi tkinlik Zmn şğıdki ifdelerde boş bırkıln erleri verilen ugun ifdelerle doldurunuz.. nı doğru üzerinde bulunn noktlr... noktlrdır.. ni ve üksekliği olmn, düz ve uzunluğu sürekli iki öne uztılbilen terim...dur.. ir doğru üzerinde bir noktdn bşlıp ine doğru üzerinde düz olrk sürekli tek öne uztılbilen uzunluğu sınırsız geometrik terim... dir.. Herhngi bir büüklüğü olmn ve er belirten geometrik terim... dır.. ir doğru üzerindeki herhngi iki nokt ve bu noktlr rsınd kln tüm noktlr kümesine.... denir.. Uzunluğu ve genişliği her önden sınırsız, klınlığı bulunmn geometrik terim... dir. 7. Tüm noktlr kümesine... denir. 8. ir odnın içi... olrk düşünülebilir. 9. üzlemde iki doğrunun... frklı konumu vrdır. 0. Uzd iki doğrunun... frklı konumu vrdır.. nı düzlemde olup kesişmeen doğrulr... denir.. Ylnız bir ortk noktsı oln doğrulr... denir. + oğru prçsı + Uz + ört + oğrusl + oğru + rlel + esişen + üzlem + Nokt + Üç + Uz modeli + Işın 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

84 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi tkinlik Zmn şğıdki ifdelerde boş bırkıln erleri verilen ugun ifdelerle doldurunuz.. n z ikişer noktsı ortk oln doğrulr... denir.. rklı düzlemlerde olup kesişmeen ve prlel olmn doğrulr... denir.. rklı ve kesişen iki düzlem... bounc kesişir n tne frklı doğru bir düzlemi en z... tne bölgee, en fzl... tne bölgee ırbilir. n tne frklı düzlem uzı en z... tne bölgee, en fzl... tne bölgee ırbilir. ir doğrunun herbir noktsı ile gerçek sılrın birebir eşlenmesi sonucu oluşturuln pı... denir. ir gerçek sının koordint doğrusu üzerinde eşlendiği noktnın bşlngıç noktsın uzklığın o sının... denir. 8. Yönü nı oln eş doğru prçlrın... doğru prçlrı denir. 9. oordint doğrusund uzunluğu eşit ve önlü doğru prçlrın... denir. 0. oordint doğrusund eş önlü doğru prçlrının kümesine... denir.. Yönleri ters oln vektörlere... vektörler denir.. Uzunluğu birim oln vektöre... denir. + ir doğru + n, n 0 n n n + f p+ f p+ f p+ f p + Mutlk değeri + kırı + Çkışık + ş önlü + oordint doğrusu + irim vektör + Zıt önlü + Vektör n(n+ ) + n+, + + ş önlü doğru prçlrı 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

85 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi tkinlik Zmn şğıdki ifdelerde boş bırkıln erleri verilen ugun ifdelerle doldurunuz.. ne eş ve bşlngıç noktsı orijinde oln vektöre nün... denir.. nlitik düzlem bileşenler reel sı oln... den oluşur.. şlngıç noktlrı nı oln iki ışının bileşimine... denir.. üzlemde sbit bir noktdn birim uzklıktki noktlrın kümesine... denir.. Yrıçp uzunluğund ı gören merkezdeki çı... denir.. 7. ir çının bir kenrındn diğer kenrın stin tersi önde gidildiğinde oluşn çı... önlüdür. ir çının bir kenrındn diğer kenrın st önünde gidildiğinde oluşn çı... önlüdür. 8. ir doğrunun doğrultmn vektörü doğru... dir. 9. ir doğrunun... çoklukt prmetrik denklemi zılbilir. 0. ir doğrunun ekseni ile pozitif önde ptığı çı... ve bu çının tnjntın doğrunun... denir ve... ile gösterilir.. ir doğru ekseninin sğ trfın tık ise eğimi... tür.. ir doğru ekseninin sol trfın tık ise eğimi... tür. + Sırlı ikililer + irim çember + Negtif + Sonsuz + onum vektörü + ozitif + ğim çısı, eğimi, m + rlel + Sıfırdn büük + Sıfırdn küçük + rdn + çı 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

86 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi tkinlik Zmn şğıdki ifdelerde boş bırkıln erleri verilen ugun kelimelerle doldurunuz.. ir doğru eksenine dik ise... oktur.. ir doğru eksenine dik ise eğimi... dır.. üzlemde iki doğru prlel ise eğimleri... tir.. üzlemde iki doğru dik ise eğimleri çrpımı... dir.. + b + c = 0 doğrusunun eğimi... dir.. (, ) ve (, ) noktlrındn geçen doğrunun eğimi... dir. 7. = doğrusu üzerindeki tüm noktlrın psisleri... dır, ordintlrı... olbilir. 8. = b doğrusu üzerindeki tüm noktlrın ordintlrı... dir, psisleri... olbilir. 9. = m doğrusu üzerindeki tüm noktlrın ordintlrı psislerinin... ktıdır. 0. (, b) noktsının eksenine uzklığı..., eksenine uzklığı...ve orijine uzklığı... dir.. = p doğrusu üzerindeki tüm noktlrın koordintlrı toplmı... dir.. + b + c = 0 ile b + c = 0 doğrulrı... iki doğrudur. + şit +, her şe + b, her şe + Sıfır + b,, + b + dik kesişen + ğimi + m + p + + b + 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

87 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST. Herhngi bir büüklüğü olmn ve er belirten geometrik terimi şğıdkilerden hngisi ile nlmlndırbiliriz? ) Nokt ) oğru ) Işın ) üzlem ) oğru prçsı. ir düzlemin doğrusl olmn en z kç frklı noktsı vrdır? ) ) ) ) ). Uzunluğu ve genişliği, düz ve sınırsız genişletilebilen fkt klınlığı bulunmn geometrik terim şğıdkilerden hngisidir? ) üzlem ) Uz ) oğru. Uzın düzlemsel olmn en z kç frklı noktsı vrdır? ) ) ) ) ) ) Işın ) Üçgen. ir doğrunun bir noktsındn bşlıp düz olrk sürekli tek öne uztılbilen uzunluğu sınırsız, klınlığı bulunmn geometrik terim şğıdkilerden hngsidir? 7. ir çember üzerindeki frklı beş noktnın herhngi ikisinden kç doğru geçer? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) oğru ) oğru prçsı ) Işın ) Üçgen ) Çokgen. Uzunluğu, genişliği ve üksekliği sınırsızc genişletilen, bütün noktlrı içinde bulundurn pı şğıdkilerden hngisidir? ) oğru ) Uz ) Işın ) üzlem ) Çokgen 8. kenrlı bir çokgeni tbn kbul eden prizmnın rıtı oln kç tne doğru prçsı vrdır? ) ) ) ) 8 ) S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

88 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST 9. ir çemberin iki tne keseni çemberle birlikte düzlemi en fzl kç bölgee ırır? ) ) ) ) 7 ) 8. Çember örtgen oğru irmit Üçgen Yukrıdkilerden kç tnesi iki boutludur? ) ) ) ) ) 0.. H G L Yukrıd düzlemi üzerinde lınn,,,, noktlrı ve düzleme it l doğrusu için şğıdkilerden hngisi nlıştır? ),, noktlrı doğrusldır. ) noktsı l doğrusunun bir elemnıdır. ) ve noktlrı l doğrusunun frklı trfınddır. ),, noktlrı düzlemsel değildir. ),, noktlrı doğrusl değildir.. "nı düzleme dik oln frklı iki doğru... " ümlesini doğru olrk tmmlbilmek için şğıdkilerden hngisi noktlı ere zılmlıdır? Yukrıdki şekilde lınn,,,,,, G, H noktlrı bir dik prizmnın köşeleridir. öşeler ve, L noktlrı için, I.,, L noktlrı doğrusldır. II. H, G,, noktlrı düzlemseldir. III. H,,, noktlrı düzlemseldir. IV.,, G, noktlrı düzlemseldir. V.,,, noktlrı düzlemseldir. ifdelerden kç tnesi doğrudur? ) ) ) ) ) ) Çkışık olur ) kırı olur ) esişir ) rlel olur ) ik durumlu olur. Sınıfımızın tbnın,,,, ve duvrlrın X, Y, Z, T noktlrını işretleelim. un göre, şğıdkilerden hngisi nlıştır?. ir düzlem üzerinde lınn frklı nokt ile, uç noktlrı bu noktlr oln en fzl kç tne doğru prçsı çizilebilir? ) 9 ) 0 ) ) ) ),, X noktlrı düzlemsel olbilir. ),, T noktlrı doğrusl olbilir. ) Verilen noktlrın tmmı doğrusl olbilir. ),,, X, Y noktlrı düzlemsel olbilir. ) X, Y, Z doğrusl değil ise,, X her zmn doğrusldır S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

89 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST. H G. şğıdki ifdelerden hngisi nlıştır? ) Nokt boutsuzdur. ) üzlem iki boutludur. ) oğru prçsı bir boutludur. ) oğru iki boutludur. ) Uz üç boutludur. Yukrıdki dikdörtgenler prizmsınd çizilen doğrulr için, I. ile kırı doğrulrdır. II. G ile doğrulrı kesişir. III. H ile doğrulrı prleldir. IV. ile doğrulrı kırı doğrulrdır. V. ile doğrulrı kesişir. ifdelelerinden kç tnesi doğrudur? ) 0 ) ) ) ). şğıdki ifdelerden hngisi nlıştır? ) Uzd üç düzlem bir noktd kesişebilir. ) Uzd üç düzlem bir doğru bounc kesişebilir. ) Uzd her üç noktdn bir doğru geçer. ) esişen iki doğru üzerinde lınn herhngi nokt düzlemsel olbilir. ) esişen iki düzlem üzerinde lınn frklı 8 nokt doğrusl olbilir.. ir çember ile bir dikdörtgen en fzl kç noktd kesişebilir? ) ) ) 8 ) 0 ). Sbit bir nokt eşit uzklıkt bulunn noktlr; oordint doğrusund..., koordint düzleminde..., uzd... belirtir. Yukrıdki boşluklr sırsıl şğıdkilerden hngileri gelmelidir?. şğıdki ifdelerden kç tnesi nokt model olbilir? ) çember, düzlem, doğru ) iki nokt, çember, küre ) çember, küre, iki nokt ) düzlem, iki nokt, çember ) iki nokt, doğru, küre ir doğru prçsının uçlrı esişen iki doğrunun kesim eri ir ışının bşldığı er esişen iki düzlemin kesim eri ir üçgende herhngi iki kenrın kesiştiği er ) ) ) ) ) 7. üzlemde frklı doğru en fzl kç noktd kesişir? ) ) ) ) ) S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

90 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST 8. Yukrıd d(, ) = d(, ) ve d(, ) = d(, ) olduğun göre, ornı kçtır? ) ) ) ) ). oordint doğrusu üzerinde () ve (k) noktlrı verilior. birim vektör olduğun göre, k nin lbileceği değerler toplmı kçtır? ) ) ) ) ) 9. 0 Yukrıdki l sı doğrusund nün uzunluğu kç birimdir? ) ) ) ) ). 0 Yukrıdki l koordint doğrusun göre, şğıdkilerden hngisi ne eşittir? ) ) ) ) ) 0. Yukrıdki koordint doğrusu üzerinde verilen ve noktlrının koordintlrı () ve () tir. = 8 birim olduğun göre, değeri kçtır? ) 8 ) 9 ) 0 ) ). Yukrıdki koordint doğrusu üzerinde lınn,, noktlrı için = olck biçimde lınn noktsının koordintı kçtır? ) ) ) ) 0 ) 9. ( ) () (8) Yukrıdki koordint doğrusu üzerinde verilen,, noktlrı için, = olduğun göre, noktsının koordintı oln değeri kçtır? ) ) ) ) ). oordint doğrusu üzerinde (), ( ) ve () noktlrı verilior. un göre, + toplmı kç birimdir? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

91 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST.,,,, eflit rl kl do rusl befl noktd r. = k. oldu un göre, k kçt r?. oordint doğrusu üzerinde ( ) ve ( ) noktlrı verilior. un göre, nün er vektörü şğıdkilerden hngisidir? ) ) ) ) ) ) (0) () ) ( ) (0) ) (0) () ) ( ) (0) ) (0) (). Şekilde üçgeni ve l doğrusu çizilmiştir. un göre, l şğıdkilerden hngisidir? ) [ ) l ) {} ) [] ) {, }. esişen doğrulrdn oluşn bir şekilde belirleici üç özellik şğıd verilmiştir. I. Şekil dört doğrudn oluşmktdır. II. Her doğru diğer üçünü kesmektedir. III. Her kesim noktsındn iki doğru geçmektedir. un göre, şekilde kç kesim noktsı vrdır? ) ) ) ) 7 ) 8. oordint doğrusu üzerinde (k + ) ve (k ) noktlrı verilior. un göre, şğıdkilerden hngisi ne eşittir? ) X Y () () ) X Y () (7) ) X Y () () ) X Y ( ) () ) X Y () (). ir düzlem içindeki frklı üç doğrunun birbirine göre durumlrı ile ilgili şğıdki ifdelerden hngisi kesinlikle nlıştır? ) ir düzlem içindeki üç doğru bir noktd kesişebilir. ) ir düzlem içindeki üç doğru birbirini ikişer ikişer frklı noktlrd kesebilir. ) ir düzlem içindeki üç doğrudn ikisi prlel ise üçüncü doğru onlrı kesebilir. ) ir düzlem içindeki üç doğrudn ikisi bir noktd kesişirse, üçüncü doğru bunlr prlel olbilir. ) ir düzlem içindeki üç doğru birbirine prlel olbilir. 9 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı......

92 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST nlitik düzlemde (, ) noktsının eksenine uzklığı kç birimdir? ) ) ) ) ) 9 Yukrıdki birim krelere rılmış şekilde (, ) olduğun göre, ve noktlrının koordintlrı toplmı kçtır? ) ) ) ) ). eksenine uzklığı birim ve eksenine uzklığı birim oln noktlrın koordintlrı toplmı kçtır? ) ) ) ) 0 ) 8. Yukrıdki koordint sisteminde = olduğun göre, noktsının koordintlrı. ördüncü bölgedeki (k, p + ) noktsının eksenine uzklığı birim, eksenine uzklığı birim olduğun göre, k + p kçtır? ) ) ) ) ) şğıdkilerden hngisidir? 7 9 ) f, p ) f, p ) f, p ) (, ) ) f, p. nlitik düzlemde, (k, n + ), (, ) ve (7, 9) için 9. nlitik düzlemde (, ) noktsının eksenine uzklığı kç birimdir? ) ) ) ) ) noktsı [] nın ort noktsı olduğun göre, (k, n) noktsı koordint sisteminin kçıncı bölgesindedir? ) I ) II ) III ) IV ) rijin 9 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

93 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST. m < 0, n < 0 ve m > n olduğun göre, (m n, m n ) noktsı hngi bölgededir? ) I. bölge ) II. bölge ) III. bölge ) IV. bölge ) rijinde. (, b + ) noktsının eksenine uzklığı 7 birim, (, b + ) noktsının eksenine uzklığı birim olduğun göre, (, b) noktsı hngi bölgede olbilir? ) I. - II. bölge ) I. - III. bölge ) II. - III. bölge ) I. - IV. bölge ) III. - IV. bölge. f + b, p noktsı nlitik düzlemde ekse- b ni üzerinde olduğun göre, şğıdkilerden hngileri doğru olbilir? I. ( b, b) noktsı. bölgede II. ( b, b) noktsı. bölgede III. ( b, b) noktsı. bölgede. (k +, k ) noktsı nlitik düzlemin. bölgesinde olduğun göre, k hngi rlıktdır? ) < k < ) < k ) < k < ) < k < ) < k < ) Ylnız I ) I ve II ) I ve III ) II ve III ) I, II ve III. nlitik düzlemde ( + b, b + c) noktsı ekseni üzerinde (c, + ) noktsı ekseni üzerinde ve (b + c, ) noktsı orijinde olduğun göre, + b + c toplmı kçtır? ) ) ) ) ) 0 7. M(m, n) noktsı II. bölgede olduğun göre, N(m.n, m + n) hngi bölgededir? ) I. bölge ) II. bölge ) III. bölge ) IV. bölge ) rijin. (k, k ) noktsı IV. bölgede olduğun göre, k nin lbileceği tmsı de erleri toplmı kçtır? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 8. (, ) noktsı III. bölgede olduğun göre, (, ) noktsı hngi bölgededir? ) I. bölge ) II. bölge ) III. bölge ) IV. bölge ) rijin 9 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

94 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST 9. ir sinem slonunun oturm düzeninde koordint sistemi model lındığınd li'nin oturduğu er (, ) olup li'nin sır sğındn sır ukrı gidildiğinde Veli'nin erine ulşılmktdır.. un göre, Veli'nin oturduğu erin koordintı nedir? ) (, 7) ) (, 7) ) (, 7) ) (, ) ) (, ) 0. Yukrıd birim krelere rılmış zeminde verilen noktlrdn birisi orijin olck şekilde bir dik koordint sistemi erleştirilior. ve noktlrının orijine uzklıklrı eşit olduğun göre orijin şğıdkilerden hngsidir? ) ) ) ) ) Yukrıdki birim krelere rılmış zeminde (, ) olduğun göre, noktsının koordintlrı toplmı kçtır? ) 8 ) 9 ) 0 ) ). (, ) ve (, ) noktlrı rsındki uzklık d(, ) = kç birimdir? ) 0 ) ) ) ).. N R H S Q T G Yukrıdki dörtgeninde, (, ), (, ), G(, 7) ve H(p, k) noktlrı kenrlrın ort noktlrı olduğun göre, p + k toplmı kçtır? ) ) ) ) ) Yukrıdki birim krelere rılmış zeminde noktsının koordintlrı toplmı, Q, R, S, T ve N noktlrındn hngi ikisinin koordintlrının toplmın eşittir? ) N ) Q R ) R T ) S N ) T Q 9 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

95 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST. nlitik düzlemde (, ) ve (, 8) noktlrı verilior. un göre, şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ). v = (7, ) için v+ w = 0 olck şekilde w nün bileşenleri şğıdkilerden hngisidir? ) (, 7) ) (, 7) ) (7, ) ) ( 7, ) ) (7, ). nlitik düzlemde (, ) ve (, b) noktlrı verilior. = (, ) olduğun göre, + b toplmı kçtır? ) 0 ) 9 ) 8 ) ). nlitik düzlemde (, ), (, 7) ve (, b) noktlrı verilior. = olduğun göre, noktsı kçıncı bölgededir? ) I ) II ) III ) IV ) rijin. (, ) noktsı ve = (, 0) verilior. un göre, noktsının koordintlrı şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) 7. nlitik düzlemde p = ( 7, ) ve q = (, ) verilior. un göre, p q şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, 9) ) (, ) ) (, ). (, 7) ve (, ) noktlrı verilior. un göre, nün uzunluğu kç birimdir? ) ) ) ) ) 7 8. nlitik düzlemde, = (, 8) ve + = (, ) olduğun göre, şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) 9 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

96 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST 9. + = (, ) ve = ( 7, 0) verilior. un göre, şğıdkilerden hngisidir? ) (, 7) ) (, ) ) (, ) ) ( 7, ) ) (, 7). = (, ) ve b = (, n) verilior. + m.b = 0 olduğun göre, m. n çrpımı kçtır? ) ) ) ) ) 0. dik üçgen = birim = 7 birim. = f,kp birim vektör olduğun göre, k kç olbilir? ) ) ) ) ) 7 un göre, + işleminin sonucu şğıdkilerden hngisine eşit olbilir? ) (0, 0) ) (, 0) ) (7, 0) ) (0, ) ) (, 7). kre = birim = birim = birim. un göre, + işleminin sonucu şğıdkilerden hngisine eşittir? ) (, ) ) (, 8) ) (, 9) ) (, 8) ) (, 7) b c. ik koordint sisteminde, Yukrıdki birim krelere rılmış zeminde, + b c şğıdkilerden hngisine eşittir? ) (, ) ) (, ) ) (, 8) ) (, 7) ) (, ) e = (, 0) ve e = (0, ) olmk üzere = e + e nün uzunluğu kç birimdir? ) ) ) ) 7 ) 9 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

97 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST. nlitik düzlemde c < b < 0 < < d olmk üzere, (, c) (b, d) noktlrı verilior. un göre, şğıdkilerden hngisi olbilir? ) ). " u = (, ) ve " v = (, ) vektörleri verilior. " " " u+ v = w eşitliğini sğln " w şğıdkilerden hngidir? ) (9, 8) ) ( 8, 9) ) (7, ) ) ( 7, ) ) (8, 9) ) ). + ) Yukrıd birim krelere rılmış koordint sisteminde + ve verilmiştir. un göre, şğıdkilerden hngisidir? ) f, p ) f, p ) (, ) ) f, p ) (, ). L N. M G H Yukrıdki birim krelere rılmış zeminde verilen vektörlerden hngisi V = (, ) ne eştir? ) ) ) MN ) ) L Yukrıd birim krelere rılmış zeminde + şğıdkilerden hngisine eşittir? ) G ) H ) ) ) G 97 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı.....

98 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST. üzlemde ( 0, 0 ) noktsındn geçen ve d = (p, r) vektörüne prlel oln doğrunun vektörel denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) = (p, r) + k( 0, 0 ) ) (, ) = ( 0, 0 ) + k( p, r) ) (, ) = ( 0, 0 ) + k(p, r) ) (, ) = ( 0, 0 ) + k(p, r) ) (, ) = (p, r) + k( 0, 0 ) 9. (, 7) nokts ndn geçen ve v = (, 8) vektörüne prlel oln do runun vektörel denklemi fl dkilerden hngisidir? ) (, ) = (, 7) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) 7. üzlemde (, ) noktsındn geçen d = (, ) vektörüne prlel oln doğrunun vektörel denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) 0. rmetrik denklemi, = k + = k 7 oln do runun do rultmn vektörü fl dkilerden hngisi olbilir? ) (, 7) ) (, 7) ) (, ) ) (, ) ) (, ) 8. üzlemde ( 0, 0 ) noktsındn geçen d = (p, r) vektörüne prlel oln doğrunun prmetrik denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) = 0 + k. p ) = 0 k. p = 0 + k. r = 0 + k. p ) = p + k. 0 ) = 0 + p = r + k. 0 = 0 r ) = 0 p = 0 + r. plı denklemi + 9 = 0 oln do runun prmetrik denklemi fl dkilerden hngisidir? ) = k + ) = k ) = k = k = k = k + ) = k ) = k = k = k 98 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

99 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST 7. Vektörel denklemi, (, + ) = k(, ) oln do runun prmetrik denklemi fl dkilerden hngisidir? ) = k + ) = k + ) = k = k = k = k + ) = k ) = k = k = k +. rmetrik denklemi, = k = k + oln do runun vektörel denklemi fl dkilerden hngisidir? ) (, ) = (, 7) + k(, ) ) (, ) = (, ) k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, 7) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ). rmetrik denklemi, = k = k fleklinde verilen do ru üzerindeki noktlrdn biri (, m) oldu un göre, nokts n n m koordint kçt r? ) 0 ) ) ) ). pl denklemi, + = oln do runun vektörel denklemi fl dkilerden hngisi olmz? ) (, ) = (, 9) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (0, ) + k(, ) ) (, ) = (, 0) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ). oordint düzleminde (, ) ve (, ) noktlr ndn geçen do runun vektörel denklemi, fleklinde verilior. (, ) = + k( ) un göre, k = için (, ) nokts ile ilgili fl dkilerden hngisi sölenebilir? ) nokts ile nokts n n orts ndd r. ) nokts n n s ndd r. ) nokts n n solundd r. ) nokts ile çk fl kt r. ) nokts ile çk fl kt r.. (, ) ve (, ) noktlrındn geçen doğrusunun eğimi şğıdkilerden hngisidir? + ) + ) ) + ) ) S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı......

100 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST 7 7. = (, ) 0. şğıdki doğrulrdn hngisinin eğimi en küçüktür? //, ) 8 = 0 ) 8 = 0 ) + = 0 ) = 0 ) + 9 = 0 un göre, l doğrusunun eğimi kçtır? ) ) ) ) ). (, ) (, ) (0, ) (0, ) 8. un göre, noktsının psisi kçtır? 0º ) ) ) ) ) un göre, l doğrusunun eğimi kçtır? ) ) ) ) ). 9. nlitik düzlemde prmetrik denklemi, = k + = k oln doğrunun eğimi kçtır? Yukr dki flekilde verilen do rulrın e imlerinin küçükten büü e do ru s rln fl fl- dkilerden hngisidir? ) l < l < l < l < l ) l < l < l < l < l ) l < l < l < l < l ) 9 ) 9 ) ) 7 ) 9 8 ) l < l < l < l < l ) l < l < l = l < l 00 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

101 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST 8. ğim çısı 0 oln doğrunun eğimi kçtır?. ) ) ) ) ) 0 R Q S T. Yukrıdki şekilde (, ) olduğun göre, orijin hngi nokt olur? ) ) Q ) R ) S ) T Yukr dki nlitik düzlemde l do rusunun vektörel denklemi fl dkilerden hngisi olbilir? ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, 0) k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, 7) ) (, ) = (, ) + k(7, ). şğıdkilerden hngisinde verilen doğru denklemi üzerindeki nokt ile birlikte verilmiştir? ) + = 0, (, ) ) + 9 = 0, Q(, ) ) + = 0, R(, ) ) + = 0, S(, 0) ) + + = 0, T(, ). (, ) (, ) (k, ) noktlrı bir do ru üzerinde oldu un göre, k kçtır? ) ) ) ) ) 7 7. şğıd verilen doğrulrdn hngisi verilen eğim ve üzerindeki nokt kullnılrk bulunmuştur?. enklemi (k ) + ( k ) + k + = 0 oln doğru eksenine prlel olduğun göre, k kçtır? ) ) ) 0 ) ) ğim Üzerindeki nokt enklem ) m = (, ) + + = 0 ) m = (, ) + 9 = 0 ) m = (0, ) + = 0 ) m = (, ) + 7 = 0 ) m = (8, 9) = S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

102 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST 8 8. = b + = +. = c º estek, birim Yukrıd denklemleri ile verilen doğrulrın grfiklerine göre şğıdkilerden hngisi doğrudur? ) < b ve b = c ) b = c ve c < ) c < b < ) > b > c ) = c = b Yukrıd erden üksekliği, birim oln bir blkonun görünümü verilmiştir. estekle blkon rsınd kln çının ölçüsü olduğun göre, desteğin uzunluğu kç birimdir? (sin = 0,8) ), ) ), ) ), 9. Vektörel denklemi (, ) = (, ) + k(, ) oln doğrunun eğimi kçtır? ) ) ) ) ). + 7 = 0 ve + + = 0 do rulr rs nd kln dr ç kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) = oordint sisteminde verilenlere göre, şğıdkilerden hngisi olbilir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (7, ) ) (, ). R değiştikçe, (k,, k + ) noktlrının belirttiği doğrunun denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) 7 = 0 ) + 9 = 0 ) + = 0 ) + + = 0 ) + = S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

103 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ÜN T Çokgenler Çokgende Çevre ve Çokgensel ölgelerin lnlrı üzlemde önüşüm Hreketleri üzlemde plmlr Üçgende enzerlik Özel Teoremler Öklid ğıntılrı

104 ...evren her n gözlemlerimize çıktır; m onun dilini ve bu dilin zıldığı hrfleri öğrenmeden ve kvrmdn nlşılmz. vren mtemtik dilile zılmıştır; hrfleri üçgenler, direler ve diğer geometrik biçimlerdir. unlr olmdn tek sözcüğü bile nlşılmz; bunlrsız nck krnlık bir lbirentte dolnılır. GLİL

105 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR Çokgenler Uç noktlrı dışınd kesişmeen üç d dh fzl doğru prçsının uç uc eklenmesi ile elde edilen kplı şekillere çokgen denir. ÖRN ç bölge bölge 8 7 Yukrıdki şekillerden hngileri çokgendir? ¾,,,,,, 7, 8,..., n noktlr çokgenin köfleleridir. ¾ [ ], [ ],..., [ n ] çokgenin kenrlr d r.,,. ve. şekiller çokgen tnımın ummktdır.. ve. şekiller çokgendir. ışbüke ve İçbüke Çokgenler ir çokgenin iç bölgesindeki herhngi iki noktn n birlefltirilmesi ile elde edilen do ru prçs her zmn çokgenin iç bölgesinde kl ors bu çokgene d flbüke çokgen denir. u do ru prçs n n bz noktlr d fl bölgede kl ors bu çokgene içbüke çokgen denir. Y ütün iç çı ölçüleri 80 den küçük oln çokgenlere dışbüke, en z bir çısının ölçüsü 80 den büük ise içbüke çokgen denir. ÖRN üzlemde dışbüke bir çokgen ile içbüke bir çokgenin birleşimi için ne sölenebilir? ışbüke bir çokgen ve içbüke bir çokgen ile bzen rı düzgün bir kplm pbiliriz. L L büke çbüke büke büke çokgen büke çokgen rıc dışbüke ve içbüke iki çokgenin birleşimi içbüke d olbilir. büke L L çbüke çokgen çbüke çokgen çbüke çbüke hlde, dışbüke ve içbüke iki çokgenin birleşimi dışbüke d içbüke olbilir. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

106 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR öflegen ir çokgende komflu olmn iki köflei birlefltiren do ru prçs n çokgenin köflegeni denir. ö egen ¾ n kenrl bir çokgenin bir köflesinden en fzl, (n ) tne köflegen çizilir, bu köşegenlerle (n ) tne üçgen elde edilir. örtgen (n = ) e gen (n = ) ¾ öflegen S s n kenrl bir çokgenin rd fl k köfleleri,,,..., n fleklinde isimlendirilsin.. köfleden (n ) tne köflegen geçer bunlrdn frkl olrk,. köfleden (n ) tne köflegen geçer bunlrdn frkl olrk,. köfleden (n ) tne köflegen geçer bunlrdn frkl olrk,. köfleden (n ) tne köflegen geçer bunlrdn frkl olrk, h h (n ). köfleden tne köflegen geçer bunlrdn frkl olrk, (n ). köfleden tne köflegen geçer. ir kö eden kö egen çizildi üçgen olu tu. lt gen (n = ) ir kö eden kö egen çizildi üçgen olu tu. Yedigen (n = 7) hlde tüm köflegenlerin s s, nn ( ) n + n = ( n ).( n ) Y ir köfleden (n ) tne köflegen geçer. n köfleden n(n ) tne köflegen geçer. ir kö eden kö egen çizildi üçgen olu tu. ir kö eden kö egen çizildi üçgen olu tu. u köflegenlerden her biri iki kez s ld ndn, n(n ) Tüm köflegenlerin s s = dir. Y ¾ n kenrl bir çokgenin köfle s lr n, = #,,,..., n- kümesi ile gösterelim. öflegen çizmek için iki köflee gerek oldu undn, d n n tne doğru prçsı (köşegen, kenr) çizilmiş olur. unlrdn n tnesi kenr oldu undn tüm köflegenlerin s s d n n = ile bulunur. n nn ( ) 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

107 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ÖRN iç ç d ç ir irmigenin üç köflesinden en fzl kç frkl köflegen geçer? öflegenler birbirinden frkl olmk üzere, ¾ ¾ n kenrl bir çokgenin iç ç lr nın ölçüleri toplm, (n ). 80 dir. enr s s n kenrl bir çokgenin d fl ç lr toplm, 0 dir. ir köflesinden geçen köflegen s s ir köfleden geçen köflegenlerin oluflturdu u üçgen s s ç ç lr toplm fl ç lr toplm öfleden 7 köflegen geçer.. öfleden 7 köflegen geçer.. öfleden köflegen geçer. + Üç köfleden en fzl 0 tne köflegen geçer UYRI er köflegenler rd fl k olmn köflelerden l nmsd köflegen s s dh z olurdu. ÖRN ir edigenin tüm köflegenlerinin s s n bull m. Çizilen köflegenler bir dh çizilmemek flrt ile,. öfleden köflegen geçer.. öfleden köflegen geçer.. öfleden köflegen geçer.. öfleden köflegen geçer.. öfleden köflegen geçer. + Tüm köflegen s s = =. + = bulunur. ÖRN öflegen s s kenr s s n n kt oln çokgenin kenr s s n bull m. enr s s n öflegen s s n(n ) olup nn ( ) =. n" n = 0 n = bulunur. hlde çokgen kenrl d r. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 07

108 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ÖRN ç ç lr n n ölçüleri toplm d fl ç lr n n ölçüleri toplm n n 7 kt oln bir dışbüke çokgenin kenr s s n bull m. üzgün Çokgen Tüm kenr uzunluklr birbirine eflit ve tüm ç lr efl oln çokgenlere düzgün çokgen denir. 0º ç ç lr nın ölçüler toplm (n ). 80 fl ç lr nın ölçüleri toplm 0 un göre, (n ). 80 = 7. 0 (n ) = n = hlde çokgen kenrl d r. 0º 0º üzgün üçgen (e kenr üçgen) 08º üzgün dörtgen (kre) 0º 0º 08º 08º 0º 0º ÖRN 08º 08º üzgün be gen 0º 0º üzgün lt gen ir dışbüke çokgenin d fl ç lr ndn en fzl kç tnesinin genifl ç olbileceğini bull m. n kenrlı bir düzgün çokgende, fl ç lr toplm 0 oldu undn en fzl d fl ç s genifl ç l d r. (n mnt kl en fzl iç ç s dr ç d r.) ir dış çısının ölçüsü : ir iç çısının ölçüsü : o 0 n 80 (ir dış çının ölçüsü) d ir iç çısının ölçüsü : ( n ). 80 o dir. n 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 08

109 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ÖRN ÖRN 8º düzgün beşgen = m() = 8 düzgün ltıgen [] [] = m() = un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. 8º 70º 70º º 0º 8º º 0º 0º düzgün beşgeninin tüm kenr uzunluklrı eşit olduğundn, ve üçgenleri ikizkenr üçgen olur. üzgün beşgenin bir iç çısı 08 ve m() = 70, = olduğundn, m() = 70 ve m() = 0 dir. olısıl, m() = 8 olur. ikizkenr üçgeninde, m() = m() = olup m() = 80 (doğru çı tnımındn) m() = bulunur. = oldu undn, = birim ve = birim olur. düzgün ltıgen olduğundn, Tüm kenr uzunluklrı birim dir. dik üçgeninde = birim bulunur. olısıl, üçgeni ikizkenr üçgen olur. üzgün ltıgenin bir iç çısının ölçüsü 0 ve m() = 90 olduğundn, m() = 0 bulunur. de + 0 = 80 = bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 09

110 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ÖRN ÖRN 8º L düzgün ltıgen,, L noktlrı doğrusl L = m(l) = 8 H düzgün beşgen [H] [] = un göre, L ç s n n ölçüsünü bull m. köşegenini çizelim. 0º 0º 0º 8º L 8º º 0º 0º 0º düzgün ltıgen olduğundn, tüm kenr uzunluklrı ve iç çılrının ölçüleri birbirine eşittir. ile eş üçgenler olduğundn, = dir. olısıl, L ikizkenr üçgen olur. un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. 7º º º º º H düzgün beşgeninde, [H] [] olduğundn, H = H ve m(h) = m(h) = olur. º º 8º 8º L H nde m() = 0 ve m() = m() = 0 olup L nde = L olduğundn, m(l) = m(l) = 8 olur. m() = 0 ve m(l) = 0 olduğundn, m(l) = bulunur. üzgün beşgenin tüm kenr uzunluklrı birbirine eşit olduğundn ikizkenr üçgen olur. olısıl, m(h) = m() = ve m() = 7 bulunur. m() = 08 olduğundn, m() +7 = 08 olup m() = bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

111 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ÖRN ÖRN 80º düzgün beşgen = m() = 80 düzgün beşgen L kre,, noktlrı doğrusl L un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. º º º 88º 0º 80º º 80º 8º 8º 8º 7º 08º 08º º L düzgün beşgen olduğundn, tüm kenr uzunluklrı birbirine eşit ve tüm iç çılrının ölçüleri 08 dir. ikizkenr üçgeninde, m() = m() = ikizkenr üçgeninde, m() = m() = 80 ve m() = 0 ikizkenr üçgeninde, m() = 88 ve m() = m() = bulunur. olısıl, düzgün beşgen ve L kre olduğundn tüm kenr uzunluklrı birbirine eşittir. üzgün beşgenin bir iç çısının ölçüsü 08, renin bir iç çısının ölçüsü 90 olduğundn, m() = 8 ve m() = m() = 8 olısıl, m() = 08 8 = 7 bulunur. üçgeninde, 7º m() = 08 olduğunu bilioruz. hlde, 08º m() = 08 = bulunur m() = 80 m() = bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

112 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR tkinlik Zmn fl d flekiller lt nd istenen ölçümleri bulunuz.. 7º º dörtgen [] ç ort [] ç ort m() = º m() = 7º. º 0º dörtgen [] ç ort [] ç ort m() = º m() = 0º m() =... m() =.... 7º 7º dörtgen [] ç ort [] ç ort m() = 7º. T düzgün be gen e kenr üçgen,, T do rusl m() = 7º m() =... m(t) =.... 8º 0º dörtgen [] ç ort [] ç ort m() = 0º 7. düzgün be gen m() = 8º 0º m() =... m() =.... 0º 0º dörtgen [] ç ort [] ç ort m() = 0º 8. 8º düzgün be gen m() = 0º m() =... m() =... 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

113 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR tkinlik Zmn 7 fl dki flekiller lt nd istenen ölçümleri bulunuz.. Q S R düzgün be gen QRS kre. 8º º düzgün be gen,, do rusl m(s) =... m() =..... düzgün be gen [] // [] düzgün be gen ve e kenr üçgen m() =... m() =.... düzgün be gen kre 7. L düzgün be gen L kre L e kenr üçgen m() =... m() = düzgün be gen e kenr üçgen b c düzgün be gen + b + c = m() =... =... 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

114 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR tkinlik Zmn 8 fl d flekiller lt nd istenen ölçümleri bulunuz.. L düzgün lt gen L kre. düzgün lt gen m() =... do rusunun e imi =.... düzgün lt gen. 8º düzgün lt gen m() = 8º m() =... m() =.... düzgün lt gen 7. M L düzgün lt gen LM kre do rusunun e imi =... m() =.... º düzgün lt gen,, do rusl 8. H 8 düzgün lt gen [H] [] m() =... H =... 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

115 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST.. düzgün ltıgen = birim düzgün ltıgen = birim un göre, () kç br dir? ) ) ) 8 ) 0 ) un göre, düzgün ltıgenin lnı kç br dir? ) ) 8 ) 9 ) 0 ). düzgün ltıgen = birim. düzgün ltıgen = birim un göre, () kç br dir? ) ) ) 9 ) 8 ) un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) ) ) ). düzgün ltıgen = birim. düzgün ltıgen [] [] = birim un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) ) 8 ) 0 ) un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) ) ) ) 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı......

116 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST düzgün beşgen [] [] = 7º düzgün beşgen [] // [] [] çıort un göre, m() kç derecedir? ) 7 ) 7 ) 8 ) 8 ) 88 un göre, m() kç derecedir? ) 90 ) 9 ) 9 ) 98 ) düzgün beşgen [] köşegen =. 0 düzgün beşgen [] [] = birim = 0 birim un göre, m() kç derecedir? ) 7 ) 7 ) 80 ) 8 ) 90 un göre, uzunluğu kç birimdir? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) 9. düzgün beşgen [] []. düzgün beşgen [] köşeggen [] köşeggen un göre, m() kç derecedir? ) 9 ) 98 ) ) ) un göre, m() kç derecedir? ) 9 ) 9 ) 08 ) 0 ) 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

117 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ¾ Üç kenrlı çokgendir. ÜÇGN,, LM... şeklinde gösterilir. + şğıdki ikizkenr üçgenleri inceleiniz.,,,, iç çılr dış çılr ¾ ir üçgende iç çılrın ölçüleri toplmı 80 dir. + + = 80º ¾ ir üçgende, bir köşee it dış çının ölçüsü kendisine komşu olmn iki iç çının ölçüleri toplmın eşittir. ¹ º = + º º 00º ¾ İkizkenr üçgende eşit kenr uzunluklrını gören çılr n ölçüleri eşittir. 0º 0º Tepe = ise» m() = m() dir. (u önermenin krşıtı d doğrudur.) 70º Tbn º º 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

118 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ¾ ir ikizkenr üçgende tepeden tbn inilen dikme tbn iki eş prç ırır ve tepe ç s n iki efl ç r r. nde = oldu undn, m() = m() = 70 ve = [H] [] ise H = H m(h) = m(h) dir. nde = oldu undn, m() = m() = 7 olur. ol s l, m() = m() m() = 7 70 = bulunur. H ¾ ir eflkenr üçgenin tüm kenr uzunluklr eflit olup tüm ç lr 0 dir. 0º ÖRN 0º 0º üçgen = = m() = 0 m() = m() = m()= 0 = = 0º un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. ÖRN 0º 0º üçgen = = m() = 0 m() = 0 un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. 70º + 0º + 0º 0º nde = oldu undn, m() = m() = olsun. m() = + 0 ve = oldu undn m() = + 0 olur. 70º nde + = º 0º m() = = 0 bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

119 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ÖRN ÖRN º üçgen = = m() = º üçgen [] [] = = m() = un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. +º +º º m() = ve m() = olsun. = oldu undn m() = + ve = oldu undn m() = + olur. nde = 80 + = 08 dir. ol s l, m() = + + 8º º º 8º º º [] hem kenrort hem de ükseklik oldu undn ile noktlr n birlefltirirsek ikizkenr üçgeni elde edilir. [] n zmnd ç ort olur. m() = ise m() = olur. nde m() = dir. ol s l, m() =, m() = 8 ve = oldu undn, m() = 8 olur. ölece, m() = 08 + m() = bulunur. º º º º 8º 8º m() = 8 + m() = 7 bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

120 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR re ve İkdörtgen re: Tüm kenr uzunluklrı eşit ve çılrı 90 oln dörtgendir. renin köflegen uzunluklr eflit ve köflegenleri ç ort olup birbirini dik ortlr. º º º º Ymuk Yln z iki kenrı prlel oln dörtgene muk denir. Yn kenr Yn kenr [] // [] / / m() + m( ) = 80 / / m() + m() = 80 o o º º º º "ree düzgün dörtgen de diebiliriz." ikdörtgen: rşılıklı kenr uzunluklrı eşit ve çılrı 90 oln dörtgendir. ikdörtgenin köşegen uzunluklrı eşit ve köşegenler birbirini ortlr. ¾ ¾ rlel olmn kenrlr mu un n kenrlr - d r. rlel kenrlr mu un tbnlr d r. b b kizkenr Ymuk Yn kenr uzunluklr eflit oln mu ikizkenr muk denir. rlelkenr ve şkenr örtgen rşılıklı kenrlrı prlel oln dörtgene prlelkenr denir. rşılıklı çılrın ölçüleri eşit ve köşegenler birbirini ortlr. ikizkenr muk = / / m() = m() / / m() = m( ) Tüm kenr uzunluklr birbirine eşit oln dörtgene eşkenr dörtgen denir. ¾ ir ikizkenr üçgen tbn prlel bir do ru ile kesildi inde olufln dörtgene ikizkenr muk diebiliriz. = ve l // [] ise bir ikizkenr muktur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

121 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR İk Ymuk Üçgenin Çevre ve lnı Yn kenrlrdn biri tbnlr dik oln mu dik muk denir. ¾ r çılı üçgende; c h b dik muk h b h c.h b.h c.h b c () = = = Ç() = + b + c Çokgende Çevre ve Çokgensel ölgelerin lnlr ¾ ik çılı üçgende; h c = c b h b h = üçgeni üçgensel bölgesi () =.c Ç() = + b + c h.b b = &.c = b.h b ¾ Geniş çılı üçgende; be geni be gensel bölgesi h c b h b NT : h c u bölümde bzen "çokgensel bölgenin lnı" erine sölemesi dh kol oln "çokgenin lnı' ifdesini kullncğız..h b.h c.h b c () = = = Ç() = + b + c 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

122 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR SNUÇLR : ikdörtgenin Çevre ve ln Hesb. Yükseklikleri eşit oln üçgenlerin lnlrı orn tbnlrı ornın eşittir. () () = dir. b b Çevresi; Ç() = ( + b) ln ; () =. b ¾ ikdörtgenin bir köflegeni ln iki efl dik üçgensel bölgee r r. S : S : S = : : z S S S z. Tbn uzunluklr eşit oln üçgenlerin lnlr orn bu tbn çizilen üksekliklerin orn d r. renin Çevre ve ln Hesb h h () () h = dir. h Çevresi; Ç() = ln ; () =. Yükseklikleri ve tbn uzunluklr eflit oln üçgenlerin lnlr d eflittir. S S h rlelkenr n Çevre ve ln Hesb h b h b [] // [] ise () = () dir. ol s l, () = () dir. Çevresi; Ç() = ( + b) ln ; () =. h = b. h b 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

123 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR NT : ir prlelkenrd fl dki gibi ln bölme pbiliriz. Ymukt Çevre ve ln Hesbı c d b h S S S S S S Ç() = + b+ c + d + c () = d n.h İkizkenr Ymuk S S c S + S () = () b h h b S S S S S + S = S + S : ç bölgede herhngi bir nokt ikizkenr muk, Ç() = + b + c + c () = d n.h flkenr örtgenin Çevre ve ln Hesb üzgün Çokgende Çevre ve ln Hesbı h h Çevresi: Ç() = ln : () = h. üzgün ltıgen : Ç() =. () =. NT : üzgün eflgen : eşkenr dörtgen = e = f ise e.f () = : merkez Ç() =. () =. () 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

124 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ÖRN ÖRN dikdörtgen [] köflegen [] köflgen = º dikdörtgen [] köflegen [] köflegen = un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. m() = ikdörtgenin köflegen uzunluklr eflit ve birbirini ortld ndn, un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. ikdörtgende köflegen uzunluklr eflit ve birbirini ortld ndn = = = olur. º üçgeni eflkenr üçgen olup dol s l m() = 0 bulunur. m() = dielim. º + º º + ç ç lr toplm ndn, + 8 = 80 = = bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

125 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ÖRN ÖRN 0º dikdörtgen = m() = 0 H dikdörtgen [] köflegen [] köflegen [H] [] [H] ç ort un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. [] köflegeni çizilirse, dikdörtgenin köflegen uzunluklr eflit oldu undn, = dir. ikdörtgende köflegen uzunluklr eflit ve birbirini ortlr. hlde = = = olup 0º 0º 0º 0º H = oldu undn, = oldu u görülür. hlde, H H oldu undn, = dir. m() = 0 ve m() = 0 bulunur. = oldu undn, üçgeninin eflkenr üçgen oldu u nlfl l r. m() = 0 olup nde d fl ç dn, H ölece, m() = 0 olup m() = 0 bulunur. 0º 0º m() = m() = 0 bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

126 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ÖRN ÖRN dikdörtgen [] köflegen [] köflegen [] [] = birim = birim prlelkenr [] ç ort = birim = birim un göre, uzunlu unu bull m. un göre, dikdörtgensel bölgenin ln n bull m. 7 [] // [] olup m() = m() olur. (iç ters ç lr.) u durumd, ikizkenr üçgen olup = = birim dir. H ölece, = 7 birim bulunur. ikdörtgende köflegen uzunluklrı birbirine eflit oldu undn, ÖRN 7 = olup prlelkenr [H] [] olck flekilde H nokts [] n eflit iki prç böler. H [] köflegen [H] [] = H nde Öklid b nt s ile, 0º m(h) = 0 H =. H = ölece, birim dir. un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. H = k birim, = k birim dielim. H () =. ().8 =. = br bulunur. 0º H k k k 0º 0º ölece, = = k birim olup H üçgeni bulunur. prlelkenr nd, m() = m() oldu undn, m() = 0 bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

127 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ÖRN 8 ÖRN 9 G prlelkenr [] köflegen, ort nokt (G) = br º kre [] [] m() = = birim, G, do rusl un göre, prlelkenrsl bölgesinin ln n bull m. un göre, uzunluğunu bullım. [] köşegenini çizersek, k t z 0 G z t k k º º G ~ G oldu undn, º G G G = = = dir. G dik üçgeninde, = birim olup nde, G G = ise (G) (G) = ni, 0º (G) = br dir. G G = ise (G) (G) = ni, (G) = br dir. [] köflegeni () i iki eflit prç böldü- ünden, sin0 = = birim bulunur. () =. () =. = 7 br bulunur. NT : örtgen sorulrınd köşegen çizmek çoğu kez çözümü kollştırır. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

128 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ÖRN 0 ÖRN ( + ) = + + özdeşliğini knıtllım. = ( ). ( + ) özdeşliğini knıtllım. enr uzunluklrı birim ve birim oln iki tne kre çizelim. > olmk üzere kenr uzunluklrı birim ve birim oln iki tne kre çizelim. Şimdi şğıdki gibi şekli bir kenr uzunluğu ( + ) birim oln kree tmmllım. M [] çizilirse büük krenin lnı prç rılır. L S S S S S S S kresel bölgesinin lnı S = L ve M dikdörtgensel bölgelerinin lnlrı, S = S =., kresel bölgesinin lnı S =, Tüm şeklin lnı ( + ) olup ir bütünün lnı kendini oluşturn prçlrın lnlrı toplmın eşit olcğındn, (LM) = S + S + S + S olup ( + ) = + + eşitliği isptlnmış olur. kresel bölgesinin lnı S = ve muksl bölgelerinin lnlrı, + S = S = f p.( ) zılbilir. ölece, () = S + S + S olduğundn, + = +. f p.( ) = + ( + ). ( ) denklemi düzenlenirse, = ( + ).( ) eşitliği isptlnmış olur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

129 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST. dik üçgen. [H] [H] H = birim = birim 0 H G un göre, () kç br dir? ) 8 ) 0 ) ) 0 ) Yukrıdki şekilde ve G kre olduun göre, uzunluğu kç birimdir? ) 0 ) 8 ) 0 ) ) 7. 0º prlelkenr [] çıort [] çıort m() = 0. prlelkenr [] [] [] çıort = birim = birim un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 un göre, uzunluğu kç birimdir? ) 7 ) ) ) 8 ). 0 0 üçgen = 0 birim = 0 birim = birim üçgen = 0 birim = 0 birim = birim = 8 birim un göre, () kç br dir? ) ) ) 8 ) 0 ) un göre, () kç br dir? ) ) ) 0 ) ) S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı......

130 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST 7. 0º prlelkenr [] çıort [] çıort m() = 0 0. eşkenr dörtgen [] köşegen [] ^ [] = birim = birim un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 Yukrıdki verilere göre, kç birimdir? ) ) ) ) 0 ) 8. (, ) (, 0) ikizkenr muk (, 0) (, ). 0 8 prlelkenr [] [] [] [] = birim = 0 birim = 8 birim un göre, ve noktlrındn geçen l doğrusunun denklemi şğıdkilerden hngisidir? un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) ) 7 ) 8 ) 0 ) + = 0 ) + = 0 ) = 0 ) + = 0 ) + = prlelkenr = = = enr uzunluklrı 9 m ve m oln dikdörtgen şeklindeki bir bhçenin her bir kenrı uzunluklrı eşit üç prç rılrk şekildeki gibi sekizgensel bölge oluşturuluor. u sekizgensel bölge ğçlndırılıp etrfı bir sır telle çevrilecektir. un göre, m() kç derecedir? ) 8 ) ) ) 7 ) 7 unun için en z kç metre dikenli tel gerekir? ) ) ) 8 ) ) 0 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

131 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST.. lnı 8 m oln kre şeklindeki bir bhçenin bir kenr uzunluğu hngi metreler rsınddır? 9 det 9 det det ) ) ) 7 ) 7 8 ) 8 9 det det eş odlı bir evin bir odsının tbnı ukrıd verilen sılrd kre şeklindeki fnslrl döşenmiştir. Her model fns bir od döşendiğine göre, hngi fnsın döşendiği tbn kre şeklinde olmz?. ) ) ) ) ) Çeşitkenr üçgensel bölge şeklindeki bir kğıdın ukrıdki gibi ktlnıp çılmsıl elde edilen ktlm çizgisi, üçgenin hngi elemnını gösterir? ) çıortını ) enrortını ) Yüksekliğini ) Çevrel çemberinin çpını ) enr ort dikmesini.. Mükerrem, proje ödevi için cm oln kre şeklindeki krtondn lnlrı şr cm oln üç krei şekildeki gibi kesip çıkrmıştır. re şeklindeki bir örtü, kre şeklindeki bir ms şekildeki gibi erleştirildiğinde örtünün köşeleri msnın kenrlrının ort noktlrı ile çkışmktdır. Msnın bir kenr uzunluğu 80 cm olduğun göre, örtünün çevre uzunluğu kç cm dir? ln krtonun çevre uzunluğu kç cm dir? ) 7 ) 7 ) 80 ) 8 ) 88 ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı.....

132 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST. ikdörtgen biçimindeki bir kğıt şekildeki gibi bir köşesi uzun kenrının üzerine gelecek biçimde ktlnıor. 9. ir tel şekildeki gibi kıvrılrk üç tne kre oluşturuluor. cm 8 cm cm cm 9 cm Şekilde verilen ölçülere göre, bu kğıdın kıs kenrının uzunluğu kç cm dir? ) ) ) 8 ) ) relerin sınırldıklrı bölgelerin lnlrı cm, 9 cm ve cm olduğun göre, bu tel ile oluşturulbilecek en büük krenin sınırldığı bölgenin lnı kç cm dir? ) 00 ) 8 ) ) ) lnı birimkre oln bir kumştn lnı b birimkrelik bir prç kesilior. ln prçnın kç birimkre olduğunu şğıdkilerden hngisi gösterir? ) ( b). ( + b) ) ( b) ) ( b) ) ( b). ( + b) ) ( b). ( + b) 0. reli kğıt üzerinde verilen kresel bölgesi beş bölgee rılmıştır. 8. üçgen = = = () = br II III IV V I un göre, () kç br dir? ) ) 8 ) 0 ) ) u bölgelerden hngisi kresel bölgesinin 'üdür? ) I ) II ) III ) IV ) V 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

133 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST. muk = birim = birim. ıs kenrının uzunluğu, uzun kenrının uzunluğu b oln eş dikdörtgensel bölgeler şğıdki gibi birleştirilerek oluşturulmuştur. 0º 0º m() = 0 m() = 0 b b un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) ) ) 7 ) 8 b b Şekildeki trlı bölgenin lnını şğıdkilerden hngisi ifde eder? ) b b + ) b + b + ) b b + ) + b + b. prlelkenr = = ) b + b 70º m() = 70 un göre, m() kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 )..d m.d m. prlelkenr [] [] [] çıort 0º m() = 0 un göre, m() kç derecedir? ) 00 ) ) 8 ) 0 ) 8.d m.d m Yukrıd verilen örüntü, nı kurl göre devm ettirildiğinde. dımdki çemberin içine çizilen çokgenin kenr sısı kçtır? ) ) ) 9 ) ) 7 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı.....

134 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST. üçgen = = 9. dörtgen = birim = birim = birim [] [] [] [] un göre, () () ornı kçtır? un göre, () kç br dir? ) 9 ) ) 8 ) ) 9 ) ) 8 ) ) ) 0. dikdörtgen 8. ir mimr bir kenrı metre oln kre şeklindeki rsd her birinin kenr uzunluğu b metre oln belli sıd kresel bölge belirlemiştir. rsd geri kln bölgenin lnı, 8 [] // [] = 8 birim = birim ( b). ( + b) metrekre olduğun göre, belirlenen kresel bölgelerin sısı kçtır? ) ) ) 7 ) 8 ) 9 un göre, () kç br dir? ) ) ) ) 8 ) 0 8. dörtgen [] // [] [] [] = birim = birim = 8 birim. 8 dörtgen = birim = birim = birim = 8 birim 8 un göre, () kç br dir? ) 0 ) ) ) ) 8 un göre, () kç br dir? ) ) ) 8 ) 0 ) 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

135 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST. üçgen = = =. eşkenr üçgen [H] [] H = birim H = birim () = 0 br H un göre, () kç br dir? ) ) ) ) 8 ) 0 un göre, () kç br dir? ) 9 ) 9 ) ) 9 ). prlelkenrınd çısı üç eşit çı bölünmüştür.. H prlelkenr [H] [] [H] çıort = birim º [] [] m() = un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) ) 7 ) 8 ) 9 un göre, m() kç derecedir? ) ) ) 8 ) 70 ) 7. eşkenr üçgen [H] [] H = birim. ücgen = birim = 8 birim 0º 8 m() = 0 H un göre, () kç br dir? ) ) ) ) ) un göre, () kç br dir? ) 8 ) 0 ) ) ) 0 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı......

136 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST 7. 8 dik üçgen [] çıort = birim = 8 birim 0. üçgen [H] [] = birim = birim H un göre, () kç br dir? ) ) 8 ) ) ) 0 un göre, () kç br dir? ) ) 8 ) 0 ) ) 8. 0º prlelkenr üçgen = =. üçgen = birim = birim [] çıort m() = 0 un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) 8 ) 0 ) ) un göre, () ornı kçtır? () ) ) ) ) ) 9. dik üçgen = = birim = birim. üçgen = birim = birim = birim = birim un göre, () kç br dir? ) 9 ) 0 ) ) ) un göre, () en fzl kç br dir? ) ) 8 ) ) 8 ) 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

137 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST. ç ç lr ve d fl ç lr toplm 0 oln d fl büke çokgenin kenr s s kçt r? ) ) 9 ) ) ) 8. n k s köflegeninin uzunlu u birim oln bir düzgün lt genin ln kç birimkredir? ) 8 ) 0 ) ) ) 0 7. düz gün befl gen. ir futbol shs nd her seferinde metre düz gidip 0 sol dönen bir futbolcu bflld nokt gelincee kdr kç metre ol lm fl olur? 8 o [] köflegen m() = 8 = ) 0 ) 90 ) 00 ) 0 ) 0 un gö re, m() kç de re ce dir? ) ) ) ) 8 ). ir iç ç s n n ölçüsü bir d fl ç s n n ölçüsünden fzl oln düzgün çokgenin iç ç lr toplm kç dik ç d r? 8. düz gün befl gen efl ke nr üç gen ) ) 8 ) 0 ) ) un gö re, m() kç de re ce dir? ) ) ) ) 8 ) 7. ir çokgenin d fl ç lr ndn en fzl kç tnesi genifl ç olbilir? ) ) ) ) ) 9. düzgün beşgen L L kre,, doğrusl. n uzun köflegeninin uzunlu u birim oln bir düzgün lt genin çevresinin uzunlu u kç birimdir? ) 8 ) 8 ) ) ) un göre, çısının ölçüsü kç derecedir? ) 99 ) 98 ) 97 ) 9 ) S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

138 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST 0. 0 o N düzgün lt gen m(nm) = 0 m(lm) = m() =. düzgün ltıgenin merkezi orijindir. L o M un gö re, α kç derecedir? noktsının ordintı noktsının psisi kçtır? olduğun göre, ) ) ) 0 ) ) ) ) ) 8 ) 0 ). düzgün ltıgen [] köşegen = = birim. L T düzgün ltıgen L kre, L, T doğrusl un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) ) ) ) un göre, T çısının ölçüsü kç derecedir? ) ) ) 0 ) 7 ) 90. G H düzgün ltıgen GH düzgün beşgen. T düzgün beşgen eşkenr üçgen,, T doğrusl un göre, G çısının ölçüsü kç derecedir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 90 ) 9 un göre, m(t) kç derecedir? ) ) 8 ) ) 0 ) 8 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

139 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST. düzgün beşgen. L düzgün lt gen L kre,, doğrusl ve,, doğrusldır. : + m = 0 : + + n = 0 un göre, kçtır? un göre, m(l) kç derecedir? ) ) ) 8 ) ) ) ) 0 ) ) 0 ) 0. düzgün beşgen. düzgün beşgen [] çıort = [] köşegen = T m(t) = un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 un göre, m() kç derecedir? ) ) 8 ) 0 ) ). R de düzgün ltıgen l, l. N M düzgün beşgen LMN kre L un göre, l doğrusunun eğimi kçtır? un göre, m(n) kç derecedir? ) ) ) ) ) ) ) 0 ) ) 8 ) 9 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı......

140 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST 7. düzgün beşgen,, doğrusl = 0. 0 düzgün beşgen [] köşegen m() = 0 = un göre, m() kç derecedir? ) ) ) ) ) un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) ) ) ) 8. düzgün beşgen m() = =. T düzgün beşgen [T] [] = {} m() = 8 m() = 8 un göre, m() kç derecedir? ) ) ) 8 ) 0 ) un göre, m(t) kç derecedir? ) ) ) ) ) 7 9. düzgün beşgen [] köşegen = birim. düzgün beşgen [] köşegen [] köşegen [] [] = {} un göre, uzunluğunun trigonometrik ifdesi şğıdkilerden hngisine eşittir? ) sin8 ) cos ) cos8 ) tn ) cot8 un göre, m() kç derecedir? ) 00 ) 0 ) 0 ) 08 ) S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

141 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST 7. Çevresi 0 cm ve köşegen uzunluklrı toplmı cm oln eşkenr dörtgensel bölgenin lnı kç cm dir? ) ) ) 8 ) 0 ). ücgen eşkenr dörtgen = birim = birim = birim un göre, uzunluğu kç birimdir? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ). eşkenr dörtgen [] [] = birim = birim. 8 L [] [L] L = = 8 birim un göre, uzunluğu kç birimdir? un göre, eşkenr dörtgensel bölgesinin lnı kç br dir? ) ) ) ) ) ) 8 ) 0 ) ) 0 ). eşkenr dörtgen. 7º eşkenr dörtgen [] çıort [] çıort,, doğrusl = m() = 7 un göre, m() kç derecedir? un göre, eşkenr dörtgeninin lnı 9 br olduğun göre, uzunluğu kç birimdir? ) 7 ) 8 ) 0 ) ) 0 ) 9 ) 0 ) ) ) 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı......

142 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST 7 7. eşkenr dörtgen = birim = birim = 7 birim 0. º prlelkenr = m() = 7 un göre, m() kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) ) ) ). eşkenr dörtgen 8. eşkenr dörtgen, l doğrusu ve noktlrındn, l doğrusu ve noktlrındn geçior. 7 eşkenr dörtgen m() = 7 l : + 7 = 0 un göre, m() kç derecedir? ) 8 ) ) ) ) 0 un göre, l doğrusunun eğimi kçtır? ) ) ) ) ) 9. ir eşkenr dörtgeninde (, ) ve (, ) olduğun göre, köşegenini tşın doğrunun eğimi kçtır? ) ) ) ) ). 8 0 un göre, kç birimdir? eşkenr dörtgen [] köşegen = = 0 birim = 8 birim ) ) ) ) ) 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

143 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST 8. (0, ) ikizkenr muk (0, ) (, 0). (, 0) un göre, muksl bölgesinin lnı kç br dir? ) ) ) 8 ) 0 ) Şekildeki muğunun köşeleri, birim sğ, birim ukrı ötelenerek ı ı ı ı muğu elde edilior. un göre, ve ı ı ı ı muklrının kesişim bölgesinin lnı kç br dir? ), ) ), ) 7 ) 7, muk m() = 0 = birim = 8 birim = 0 birim. ir hız zmn grfiğnde grfik prçlrı ile zmn ekseni rsınd kln bölgenin lnı cismin er değiştirmesini verir. H z (m/s) un göre, () kç br dir? ) ) 0 ) ) 70 ) Zmn (s) un göre, ukrıd grfiği verilen hreketlinin er değiştirmesi kç metredir? ) ) ) ) ) 7. (0, ) (0, ) (, ) nlitik düzlemde (0, ) (0, ) (, ). 0 muk m() = m() = 0 = birim un göre, trlı bölgesinin lnı kç br dir? ) ) 0 ) 8 ) ) Yukrıdki verilere göre, kç birimdir? ) ) ) ) ) 7 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı......

144 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST 8 7. muk () = () = birim = birim = birim 0. (, ) 0 0 (, ) muk m() = 0 m() = 0 = birim un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) 0 ) 9 ) 8 ) 7 Yukrıdki verilere göre, kç birimdir? ) ) ) ) ) 8. 0 muk = 0 birim = birim () = br () = br. 8 muk m() = m() = 8 birim = birim = birim un göre, muksl bölgesinin lnı kç br dir? ) ) ) 0 ) 9 ) 8 Yukrıdki verilere göre, Ç() kç birimdir? ) ) 0 ) 9 ) 8 ) 7 9. muk [] // [] = = birim = birim. 70º 7º prlelkenr = = m() = 70 m() = 7 Yukrıdki verilere göre, kç birimdir? ) 8 ) 9 ) 0 ) ) un göre, m() kç derecedir? ) ) 8 ) 0 ) ) 0 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

145 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR üzlemde önüşüm Hreketlerİ Yns m (Simetri) : ir fleklin bir nokt göre d bir doğru göre ns ms o fleklin simetri idir. ÖNÜ ÜM GMTR S ğer nokt göre simetri lıncks bu nokt nsım merkezi, doğru göre simetri lıncks bu ¹ doğru nsım ekseni denir. + şğıd l do rusun göre ns t lrk elde edilen flekilleri inceleiniz. º» 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

146 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ÖRN ÖRN I. II. I. II. III. IV. III. IV. V. V. Yukrıdki şekillerden hngilerinin eksenine göre ns ms olduğunu bullım. Yukrıdki şekillerden hngilerinin eksenine göre ns ms olduğunu bullım. I., III., IV. ve V. şekillerde eksenine göre nsım vrdır. II. şekilde ise eksenine göre, öteleme pılmıştır. I., II., IV. ve V. şekillerde eksenine göre nsım vrdır. III. şekilde ise orijne göre nsım vrdır. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

147 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR üzlemdeki bir (, ) nokts n n, ¾ = do rusun göre ns ms (, ) dir. ¾ eksenine göre ns ms (, ) dir. (, ) (, ) (ns m ekseni) = (ns m ekseni) (, ) ¾ eksenine göre ns ms (, ) dir. ¾ = b do rusun göre ns ms (, b ) dir. (, ) (ns m ekseni) (, ) b b b (, b ) = b (ns m ekseni) b ¾ rijine göre ns ms (, ) dir. ¾ = (I. ç ort) do rusun göre ns ms (, ) tir. (, ) (, ) = (ns m merkezi) (, ) (, ) (ns m ekseni) 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

148 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ¾ = (II. ç ort) do rusun göre ns ms (, ) tir. ÖRN = (, ) (, ) noktsının eksenine göre nsımsını bullım. (, ) (ns m ekseni) eksenine göre nsımd noktnın ordintı işret değiştirir. hlde, (, ) noktsının eksenine göre nsımsı (, ) dir. (, ) ¾ (, b) nokts n göre ns ms (, b ) dir. (ns m merkezi) (, b ) (, ) (, b) (, ) ÖRN ¾ = + n do rusun göre ns ms ( n, + n) dir. (, ) noktsının eksenine göre nsımsını bullım. + n n n (ns m ekseni) ( n, + n) (, ) n eksenine göre nsım lınırken noktnın psisi işret değiştirir. hlde, (, ) noktsının eksenine göre nsımsı (, ) dir. (, ) (, ) ¾ n flekilde = + n do rusun göre ns ms ( + n, + n) dir. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

149 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ÖRN (, ) noktsının = doğrusun göre simetrisini bullım. ÖRN (, ) noktsının orijine göre simetrisini bullım. = (8, ) (0, 0) noktsı nsım merkezi olup rnn nokt (, ) noktsıdır. br br 8 (, ) = doğrusu nsım ekseni olup rnn nokt (8, ) tir. (, ) HTIRLTM HTIRLTM (, b) noktsının = c doğrusun göre nsımsı (c, b) noktsıdır. (, b) noktsının orijine göre simetriği (, b) noktsıdır. ÖRN (, ) noktsının = doğrusun göre nsımsını bullım. ÖRN (, ) noktsının (, ) noktsın göre nsımsını bullım. = doğrusu nsım ekseni olup rnn nokt (, ) noktsıdır. rnn nokt olsun. (, b) (, ) (, ) (, ) birim birim = (, ) ölece noktsı [] nın ort noktsı olup + + b = & = 7 ve = & b = bulunur. hlde, (7, ) bulunur. HTIRLTM HTIRLTM (, b) noktsının = c doğrusun göre simetriği (, c b) noktsıdır. (, b) noktsının (c, d) noktsın göre simetriği (c, d b) noktsıdır. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

150 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ÖRN 7 (, ) noktsının = doğrusun göre simetriği oln noktnın koordintlrını bullım. = e göre simetri lınırken noktnın koordintlrı er değiştirir. = ÖRN 9 º m n 0º dik üçgen = n = m m() = 0 m() = m + n = birim un göre, üçgensel bölgesinin ln n bull m. hlde, (, ) noktsının = doğrusun göre simetriği (, ) dir. [] n n [] n göre ns ms n ll m. HTIRLTM (, b) noktsının = doğrusun göre simetriği (b, ) noktsıdır. ÖRN 8 (, ) noktsının = doğrusun göre simetriği oln noktnın koordintlrını bullım. = doğrusun göre simetri lınırken noktnın koordintlrı hem er, hem de işret değiştirir. = m º º m Yns m dönüflümü lt nd uzunluklr ve ç lr n kld ndn, =, = ve n 0º m() = m( ) = olml d r. ölece, 7º 7º m + n m + n ikizkenr üçgeni elde edilir. hlde, = birim olur. 0º hlde, (, ) noktsının = doğrusun göre simetriği (, ) tir. HTIRLTM 0º (, b) noktsının = doğrusun göre simetriği ( b, ) noktsıdır. () =. 9 = br bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

151 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ÖRN 0 nlitik düzlemin IV. bölgesindeki bir noktnın orijine göre simetriği oln nokt, noktsının = doğrusun göre simetriği oln nokt dir. un göre, noktsın n hngi bölgede oldu unu bull m. (, b) olsun. hlde ( > 0 ve b < 0 d r.) (, b) nokts n n orijine göre simetri i, (, b) ve (, b) nokts n n = do rusun göre simetri i, (b, ) nokts d r. > 0 ve b < 0 oldu undn nokts II. bölgededir. ÖRN º m() = m() = m() un göre, uzunlu unu bull m. dik üçgen m() = = birim [] n n [] n göre ns ms n ll m. ÖRN 0 dik üçgen l = {, } = birim = 0 birim Yukrıd ve noktlrı l doğrusun göre simetrik noktlr olduğun göre, üçgensel bölgesinin lnını bullım. 8º 8º 8º 8º º Yns m dönüflümü lt nd uzunluklr ve ç lr n kld ndn, =, = = birim ve m() = m( ) = 8 olml d r. ölece gerekli ç lr z l rs, Ynsım dönüşümü uzunluklrı ve çılrı koruduğundn, = ve m() = m() = 90 olmlıdır º 8º 8º 8º 8º 7º + º = dielim. hlde, º (ns m ekseni) ölece = = 0 birim olup isgor bğıntısı ile uzunluğu 8 birim bulunur.. () = 0 () = 0 br bulunur. m( ) = m( ) = oldu undn, = = + ve m( ) = m( ) = 7 oldu undn, = = + ve m() = m() = oldu undn, = olup + = + eflitli inden, = = birim bulunur. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

152 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ÖRN (, ) noktsının = m doğrusun göre simetriği ekseni üzerindeki noktsıdır. Ynsım Simetri kseni : ir şekli iki simetrik şekle ırn doğru şeklin nsım simetri ekseni denir. un göre, noktsının ordint n bull m. I. urum : m > 0 olsun. (, ) = m kenr üçgenin tne ns m simetri ekseni vrd r. renin tne ns m simetri ekseni vrd r. H H = H ve [] H oldu undn, = dir. = ( ) + = birim hlde, nokts n n ordint olbilir. üzgün be genin tne ns m simetri ekseni vrd r. üzgün lt genin tne ns m simetri ekseni vrd r. II. urum : m < 0 olsun. = m ir düzgün n genin ns m simetri ekseni s s n dir. (, ) H u durumd, H = H ve [H] [] oldu undn, noktsının ordintı olur. ikdörtgenin tne simetri ekseni vrd r. kenr dörtgenin tne ns m simetri ekseni vrd r. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

153 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ÖRN ir ikizkenr mu un tne ns m simetri ekseni vrd r. Çemberin sonsuz tne ns m simetri ekseni vrd r. ir prlelkenr n ns m simetri ekseni oktur. ir çe itkenr üçgenin ns m simetri ekseni oktur. Yukr dki flekilde flekli birim ukr ötelenip eksenine göre ns t l or. flekli ise birim ukr ve birim sol ötelenior. Son durumd ve fleklinin kç br lik lnlr nın kesiştiğini bullım. Öteleme : İstenen dönüşümler pıldığınd şğıdki gibi kesişim bölgesi oluşur. Yns m ir fleklin duruflu, biçimi ve boutlr n de ifltirmeden bir erden bflk bir ere tfl nms öteleme hreketidir. Öteleme birim birim esişim bölgesi şğıdki gibi olur. I. ekil II. ekil Yukr d I. fleklin birim s ve birim fl ötelenmesi ile II. flekil elde edilmifltir. ¾ ¾ ir şekil ötelendiği zmn şekildeki tüm noktlr nı miktrd er değiştirir. ir flekil ile o fleklin öteleme lt ndki görüntüsü eştir. ölece kesişim bölgesinin lnı,. +. = br bulunur. esi im bölgesi 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

154 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR Ötelemeli Yns m : üzlemde bir fleklin bir do ru bounc ötelenip ine n do ru göre ns t lms d r. önme : ir şeklin bir nokt etrfınd nı öne doğru döndürülmesine dönme hreketi denir. I. ekil II. ekil Yukr d I. flekil noktsı etrfıd 90 döndürülürek II. flekil elde edilmifltir. ¾ ir şekil hngi nokt etrfınd dönüors o nokt dönme merkezi denir. ¾ ir şekil 80 lik dönerse bu dönmee merkezi dönme denir. ¾ ir şekil ile o şeklin dönmesi ile oluşn şekil ile ilk şekil eştir. ÖRN Yukr dki flekli birim sol öteleip l do rusun göre ns ms n ld m zd olufln flekli bullım. I. ekil II. ekil Yukr d I. fleklin noktsı etrfınd 80 dönme hreketi ile II. flekil elde edilmifltir. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

155 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ¾ ¾ ir şekil, kendi merkezi etrfınd 0 den küçük bir çıl dönerek en z bir def kendisile çkışırs bu şekil dönme simetrisine shiptir denir. n kenrlı bir düzgün çokgenin en küçük dönme 0 o simetri çısı dir. n ÖRN 90 lik dönme simetrisine ship oln düzgün çokgenin bir kenr uzunluğu birim olduğun göre, bir köşegen uzunluğunu bullım. 0º 0º 0º n kenrlı bir düzgün çokgenin en küçük dönme simetri çısı hlde, 0 o olduğunu htırllım. n 0 o = 90 n = olup n hsedilen çokgen kre dir. Yukr dki eflkenr üçgeni nokts etrf nd en z 0 o o = 0 dönerse kendisi ile çk fl r. (Görüntüsü de iflmez.) ölece krenin bir köşegen uzunluğu dik üçgeninde isgor teoremi ile = birim bulunur. z Yukr dki kresi nokts etrf nd en o 0 o = 90 dönerse kendisi ile çk fl r. (Görüntü de iflmez.) ÖRN ir düzgün ltıgenin en küçük dönme simetri çısını bullım. 7º 7º 7º 7º 7º n kenrlı bir düzgün çokgenin en küçük dönme simetri çısı dir. 0 o n Yukr dki düzgün beflgeni nokts etrf nd en z 0 o o = 7 dönerse kendisi ile çk fl r. (Görüntü de iflmez.) hlde, bir düzgün ltıgenin en küçük dönme si- 0 o o metri çısı = 0 dir. Yni, bir düzgün ltıgen en z 0 dönerse kendisi ile çkışır. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

156 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ÖRN şğıdki ve kreleri noktsınd 0 dönebilmektedir. ÖRN ik koordint sisteminde (, ) noktsının orijin etrfınd pozitif önde 70 döndürülmesi ile elde edilen noktı bullım. noktsının pozitif önde 70 dönmesi, negtif önde 90 dönmesi ile nıdır. un göre, uzunluğunun en küçük ve en büük değerini bullım. uzunluğunun en küçük olmsı için şekli şğıdki gibi çizebiliriz. noktsı negtif önde 90 dönerken rıçp uzunluğu oln merkezli çerek çember ını izler. Trlı üçgenlerin eşliğinden (, ) bulunur. ÖRN 7 0 kreside, köşesinden 90 döndürülüp elde edilior. ölece, nun en küçük değeri, = = birim bulunur. uzunluğunun en büük olmsı için şekli şğıdki gibi çizebiliriz. ölece, nun en büük değeri, = + = birim bulunur. un göre, dörtgeninin çevre uzunluğunu bullım. öndürme dönüşümü sonucund uzunluk ve çılr değişmez. b b hlde, 0 b 0 + b Ç() = + b = birim bulunur. 0 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

157 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ¾ z Özel öndürmeler (, ) nokts n n orijin etrf nd pozitif önde 90 döndürülmesi ile elde edilen nokt (, ) nokts d r. ÖRN = + do rusunun orijin etrf nd 90 döndürülmesi ile olufln do runun denklemini bull m. (Trlı üçgenlerin eş olduğun dikkt edelim) ¾ l : + b + c = 0 do rusunun orijin etrf nd pozitif önde 90 döndürülmesi ile elde edilen do ru; l : + b c = 0 do rusudur. c c b c c b = + do rusu üzerinde iki nokt l p orijin etrf nd 90 döndürelim. (0, ) noktsını 90 döndürürsek (, 0) noktsını, (, 0) noktsını 90 döndürürsek (0, ) noktsını elde ederiz. ¾ (, ) nokts n n orijin etrf nd 80 döndürülmesi ile elde edilen nokt ı (, ) noktsıdır. ¾ l : + b + c = 0 do rusunun orijin etrf nd 80 döndürülmesi ile elde edilen do ru; l : b + c = 0 do rusudur. ölece rnn do ru l : + + = 0 bulunur. ikkt edilirse, l, l do rulr e imleri çrp m oln iki do rudur. Yni l l olur. c b // c c c b + b + c = 0 b + c = 0 SNUÇ : ir do ru ile bu do runun orijin etrf nd 90 dönmesi ile elde edilen do ru birbirine diktir. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

158 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR ÖRN 7 ÖRN 9 8 = doğrusunun orijin etrfınd pozitif önde 90 dönmesi ile elde edilen doğrunun denklemini bullım. = [] do ru prçs orijin etrf nd pozitif önde 90 döndürülüor elde edilen do ru prçs n bull m. (, ) noktsını 90 döndürürsek (, ) noktsını, (, 8) noktsını 90 döndürürsek ( 8, ) noktsını elde ederiz. rijin etrfınd 90 döndürülerek şğıdki gibi = doğrusu elde edilir. = 8 8 " = ile = doğrulrının dik kesiştiğine dikkt edelim." ve do ru prçlrını tşın doğrulrın dik kesiflti ine dikkt edelim. ÖRN 0 = doğrusunu orijin etrfınd pozitif önde 0 döndürürsek hngi doğruu elde edeceğimizi bullım. ÖRN 8 + = 0 doğrusunun (, ) noktsı etrfınd 80 dönmesi ile elde edilen doğrunun denklemini bullım. = doğrusunun eğimi olup eğim çısı 0 dir. = (, ) noktsı, + = 0 doğrusunun denklemini sğldığındn, rnn doğru + = 0 doğrusudur. 0º u doğruu 0 döndürürsek ekseni elde edilir. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

159 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST. ik koordint sisteminde şğıdki noktlrdn hngisinin eksenine göre nsımsı ine kendisidir? ) (7, 8) ) (, ) ) (, ) ) (, 0) ) (0, 7). nlitik düzlemde (, 9) noktsının eksenine göre nsımsı (simetriği) şğıdkilerden hngisidir? ) (, 9) ) (, 9) ) (, 9) ) (9, ) ) ( 9, ). ik koordint sisteminde şğıdki noktlrdn hngisi (, ) noktsının birim sol ötelenmişidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (7, ) ) (, ). ik koordint sisteminde birim ukrı ötelenmişi (, ) oln nokt şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, 9) ) (, ) ) (, ) ) (, ). ik koordint sisteminde eksenine uzklığı birim oln bir noktsının eksenine göre nsımsı şğıdkilerden hngisi olbilir? ) (, ) ) (, ) ) (8, ) ) (, 8) ) (9, ) 7. nlitik düzlemde (, 7) noktsının orijin etrfınd pozitif önde 90 döndürülmesi ile elde edilen nokt şğıdkilerden hngisidir? ) (, 7) ) ( 7, ) ) ( 7, ) ) (7, ) ) (0, ). nlitik düzlemde şğıdki noktlrdn hngisi (, ) noktsının orijin etrfınd 80 döndürülmüş hlidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) 8. (, 7) noktsı birim şğı ötelenip orijin etrfınd stin dönme önünde 90 döndürülürse şğıdki noktlrdn hngisi ile eşlenir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) 9 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

160 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST 9. nlitik düzlemde (, ) noktsı birim sol, birim ukrı ötelenip orijin etrfınd 80 döndürülürse şğıdki noktlrdn hngisi elde edilir?. ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) L N M 0. ik koordint sisteminde (, 8) noktsının (, ) etrfınd 80 döndürülmesi ile elde edilen noktnın koordintlrı toplmı kçtır? ) 7 ) 8 ) ) ) Yukrıdki koordint düzleminde verilen, L, M ve N şekillerine göre, şğıdkilerden hngisi nlıştır? ) L nin eksenine göre nsımsı dir. ) nin orijin etrfınd 80 döndürülmesile M elde edilmiştir. ) M nin ekseni bounc birim sol ötelenmesile N elde edilmiştir. ) nin eksenine göre nsımsı N dir. ) L nin eksenine göre nsımsı M dir.. şğıdkilerin hngisinde verilen şekiller birbirinin ötelemeli nsımsıdır? ) ). ) ) Yukrıd hrfinin l doğrusun göre nsımsı lınıp elde edilen şeklin l doğrusun göre nsımsı lınıor. ) Son durumd hngi şekil oluşur? ) ) ) ) ) 0 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

161 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST. eksenine göre nsımsı ile orijin etrfınd 80 dönme ltındki görüntüsü nı oln şekil şğıdkilerden hngisidir? ) ). I II ) ) Şekle göre, I. şeklin l doğrusun göre nsımsının II. şekil olmsı için I. şekle şğıdki dönüşümlerden hngisinin ugulnmsı gerekir? ) birim sğ birim şğı ötelenip l doğrusun göre nsımsı ) birim sğ birim şğı l doğrusun gö- ) re nsımsı ) birim sğ birim şğı l doğrusun gö- re nsımsı ) birim sğ birim şğı l doğrusun göre nsımsı ) birim sğ birim şğı l doğrusun göre nsımsı. I II. 0º Yukrıdki I. ve II. şekillerden konveks bir şekil elde etmek için şğıdki dönüşümlerden hngisi pılmlıdır? Yukrıd noktsının l doğrusun göre simetriği oln nokt ve noktsının l doğrusun göre simetriği oln nokt olsun. un göre, çısının ölçüsü kç derecedir? ) 0 ) 7 ) 00 ) ) 0 ) I. şekil birim sğ birim şğı ötelenmeli ) II. şekil birim ukrı ve birim sol ötelenmeli ) I. şekil birim şğı ve birim sğ ötelenmeli ) II. şekil birim sol ve birim ukrı ötelenmeli ) I. şekil birim sğ ve birim şğı ötelenmeli 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı....

162 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST. ik koordint sisteminde (, ) noktsının orijin etrfınd pozitif önde 0 döndürülmesi ile elde edilen nokt olsun. un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) ) ) ) 8. ik koordint sisteminde noktsının birim sol ve birim şğı ötelenmesi ile elde edilen nokt Q olsun. un göre, Q uzunluğu kç birimdir? ) ) 0 ) ) 8 ) 9. º 9. ik koordint sisteminde köşe koordintlrı, (, ), (, 7) ve (, 8) oln üçgeni birim sol ve birim ukrı ötelenior. un göre, şğıdki noktlrdn hngisi ötelenen bu üçgenin bir köşesinin koordintlrıdır? (, ) noktsının l doğrusun göre nsımsı oln noktnın l doğrusun göre simetriği oln nokt şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) ) (0, 0) ) ( 7, 9) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) ( 7, ) ) (, 7 ) ) (, 0) T (, ) S Q L M R Yukrıdki nlitik düzlemde (, ) noktsının, orijinden geçen l doğrusun göre nsımsı oln nokt ise uzunluğu kç birimdir? ) ) 9 ) 7 ) ) Yukrıdki zeminde [] nın noktsın göre simetriği oln doğru prçsı şğıdkilerden hngisidir? ) [SL] ) [QM] ) [TM] ) [R] ) [QR] 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

163 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST. = + doğrusu ile ilgili şğıdkilerden hngisi doğrudur? ) = doğrusunun lik dönmesi ile elde edilmiştir. ) = doğrusunun 7 birim ukrı ötelenmesi ile elde edilmiştir. ) = doğrusunun birim ukrı ötelenmesi ile elde edilmiştir. ) = doğrusunun birim şğı ötelenmesi ile elde edilmiştir. ) = doğrusunun birim ukrı ötelenmesi ile elde edilmiştir.. (, ) noktsı ile ilgili olrk şğıdki ifdelerden hngisi nlıştır? ) rijine göre simetriği (, ) noktsıdır. ) eksenine göre nsımsı (, ) noktsıdır. ) = doğrusun göre simetriği (0, ) noktsıdır. ) eksenine göre nsımsı (, ) noktsıdır. ) = doğrusun göre simetriği (, 8) noktsıdır... ik koordint sisteminde noktsının birim sğ ve 8 birim şğı ötelenmesi ile elde edilen nokt olsun. un göre, doğrusunun eğimi kçtır? ) ) ) ) ) Yukrıd verilen şekil ok önünde 70 döndürüldüğünde şeklin eni görünümü şğıdkilerden hngisi olur? ) ) ) ). ir üçgeninde köşesinin köşesine göre simetriği noktsı köşesinin köşesine göre simetriği noktsı köşesinin köşesine göre simetriği noktsı ) olduğun göre, () () ornı kçtır? ) ) ) ) 7 ) 8 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı.....

164 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR TST. 8. S kümesi, şğıdki grfikte trlı oln bölgedeki (, ) ikililerinden oluşmktdır. Yukrıdki şekillerde bir küpün frklı konumlrd belli bir kurl göre oluşturulmuş görünümleri verilmiştir. un göre, "?" erine şğıdkilerden hngisi gelmelidir? ) ) ) S un göre, T = {(, ) R : (, ) S} biçiminde tnımlnn kümenin grfiği şğıdkilerden hngisidir? ) ) ) ) ) ) ) 7. ik koordint düzleminde, merkezi noktsınd oln şğıdki düzgün ltıgeni verilmiştir. 9. u ltıgen, merkezi etrfınd ok önünde 0 döndürülüor. öndürme sonrsı elde edilen ltıgenin de eksenine göre simetriği lınıor. un göre, ilk durumd noktsının bulunduğu köşee, son durumd hngi nokt gelir? ) ) ) ) ) Merkezi etrfınd ve st önünde 70 döndürüldüğünde ukrıdki düzgün çokgenlerden hngilerinin görüntüleri, bşlngıçtki görünümlerile nıdır? ) Ylnız kre ) Ylnız ltıgen ) Ylnız sekizgen ) re ve ltıgen ) re ve sekizgen 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

165 ÇGNLR ve ÜZLM LMLR üzlemde plmlr üzgün plm ir düzlemsel bölgei bir figürle boflluk klmck flekilde ve figürler üst üste gelmeecek biçimde dönüflüm hreketleri (ns m, öteleme, dönme ve ötelemeli ns m) ile örtebiliorsk bun düzgün kplm denir. ¾ Yrı üzgün plm ir düzlemsel bölge birden fzl figür rd m ile boflluk klmck flekilde örtülüors bun r düzgün kplm denir. figürünü kullnrk dki üçgeni düzgün kpll m. Yukr dki kplm düzgün beflgen ve eflkenr dörtgen kulln lrk oluflturulmufltur. figürünü kullnrk dki lt geni düzgün kpll m. Yukr dki kplm düzgün sekizgen ve ikizkenr dik üçgen kulln lrk oluflturulmufltur. NT : plmlr n herhngi bir köflesinde olufln ç lr n ölçüleri toplm 0 olml d r. Yni; Yukrıd dünc ünlü grfist SHR'in kplmlr üzerine pt çl flmlr inceleiniz. flkenr üçgen kulln lrk düzgün kplm p lbilir. re kulln lrk düzgün kplm p lbilir. üzgün lt gen kulln lrk düzgün kplm p lbilir. üzgün beflgen kulln lrk düzgün kplm p lmz. üzgün edigen kulln lrk düzgün kplm p lmz. 9.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı

Daha göster